初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 认识二元一次方程组教学ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 认识二元一次方程组教学ppt课件，共46页。PPT课件主要包含了旧识回顾，含有未知数的等式，情境导入，视频导入，二元一次方程的概念，x－y＝2，x＋1＝2y－1，x＋y＝8，x＋3y＝34，①含有两个未知数等内容，欢迎下载使用。
5.1 认识二元一次方程组 教案一、教学目标知识与技能目标学生能够清晰准确地理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，熟练掌握判断一个方程或方程组是否为二元一次方程（组）的方法。学会根据实际问题中的数量关系，正确列出二元一次方程和二元一次方程组，初步掌握检验一对数值是否为二元一次方程（组）解的方法。过程与方法目标通过分析实际问题中的数量关系，经历将实际问题抽象为数学模型（二元一次方程和方程组）的过程，培养学生的数学建模能力和抽象思维能力。在探究二元一次方程（组）解的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。情感态度与价值观目标让学生充分感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣和热情。在小组合作与交流中，培养学生的团队合作精神和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。二、教学重难点教学重点二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。根据实际问题列出二元一次方程和二元一次方程组。教学难点理解二元一次方程组的解是两个方程的公共解，以及在实际问题中准确找出数量关系并列出方程组。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、情境教学法四、教学过程（一）情境导入（5 分钟）展示生活中的问题情境：小明去商店买文具，买了 2 支铅笔和 3 本笔记本，一共花费 10 元；小红买了 3 支同样的铅笔和 2 本同样的笔记本，一共花费 8 元。问每支铅笔和每本笔记本的价格分别是多少元？提问学生：“我们能否用学过的一元一次方程来解决这个问题呢？如果设每支铅笔\(x\)元，如何表示笔记本的价格并列出方程？” 引导学生尝试用一元一次方程解决，发现过程较为复杂。接着提出：“有没有更简便的方法呢？今天我们将学习一种新的数学工具 —— 二元一次方程组，来帮助我们解决这类问题。” 从而引出本节课的课题。（二）探究新知（20 分钟）二元一次方程的概念（7 分钟）对于上述文具购买问题，引导学生设每支铅笔\(x\)元，每本笔记本\(y\)元，根据已知条件列出方程\(2x + 3y = 10\)和\(3x + 2y = 8\)。让学生观察这两个方程，与一元一次方程进行对比，组织小组讨论：这些方程有什么共同特点？小组代表发言后，教师总结归纳二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。强调 “两个未知数”“次数都是 1”“整式方程” 这几个关键要点。给出一些方程，如\(3x - y = 5\)、\(x + \frac{1}{y} = 2\)、\(x^2 + y = 3\)，让学生判断哪些是二元一次方程，并说明理由，加深学生对概念的理解。二元一次方程组的概念（6 分钟）指出像\(\begin{cases}2x + 3y = 10\\3x + 2y = 8\end{cases}\)这样，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。进一步讲解二元一次方程组的形式特点，强调方程组中方程的个数不一定只有两个，但通常以两个方程组成的方程组为主，且每个方程都要是二元一次方程。给出一些方程组，如\(\begin{cases}x + y = 7\\2x - y = 1\end{cases}\)、\(\begin{cases}x = 2y\\3x - 4y = 5\end{cases}\)、\(\begin{cases}x + y = 3\\x^2 - y = 2\end{cases}\)，让学生判断哪些是二元一次方程组，强化学生对概念的掌握。二元一次方程（组）的解（7 分钟）对于二元一次方程\(2x + 3y = 10\)，引导学生思考：当\(x = 1\)时，\(y\)的值是多少？当\(x = 2\)时，\(y\)又等于多少？通过代入计算，得到多组满足方程的\(x\)、\(y\)值，从而引出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数组解。对于二元一次方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 10\\3x + 2y = 8\end{cases}\)，讲解其解是两个方程的公共解，即同时满足两个方程的\(x\)、\(y\)的值。通过尝试代入一些数值，如\(\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}\)，检验是否为方程组的解，进而总结出检验方程组解的方法。给出二元一次方程（组），让学生找出或检验方程（组）的解，如判断\(\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}\)是否为方程组\(\begin{cases}x + y = 2\\x - y = 0\end{cases}\)的解，巩固学生对解的概念的理解和应用。（三）巩固练习（15 分钟）基础练习：判断下列方程是否为二元一次方程：\(4x - 3y = 7\)；\(xy = 1\)；\(x + y = 5\)；\(\frac{1}{x} + y = 3\)。下列方程组中，哪些是二元一次方程组：\(\begin{cases}x + y = 4\\2x - y = 3\end{cases}\)；\(\begin{cases}x + y = 5\\z + x = 3\end{cases}\)；\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)；\(\begin{cases}x^2 + y = 2\\x - y = 1\end{cases}\)。提高练习：根据题意列出二元一次方程或方程组：甲数比乙数大 3，设甲数为\(x\)，乙数为\(y\)，可列方程为 。某班学生参加植树活动，人数在 30 - 50 之间，若分成 4 人一组，6 人一组或 8 人一组都恰好分完，设该班学生人数为\(x\)，组数为\(y\)，可列方程组为 。已知\(\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases}\)是二元一次方程\(ax + by = -1\)的一组解，且\(a + b = -3\)，求\(a\)、\(b\)的值。拓展练习：某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 件甲产品需要\(A\)原料 2 千克，\(B\)原料 3 千克；生产 1 件乙产品需要\(A\)原料 4 千克，\(B\)原料 1 千克。现有\(A\)原料 10 千克，\(B\)原料 11 千克，设生产甲产品\(x\)件，生产乙产品\(y\)件，列出满足条件的二元一次方程组，并尝试找出一组可能的解。（四）课堂小结（5 分钟）请学生回顾本节课所学内容，说一说二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，以及如何根据实际问题列出二元一次方程（组）。教师进行补充和完善，强调概念中的关键要点，以及在实际问题中寻找数量关系的重要性，帮助学生构建完整的知识体系。同时，再次突出方程思想在解决问题中的应用。（五）布置作业（课后完成）必做题：完成课本上相关练习题，巩固二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，以及列方程（组）的方法。选做题：查阅资料，了解二元一次方程组在其他领域（如经济、物理等）的应用实例，并尝试分析其中的数量关系，列出相应的方程组。实践题：观察生活中的一个实际问题，如家庭水电费的支出与用量的关系、超市购物中不同商品组合的花费等，尝试建立二元一次方程或方程组来描述其中的数量关系 。五、教学反思在教学过程中，关注学生对二元一次方程（组）概念的理解程度，分析学生在判断方程（组）类型、列方程（组）和解的检验等方面出现的问题。思考教学方法是否有效引导学生掌握知识，教学活动的设计是否符合学生的认知水平。针对学生反馈，及时调整教学策略，加强对重难点内容的讲解和练习，提高教学效果。这份教案围绕二元一次方程组的核心概念展开，注重知识的系统性和实践性。若你对教学环节设置、练习题难度等有新想法，欢迎随时告诉我，我会进一步优化。
