人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示优秀课堂检测

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示优秀课堂检测，文件包含人教A版2019高二数学选择性必修第一册13-14空间向量建系读点及法向量思维导图知识梳理常见题型教师版docx、人教A版2019高二数学选择性必修第一册13-14空间向量建系读点及法向量思维导图知识梳理常见题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
知识点01：与垂直相关的定理与结论
（1）线面垂直
① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直
② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直
③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直
④ 直棱柱：侧棱与底面垂直；
⑤有一条侧棱垂直于底面的椎体。
⑥正三棱椎、正四棱椎、圆锥：顶点在底面的投影为底面的中心。
⑦侧面与底面所成角均相等或侧棱长均相等可得顶点在底面的投影为底面的中心。
（2）线线垂直（相交垂直）
① 正方形，矩形，直角梯形
② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）
③ 菱形的对角线相互垂直
④ 勾股定理逆定理：若，则
知识点02：建立直角坐标系的原则
1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点
2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上
（2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。
知识点03：坐标的书写
1、能够直接写出坐标的点
（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：
轴： 轴： 轴：
（2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以下图为例：
则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了
2、空间中在底面投影为特殊位置的点
如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）
这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为
以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三种方法：
3、需要计算的点
①中点坐标公式：，则中点
②重心坐标公式：，则重心
= 3 \* GB3 ③利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而 ，
= 4 \* GB3 ④定比分点法：
若，，求点D坐标。方法通常是先设出所求点的坐标，再用定比分点法，设
则
知识点04：平面的法向量定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a ，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
【注】对平面的法向量的理解
①平面的法向量为非零向量；
②平面的法向量与平面的任意一个向量垂直，即法向量与平面内任意一个向量的数量积为0。
= 3 \* GB3 ③一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。
知识点05：确定平面的法向量的常用方法
直接法：根据立体几何中直线与平面垂直的判定真理得到平面的垂线，取该垂线的方向向量， 即为平面的法向量。
解方程组法：
①设平面的法向量为n=(x,y,z)；
②找出（求出）平面内的两个不共线的向量；
= 3 \* GB3 ③根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组a⋅n=0b⋅n=0；
= 4 \* GB3 ④解方程组，取其中的一个n的坐标，即得平面的一个法向量。
【注】赋值的说明
①方程组有三个未知数，只有两个方程，方程的解不唯一，也说明法向量是不唯一的，只需取最简单的即可。
②一般赋值时尽量保证x，y ，z为自然数且数不要太大，这样求得的法向量在以后解题中运算更为简单。
【题型1 求已知平面的法向量】
【例1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，则下列向量是平面ABC法向量的是（ ）
A．-1,1,1B．1,-1,1
C．-33,-33,-33D．33,33,-33
【解题思路】设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，由法向量的求法可得x,y,z满足的关系式，即可判断．
【解答过程】设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，
∵AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1)，
∴n⋅AB=-x+y=0n⋅AC=-x+z=0，则x=y=z，
对比各选项，可知ABD不符合，C符合．
故选：C．
【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内的两个向量a=(2,3,1)，b=(5,6,4)，则该平面的一个法向量为（ ）
A．(1,-1,1)B．(2,-1,1)
C．(-2,1,1)D．(-1,1,-1)
【解题思路】利用法向量的定义、求法进行计算即可.
【解答过程】显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n=(x,y,z)，
则有a⋅n=0b⋅n=0，即2x+3y+z=05x+6y+4z=0，
令z=1，得x=-2,y=1，所以n=(-2,1,1)，故A,B错误，C正确；
令z=-1，得x=2,y=-1，则此时法向量为2,-1,-1，故D错误.
故选：C.
【变式1.2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.设AB=a,AD=b,AA1=c，则平面A1BD的一个法向量为（ ）

