人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线第1课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线第1课时教学设计，共4页。

1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力.
2.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理.
3.培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力.
重点：尺规作图：作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理及应用.
难点：角平分线的性质定理的探索过程.
知识链接
想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？我们在练习本上画一个角，怎样得到它的平分线？我们已经能用尺规作一个角等于已知角了，那能否用尺规作一个角的平分线呢？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧.
创设情境
探究点一：角平分线的作法
情境探究：如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
答：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）.
∴∠BAC＝∠DAC.∴AE是∠BAD的平分线.
以上探究过程告诉我们角平分线的作法，阅读教材P49关于角平分线的具体作法，与同桌交流下列问题：
问题1：作图步骤（2）中，为什么要以“大于12MN的长”为半径画弧？
以“大于12MN的长为半径画弧”是因为以小于12MN的长为半径画弧，两弧没有交点，以等于12MN的长为半径画弧不易操作.
问题2：作图步骤（2）中，两弧的交点一定在∠AOB的内部吗？
若分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部.而我们要作的是角的平分线，角的平分线在角的内部，所以交点应在∠AOB内部寻找，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
探究点二：角的平分线的性质
操作：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE.
思考：比较PD，PE的长度，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
PD＝PE.在OC上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立.
猜想：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
证明：如上图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD＝PE.
归纳总结：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝CF.
解：∵∠B＝90°，∴BD⊥AB.∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB＝DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中，DE＝DC，DB＝DF，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE＝CF.
1.如图，已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，PD＝10，则PE的长为 10 .

第1题图 第2题图
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是 2 .
3.[作图通关]用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作∠ABC的平分线BD；
（2）过点O作直线l的垂线m（提示：即作一个平角的平分线）.

解：（1）如图所示.（2）如图所示.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）