数学选择性必修 第一册直线的方程精品随堂练习题

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【知识点梳理】
知识点01：倾斜角与斜率
倾斜角定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角为的倾斜角.规定：与轴平行或重合时倾斜角为.
范围：；直线垂直于轴时，的倾斜角是.
斜率：定义：当时，倾斜角的正切值为直线的斜率，即；
过的直线斜率公式为
当，越大，越大；当，越大，越大；
知识点02：五种直线方程
1、点斜式:,不含与轴垂直的直线
2、斜截式：，不含与轴垂直的直线
3、两点式：，不含与轴、轴垂直的直线
4、截距式：，不含与坐标轴垂直和过原点的直线
5、一般式：,适用所有直线
知识点03：两直线的位置关系
1、平行：两条不重合的直线，若其斜率分别为则有，若斜率都不存在时，
，(排除重合)
2、垂直：两条不重合的直线，若其斜率分别为则有，
若直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则
，则有
3、两直线的交点：直线与交点坐标是方程组的解
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识点04：直线中三种距离公式
1、点到点距离公式：已知两点，则
2、点到直线的距离公式：已知点,则距离
3、两平行直线的距离：
知识点05：对称问题
点关于点对称问题
利用中点坐标公式易得，（a,b）关于（m,n）对称点为（2m-a,2n-b）
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②整理得：
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
4、线关于线的对称线问题（两直线相交）
直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
5、直线关于直线对称问题（两直线平行）
直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
【题型1 斜率与倾斜角变换关系】
【例1】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）

A．B．
C．D．
【变式1.1】（23-24高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ．
【题型2 直线与线段有公共点，求斜率取值范围】
【例2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2.1】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，B2,1，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型3 利用斜率的几何意义求代数值（范围）】
【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
【变式3.1】（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 .
【题型4 求直线方程】
【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，.
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)求边上的中线所在的直线方程；
(3)求角平分线所在的直线方程.
【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程
(1)求过点A且与平行的直线方程；
(2)边上的中线所在直线的方程；
(3)边上的高所在直线方程；
(4)边的垂直平分线的方程.
【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程．
(1)经过两点，；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，平行于轴；
(4)斜率为2，在轴上的截距为1．
(5)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
【题型5 两条直线平行与垂直关系】
【例5】（23-24高二上·新疆）直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直
【例5.1】（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【例5.2】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（ ）
A．12B．20C．26D．32
【变式5.3】（23-24高一·浙江杭州）在平面直角坐标系中，已知点，直线．
（1）求过P且平行于l的直线的方程；
（2）求过P且垂直于l的直线的方程．
【题型6 直线过定点问题】
【例6】（23-24高一下·全国·课后作业）无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A．B．C．D．
【变式6.1】（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点
【题型7 直线中三种距离问题 】
【例7.1】著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【例7.2】点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
【例7.3】已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式7.1】函数的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【变式7.2】若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A．B．或C．D．或
【变式7.3】已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式7.4】若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型8 直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）】
【例8】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为．
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)求的面积．
【变式8.1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三个顶点是，，.
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)求的面积.
【变式8.2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
【题型9 直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）】
【例9】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点．
(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．
【变9.1】（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.
【变9.2】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点.
(1)若，求直线的方程;
(2)求面积的最小值.
【题型10 点关于直线对称点】
【例10】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ．
【变式10.1】（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为 ．
【变式10.2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是 ．
【题型11 直线关于点对称】
【例11】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ．
【变式11.1】（23-24高一下·江西抚州）与直线关于原点对称的直线的方程为 .
【变式11.2】（24-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则 .
【题型12 直线关于直线对称问题（两直线相交）】
【例12】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式12.1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 .
【变式12.2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 .
【题型13 直线关于直线对称问题（两直线平行）】
【例13】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程.
【变式13.1】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为
【变式13.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，．
（1）求直线关于直线的对称直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程．
【题型14 将军饮马问题】
【例14】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．3C．D．5
【变式14】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【专题训练】
一、单选题
1．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
4．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4
B．点关于直线的对称点为
C．直线关于直线的对称直线的方程为
D．直线关于点的对称直线的方程为
5．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知直线l过点，，则（ ）
A．点在直线l上
B．直线l的两点式方程为
C．直线l的一个方向向量的坐标为
D．直线l的截距式方程为
8．已知直线直线则（ ）
A．在y轴上的截距为B．恒过点
C．当时D．当时，
三、填空题
9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）过点且横纵截距相等的直线方程为 （写成一般式方程）
10．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ．
四、解答题
11．过点作直线分别交的正半轴于两点.
(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；
(2)当取最小值时，求直线的方程.
(3)当取最小值时，求直线的方程.
（4）求直线在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线的方程。
12．已知的三个顶点是，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)的角平分线所在直线的方程.
13．已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为．
(1)求点B的坐标；
(2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．