A．6a+6b-cB．2a+3b+cC．2a+3b-cD．a+b-c
【解题思路】令AB=2，求出a⋅b,a⋅c,b⋅c，设出平面A1BD的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解.
【解答过程】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1,2AB=2AD=AA1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，
令AB=2，则a⋅b=2×2cs60∘=2,a⋅c=b⋅c=2×4cs60∘=4，
设平面A1BD的法向量n=xa+yb+zc，而DB=a-b,A1B=a-c，
则n⋅DB=(xa+yb+zc)⋅(a-b)=0n⋅A1B=(xa+yb+zc)⋅(a-c)=0，整理得2x-2y=0-2y-12z=0，令z=-1，得n=6a+6b-c，
所以平面A1BD的一个法向量为6a+6b-c.
故选：A.
【题型2 底面为正方形建系】
【例2】（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的一个法向量是（ ）
A．1,1,1B．-1,1,1
C．1,-1,1D．1,1,-1
【解答过程】由题意，A11,0,1，B1,1,0，C10,1,1，
∴A1C1=-1,1,0，BC1=-1,0,1，
设n=x,y,z是平面A1BC1的一个法向量，
则有A1C1⋅n=-x+y=0BC1⋅n=-x+z=0，令x=1，得y=1，z=1，
∴n=1,1,1.
【变式2.1】.求面ABCD的法向量
法一：设n=x,y,z是平面ABCD的一个法向量，
则有DA⋅n=x=0DB⋅n=y=0，令z=1
∴n=0,0,1.
注意：z还可以取其他值，但不能取0，因为z=0，则n=0,0,0，这与法向量不为零向量矛盾。
法二：,故面ABCD的法向量
【变式2.2】求面的法向量
面的法向量n=(1,1，0)
【题型3 底面为三解形建系】
【例3】如图，三棱锥中，平面，
若，求平面的法向量.
【解析】因为平面且，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，

【变式3.1】（24-25高二下·上海·月考）棱锥中，平面平面，，，是棱的中点.
(1)证明：平面;
(2) 求平面的一个法向量，平面的一个法向量
【详解】（1）证明：因为，是棱的中点，
所以，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
因为，是棱的中点，
所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，
所以，
由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，故，取，则，
【题型4 底面为其它四边形建系】
【例4】如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点M为PC中点， ，，．

求平面ABM与平面PAC的法向量.
【详解】（1）由是菱形，得，又底面，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，

则，，
知，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
又平面的一个法向量为，
【变式4.1】如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，∠BCC1=60°,．

求平面与平面的法向量.
【详解】法一:在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，故，
又因为∠BCC1=60°，所以为等边三角形，故．
在中，，，，所以，故，
又在矩形中，，
又，平面，所以平面，

取的中点，连结，因为为等边三角形，
所以，
因为，所以，
由平面，平面，
所以，，
故两两垂直，
故以为基底建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则
，令，故取；
设平面的法向量为，则
，令，故取．
法二:在平行四边形中，因为，
所以四边形为菱形，故，
又因为∠BCC1=60°，所以为等边三角形，故．
在中，，，，所以，故，
又在矩形中，，
又，平面，所以平面，

取的中点N，连结N，因为为等边三角形，
所以，
因为，所以，
由平面，平面，
所以，，
故两两垂直，
故以为基底建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则
，令，故取；
设平面的法向量为，则
，令，故取．
【变式4.2】如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且.
求平面与平面夹角的法向量.
解；因为平面，而四边形为正方形，
所以两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，
所以，
则.
设平面的一个法向量为，
则所以
令，则取，
取平面的一个法向量，
【变式4.3】如图，在平行六面体中，所有棱长均为2，且.
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图连接，与相交于点，则，
且点为的中点.由题设得，连接，则，
因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，即.

（2）由（1）知为二面角的平面角
因为，且，
得，则，则.
（3）由，
，
得，
则，由（1）知平面.则平面.
如图，设与相交于点，连接，则即为所求线面角.
易知为正的外心，亦为其重心，则，
又，则.
【另解】（3）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，
由（2）知，且，则）.
设为平面的法向量，
则得取.
，
则.
设直线与平面所成角为，则.
【变式4.4】如图（1），在菱形中，，，是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起，落到的位置，此时，如图（2）．
(1)求证：；
(2)求四棱锥的体积；
(3)设为线段上的点，求平面的一个法向量与平面一个法向量
【详解】（1）取的中点，连接、、，如下图所示：
因为是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，故，
因为四边形为菱形，且，故为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，因此，.
（2）因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以，
且，
因为是以为直角的等腰直角三角形，故，，
由余弦定理可得，
因为，故，
过点在平面内作，垂足为点，如图所示：
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，故平面，
因为，。
因此.
（3）法一：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
设，其中，
则，
，设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，
（3）法二：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的一个法向量为，，，
所以，取，可得，
，其中，
则
，设平面的一个法向量为，
则，
取，可得，
【题型05：底面为圆或半圆建系】
【例5】（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图，为圆柱的轴截面，为底面半圆周上一点，为中点，
(1)若，求的长
(2)若，求平面与平面的 一个法向量
【详解】（1）因为为圆柱的轴截面，
所以平面，平面，所以，
又因为，平面,
所以平面，平面，所以，
又因为，，平面,
所以平面，所以，
因为为中点，所以三角形为等腰三角形，即；
（2）如图，以为坐标原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，设，
则,0,，,0,，,2,，,2,，,0,，可得,1,，
设平面的法向量为，
可得，设平面的法向量为，
则，即，不妨令，
可得,2,为平面的一个法向量，
【变式5.1】如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．
若，求面PBC的法向量.
解：法一、由平面PAC面ACB，APAC，,得
,
由AB是圆的直径，
以C为原点，直线CA,CB分别为轴建立空间直角坐标系
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，则，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则，
法二、由平面PAC面ACB，APAC，,得
,由AB是圆的直径，
以A为原点，直线AB,AP分别为建立空间直角坐标系
所以，则，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则，
【变式5.2】如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ．