1. 通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高学生的理解和归纳能力．2．学生通过对实际问题的分析，能够根据简单实际问题列方程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．3．学生通过探究学习，能初步具备利用数学知识分析并解决实际问题的能力，同时发展交流合作、归纳概括的能力，体会数学的趣味性．
1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都为整式的等式
小红到邮局寄信，需要邮资3元8角.小红有6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种邮票？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？
哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！
思考：听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗?
问题1 设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多2个;
老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.
昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?
问题2 他们到底去了几个成人，几个儿童呢?
1.这四个方程是一元一次方程吗？为什么？
2.这四个方程有什么共同特点？
② 含有未知数的项的次数都是1.
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
3.二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？
只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有2个未知数（元），未知数的次数为1.
都是含未知数的等式方程
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
(7) 4x+ π =0
(8) 2x=1-3y
判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
(5) －5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
判断下列方程是不是二元一次方程？
例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程， 则m＋n＝________．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
根据二元一次方程的定义求字母的值
方法小结：由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)未知数的次数都是1.
1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=___.
2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2　 B. 3　 C. 1　 D. 0
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?
解：设该队胜了x场，负了y场,根据题意可得方程：
2x + y = 28
胜的场数+负的场数=总场数
胜场积分+负场积分=总积分
像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
下列哪些是二元一次方程组？ (1) x+y= 2 (2) x-y=1 x = y (3) x=0 (4) z=x+1 y=1 2x-y=5(5) x-3y=8 (6) 3x=5y xy=6 2x-y=0
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
二元一次方程组的特点：①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.
例 在方程组 程组的有 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个
含有未知数的项的次数为1
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
探究　公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.
思考1　如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？
x,y还可取到小数,如x=0.5,y=7.5;
二元一次方程的解的定义
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
判断一对数值是不是二元一次方程的解,只需把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.温馨提示:一般情况下,二元一次方程有无数组解,但若对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.
1.判断给出的x、y的值是否是方程的解(1) 2x-3y=6 ( ) (2) 5x+2y=8 ( )
2.在 中, 是方程x+y=22的解的有 (填序号) .
1.上表中列出了公园门票中，满足方程x+y=8,且符合实际意义的值.
2.再找出方程5x +3y = 34的符合实际意义的解,并用表格罗列.
二元一次方程组的解的定义
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
思考 观察两个表格你有什么发现？
x=5，y=3是方程x+y=8 ①与方程5x＋3y＝34 ②的公共解，记作 .
1.填表:使每对x,y的值是方程3x+y=5的解．2.已知下列三对数值 ________是方程x+y=7的解; ________是方程2x+y=9的解， _______是方程组 的解．
x + y=72x+y=9
解：把 代入到方程组,得： 解得a =2,b=11.
例1 已知二元一次方程组 的解是求a与b的值.
利用二元一次方程组的解求字母的值
若 是方程x-ky=1的解,则k的值为 .
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：吴秀青
例2 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
根据实际问题列二元一次方程组
分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；第一道工序的件数＝________________.设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来： ___________.
解：所以可列方程组为
根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（　　）
哦……我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本花了30元钱．
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？
A.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本
方程组 的解是（　　） A． B． C． D．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
（2）根据（1）中的数据写出方程组的解.
A. 3，10B. 4，10C. 10，4D. 10，3
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
10. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案( )
A. 5种B. 4种C. 3种D. 2种
二元一次方程及二元一次方程组的定义
二元一次方程及二元一次方程组的解