高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算一课一练，共14页。试卷主要包含了空间向量及其运算等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
2．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选：C
3．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
，
，
，
故选：A.
4．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
5．如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设＝，＝，＝，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，
故选：D
6．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴===+=.
故选：B
7．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A
8．三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：，，，，，
，
，
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，，与的夹角为，则可以取的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题意，，，
所以，即，得或.
故选：BC.
10．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.
故选：BCD
11．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
12．将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；② 是等边三角形；③与平面所成的角为；④与所成的角为.其中正确的结论有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABD
【解析】解：取中点，由正方形的性质得：，
所以为二面角的平面角，
因为二面角是直二面角，
所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，
设正方形的边长为，
则
所以，，，，，
因为=0，故，①正确.
又，，，
所以为等边三角形，②正确.
对于③，为平面的一个法向量，
.
因为直线与平面所成的角的取值范围是，
所以与平面所成的角为，故③错误.
又，
因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以与所成的角为，故④正确.
故选：ABD
三、本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．
【答案】8
【解析】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，
由题意，，是直径的两端点，可得，，
则，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，
则的最大值为，
故答案为：．
14．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
【答案】（1）（3）
【解析】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
15．已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.
【答案】2
【解析】由题意画出图形，如图所示，
因为，且是向量在上的投影，
所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.
故答案为：2
16．已知向量=(a，b，0)，=(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：
①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；
②的最大值为；
③(的夹角)的最大值为；
④若定义，则的最大值为.
其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)
【答案】①③④
【解析】①取z轴的正方向单位向量=(0，0，1)，则=，因为，所以向量与z轴正方向的夹角恒为定值，故正确；
②=ac+bd≤=1，当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，故错误；
③由②可得≤1，所以-1≤≤1，所以=≥=，所以的最大值是，故正确；
④由③可知：，所以≤≤≤sin≤1，所以 ，故正确.
故答案为：①③④.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点)，当取最小值时，求点Q的坐标．
【答案】Q点的坐标为
【解析】由于＝(1，1，2)，点Q在直线OP上，
所以与共线，
设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，
所以点Q的坐标为(λ，λ，2λ)．
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－．
当λ＝时，取得最小值．
此时Q点的坐标为．
18．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴
（2）∵在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴
又∵
∴
19．已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5).
（1）求△ABC的面积.
（2）求△ABC中AB边上的高.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知，得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，
∴，，
1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
∴，
∴，
∴S△ABC＝
＝.
（2）设AB边上的高为CD.
则，
即△ABC中AB边上的高为.
20．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1）用向量法证明，，，四点共面；
（2）用向量法证明：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）如图，连接，
因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则，，
则，
由共面向量定理的推论知，，，四点共面；
（2）因为.
所以，又平面，平面，
所以平面；
（3）连接，，，，，，，
由（2）知，同理，
所以，，，
所以､交于一点且被平分，
所以.
21．如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，．
（1）证明：；
（2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在直三棱柱中，有，
又，，平面，
又平面，．
，，
如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，．
设，则，，
，．
（2）当D为的中点时，，，，
设平面DEF的法向量为，则，即
令得，，
易知平面ABC的法向量为，
所以，
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
22．已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，点，且点D为线段的中点，
可得，则，所以，
即线段的长为．
（2）由点，，则，
所以，解得，所以，
则，
即向量与夹角的余弦值为．