(1)证明：AD⊥PB ；
(2) 平面APB的一个法向量
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，
所以，
所以，则；
（2）设平面APB的一个法向量为，
则，即，
令，得，所以，
【变式5.3】如图，在圆台中，，，是下底面圆周上的三点，为下底面圆的直径，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面的一个法向量
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由圆台的性质知底面，从而得；再由为下底面圆的直径结合为的中点可证，由线线垂直即可证得线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，按照求直线与平面夹角的公式，按步骤求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为为下底面圆的直径，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
又，，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，
则，，.
设平面的一个法向量为，
则取，得.
专题训练
一、单选题
1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，则平面ABC的一个法向量可以为（ ）
A．(4,3,6)B．(-4,3,6)C．(4,-3,6)D．(4,3,-6)
【解题思路】由题设AB=(3,-4,0)，AC=(0,-4,2)，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可.
【解答过程】由题设AB=(3,-4,0)，AC=(0,-4,2)，
若m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则m⋅AB=3x-4y=0m⋅AC=-4y+2z=0，
取y=3，则m=(4,3,6).
故选：A.
2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若P0,1,1,Q2,3,5在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标为（ ）
A．1,1,2B．1,2,1C．1,2,2D．2,2,2
【解题思路】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解.
【解答过程】由P0,1,1,Q2,3,5，得PQ=(2,2,4)=2(1,1,2)，
所以直线l的一个方向向量的坐标为1,1,2.
故选：A.
3．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知P为平行四边形ABCD外的一点，且AB=2,1,3,AD=3,2,5,PA=-2,-2,2，则（ ）
A．PA/ BDB．与PA同向的单位向量为-1,-1,1
C．AC=(5,3,8)D．平面PAD的一个法向量为1,1,-1
【解题思路】A，由题可得BD，即可得判断选项正误；B，由PA可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量AC；D，由AD=3,2,5,PA=-2,-2,2，结合法向量定义可判断选项正误.
【解答过程】对于A，由题BD=AD-AB=1,1,2，又PA=-2,-2,2，
因为-21=-21≠22，所以BD与PA不平行，A错误；
对于B，因PA=-2,-2,2，则PA=23，
得与PA同向的单位向量为PAPA=-33,-33,33，故B错误；
对于C，由图可得AC=AB+BC=AB+AD=5,3,8，故C正确；
对于D，由AD=3,2,5,PA=-2,-2,2，设n=1,1,-1，
则AD⋅n=3×1+2×1+5×-1=0,PA⋅n=-2×1+-2×1+2×-1=-6≠0，
则AD⊥n，PA与n不垂直，这与法向量定义不符，故D错误.
故选：C.
4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①AB⋅AC≠0；②AB⊥DC；③BD⊥AC；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．错误的结论是（ ）

A．①B．②C．③D．④
【解题思路】建立适当空间直角坐标系后，可得各点坐标及相应直线的方向向量及平面的法向量，借助空间向量逐项计算即可得.
【解答过程】建立以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
设等腰直角三角形ABC斜边BC=2，则B1,0,0，C0,1,0，A(0,0,1)，
则AB=1,0,-1，AC=0,1,-1，DC=0,1,0，BD=-1,0,0，
对①：AB⋅AC=0+0+1=1≠0，故①正确；
对②：AB⋅DC=0+0+0=0，故AB⊥DC，故②正确；
对③：BD⋅AC=0+0+0=0，故BD⊥AC，故③正确；
对④：x轴⊥平面ADC，则平面ADC的一个法向量可为BD=(-1,0,0)，
设平面ABC的法向量设为n=x,y,z，
由有AB⋅n=x-z=0AC⋅n=y-z=0，令y=1，则x=1，z=1，故n=1,1,1，
则BD⋅n=-1+0+0=-1，故④错误．

