人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线第2课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线第2课时教学设计，共5页。

1.探索并证明角平分线的判定定理.
2.感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.
重点：探索并证明角平分线的判定定理及其运用.
难点：区别角的平分线的性质定理和判定定理并灵活运用.
知识链接
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？
创设情境
探究点一：角的平分线的判定
思考：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
新结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
探索：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论.
这个结论成立.证明过程如下：
如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：如图，经过点P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP＝OP，PD＝PE.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线上.
讨论：角的平分线的性质及判定之间的关系和区别是什么？
角的平分线的性质是证两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证两角相等的依据，在应用时不要混淆.
应用：根据上述结论，请找到知识链接中集贸市场的具体位置.
集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷250＝2个单位长度的位置，如图中点P所示.
如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D.若BD＝CD，求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED，∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE（AAS）.∴DF＝DE.
又DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线.
探究点二：三角形三条角平分线的关系
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
思考：想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
由于点P在∠A的内部，而且PD＝PF，所以点P在∠A的平分线上.这说明三角形的三条角平分线交于一点.
1.如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE＝3，当DF＝ 3 时，OD是∠AOB的平分线.

第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，△ABC的周长是12，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是 18 .
3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，若点D到边AB的距离为2.4，S△BCD＝7.2，则∠ABD＝ 45 °.
4.如图，已知BD＝CD，BD⊥AC于点F，CD⊥AB于点E，求证：点D在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CD⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上.
5.如图，已知点D，E，F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，∴12BF·DM＝12CE·DN.
∵CE＝BF，∴DM＝DN.∴AD平分∠BAC.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）