故选：D.
5．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点，则（ ）
A．QN⊥BB1B．QN//平面BCC1B1
C．直线QN与PT为异面直线D．B1D⊥平面PMT
【解题思路】首先以点B1为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系.
【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为2，
A.Q2,0,1，N1,2,0，B0,0,2，B10,0,0，QN=-1,2,-1，BB1=0,0,-2，
QN⋅BB1=2≠0，所以QN与BB1不垂直，故A错误；
B.平面BCC1B1的法向量为B1A1=2,0,0，QN⋅B1A1=-2≠0，所以QN与平面BCC1B1的法向量不垂直，则QN与平面BCC1B1不平行，故B错误；
C.P1,0,2，T0,2,1，PT=-1,2,-1，QN=-1,2,-1，所以PT=QN，则PT//QN，故C错误；
D.D2,2,2，M2,1,0，B1D=2,2,2，PM⃗=1,1,-2，B1D⋅PM=0，
PT=-1,2,-1，B1D⋅PT=0，PM∩PT=P，PM,PT⊂平面PMT，所以B1D⊥平面PMT，故D正确.
故选：D.
6．（24-25高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=λAB，点E,F,G分别是BC,CD,CC1的中点，点M是线段A1D上的动点，则下列说法错误的是（ ）

A．当λ>1时，存在M，使得CM⊥平面EFG
B．存在M，使得AM//平面EFG
C．存在M，使得平面MBC1//平面EFG
D．存在λ，使得平面MB1C⊥平面EFG
【解题思路】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断.
【解答过程】以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z建立空间直角坐标系，如图：

设AB=2，则AA1=2λλ>0，则A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,C10,2,2λ，
因为点E,F,G分别是BC,CD,CC1的中点，
所以E1,2,0,F0,1,0,G0,2,λ，
对于选项B：设平面EFG的一个法向量为n=x,y,z，
因为EF=-1,-1,0,EG=-1,0,λ，
可得n⋅EF=-x-y=0n⋅EG=-x+λz=0，取z=1，解得n=λ,-λ,1，
设DM=kDA1，
因为A12,0,2λ，则DA1=2,0,2λ，可得DM=2k,0,2λk，即M2k,0,2λk，
则AM=2k-2,0,2λk，
若AM∥平面EFG，则AM⊥n，
可得λ2k-2+2λk=λ4k-2=0，且λ>0，解得k=12，
即M为A1D的中点，故B正确；
对于选项A：由B可知：CM=2k,-2,2λk，
若CM⊥平面EFG，则CM//n，
则2kλ=-2-λ=2λk1，当且仅当λ=k=1时成立，故A错误；
对于选项D：由B可知：M2k,0,2λk，则CM=2k,-2,2λk，
因为B12,2,2λ，则BCB1=2,0,2λ CB1→=2,0,2λ，
设平面MB1C的法向量为m=a,b,c，
则m⋅CM=2ka-2b+2kλc=0m⋅CB1=2a+2λc=0，取c=1，得m=-λ,0,1，
若平面MB1C⊥平面EFG，则m⊥n⇒-λ2+1=0⇒λ=1，故D正确；
对于选项C： 当M与D重合时，
因为E,G分别是BC,CC1的中点，
则EG//BC1，且EG⊂平面EFG，BC1⊄平面EFG，
可得BC1//平面EFG，
同理可得：DC1//平面EFG，
且BC1∩DC1=C1，BC1,DC1⊂平面BDC1，
所以此时平面MBC1//平面EFG，故C正确；

故选：A.
二、多选题
7．（24-25高二上·吉林白城·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1)，则l1//l2
B．直线l的方向向量a=(1,-1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,-1)，则l⊥α
C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2)，则α⊥β
D．直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量是u=(0,-5,0)，则l//α
【解题思路】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直．
【解答过程】对于A，由a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1)，得a=-b，所以a//b，所以l1//l2，故A正确；
对于B，假设a//u，则存在唯一得实数λ，使得a=λu，即(1,-1,2)=(6λ,4λ,-λ)，所以1=6λ,-1=4λ,2=-λ,无解，所以a,u不共线，所以l，α不垂直，故B错误；
对于C，因为u⋅v=-6+8-2=0，所以u⊥v，所以α⊥β，故C正确；
对于D，因为a⋅u=-15，所以a,u不垂直，所以l，α不平行，故D错误．
故选：AC．
三、填空题
8．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面α内三点坐标分别为A1, 0,-1, B-1, 1,-1, C-1, 0, 0，则平面α的一个法向量为 1,2,2（答案不唯一） ．
【解题思路】求出AB,AC，由AB⋅m=0AC⋅m=0，求解即可．
【解答过程】解：由A1, 0,-1, B-1, 1,-1, C-1, 0, 0
则AB=-2,1,0,AC=-2,0,1
因为向量m=x,y,z是平面α的一个法向量，
所以AB⋅m=-2x+y=0AC⋅m=-2x+z=0，令x=1，则m=1,2,2，
故答案为：1,2,2（答案不唯一）.
9．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD//BC,AD=AB=AC=5,BC=6,AP=4,E为PB的中点，F为PD上一点，当CF⊥AE时，PFFD= 922 .
【解题思路】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据AE⊥CF，即可求解.
【解答过程】以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B4,-3,0,P0,0,4,C4,3,0,D0,5,0，
故E2,-32,2,AE=2,-32,2，PD=0,5,-4,PC=4,3,-4，
设PF=λPD0≤λ≤1，则PF=(0,5λ,-4λ)，FC=PC-PF=4,3-5λ,4λ-4，
因为AE⊥CF，所以AE⋅FC=0，
即2×4-32×3-5λ+2×4λ-4=0，解得λ=931，
所以PFFD=931-9=922.
故答案为：922.
四、解答题
10．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=3，，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
【解题思路】以A为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，PC即为直线PC的一个方向向量，表示PD即可求出平面PCD的一个法向量.
【解答过程】
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，C1,3,0，
所以PC=1,3,-1，即直线PC的一个方向向量为1,3,-1.
设平面PCD的法向量为n=x,y,z.
因为D0,3,0，所以PD=0,3,-1.
由n→⋅PC⃗=0n→⋅PD⃗=0得x+3y-z=03y-z=0，所以x=0z=3y.
令y=1，则z=3.
所以平面PCD的一个法向量为n=0,1,3.
11．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD=2．
(1)求平面DEA的法向量
(2)求证：平面DEA⊥平面ECA．
【解题思路】（1）以C为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可；（2）证明两平面的法向量垂直即可.
【解答过程】（1）因为EC⊥平面ABC，CB⊂平面ABC，所以EC⊥CB，
以C为原点，CB,CE所在的直线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1)，
所以EA=(3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1)，
设平面DEA的一个法向量是n=(a,b,c)，
则n→⋅EA⃗=3a+b-2c=0n→⋅ED⃗=2b-c=0，令b=1，则n=(3,1,2)，
所以平面DEA的一个法向量为(3,1,2).
（2）设平面ECA的一个法向量是m=(x,y,z)，
则m⋅EA=3x+y-2z=0m⋅CE=2z=0，令x=1，则m=(1,-3,0)，
因为m⋅n=1×3+(-3)×1+0×2=0，所以m⊥n，
所以平面DEA⊥平面ECA.
12．（23-24高二下·河南·期中）如图为上、下底面半径分别为1，2的圆台，其中AB为上底面直径，BP为母线，CD在上底面，且，.该圆台的体积为为线段AP上一点，且平面PBC.

(1)求的长度;
(2)若平面PAD∩平面，求直线与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取AB的中点,连接,证明平面平面，再证，推得是AP的中点，根据圆台体积求出其高，继而求得长，即得长；
（2）依题意建系，写出相关点的坐标，证明，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）

如图，取AB的中点，连接，则，
因为，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面平面，所以平面.
又平面平面，，所以平面平面.
因为平面，所以平面PBC.
又平面PAB，平面平面，所以.
又是AB的中点，所以是AP的中点.
设圆台的高为h，
由，解得，
故.
（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
故，
因为平面PBC，又平面PAD，平面平面，故，
设为平面PAC的法向量，
则取，得为平面的一个法向量，
设为与平面所成的角，则.