5.1 认识二元一次方程组（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

5.1 认识二元一次方程组在现实生活中，许多问题往往涉及两个未知量，并且这两个未知量之间存在着一定的数量关系。例如，购买水果时涉及水果的单价和数量，行程问题中涉及速度和时间等。为了描述这类含有两个未知量的问题，我们需要引入二元一次方程和二元一次方程组的概念。本节将学习二元一次方程、二元一次方程组的定义，以及它们的解的含义，为后续求解二元一次方程组奠定基础。一、二元一次方程（一）定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。例如：\(x + y = 5\)，含有两个未知数\(x\)和\(y\)，且每个未知数的项的次数都是 1，是二元一次方程；\(2a - 3b = 7\)，含有两个未知数\(a\)和\(b\)，项的次数都是 1，是二元一次方程；\(x^2 + y = 3\)，虽然含有两个未知数，但\(x^2\)的次数是 2，不是二元一次方程；\(\frac{1}{x} + y = 2\)，不是整式方程（分母中含有未知数），因此不是二元一次方程。（二）对定义的理解未知数的数量：必须含有两个不同的未知数，通常用字母\(x\)、\(y\)，或\(a\)、\(b\)等表示。项的次数：含有未知数的项的次数都是 1，这里的 “次数” 指的是未知数的指数和，例如\(xy + 1 = 0\)中，\(xy\)的次数是 2（\(x\)的次数 1 加上\(y\)的次数 1），因此不是二元一次方程。整式方程：方程的两边必须是整式，即分母中不能含有未知数，根号下也不能含有未知数。（三）二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为\(ax + by + c = 0\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，且\(a \neq 0\)，\(b \neq 0\)）。其中，\(ax\)、\(by\)是含有未知数的项，\(c\)是常数项。例如，方程\(3x - 2y + 5 = 0\)是二元一次方程的一般形式，其中\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = 5\)。（四）例题解析例 1：判断下列方程是否为二元一次方程：（1）\(x + y = 1\)；（2）\(3x - 2y^2 = 5\)；（3）\(\frac{x}{2} + 3y = 4\)；（4）\(xy = 6\)；（5）\(x + 2 = 3y\)。解：（1）方程\(x + y = 1\)含有两个未知数\(x\)和\(y\)，且含有未知数的项的次数都是 1，是整式方程，因此是二元一次方程。（2）方程\(3x - 2y^2 = 5\)中，\(y^2\)的次数是 2，不符合含有未知数的项的次数都是 1 的要求，因此不是二元一次方程。（3）方程\(\frac{x}{2} + 3y = 4\)可以变形为\(\frac{1}{2}x + 3y - 4 = 0\)，含有两个未知数\(x\)和\(y\)，含有未知数的项的次数都是 1，是整式方程，因此是二元一次方程。（4）方程\(xy = 6\)中，\(xy\)的次数是 2（\(x\)的次数 1 加上\(y\)的次数 1），不符合次数要求，因此不是二元一次方程。（5）方程\(x + 2 = 3y\)可以变形为\(x - 3y + 2 = 0\)，含有两个未知数\(x\)和\(y\)，含有未知数的项的次数都是 1，是整式方程，因此是二元一次方程。二、二元一次方程的解（一）定义使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。例如，对于二元一次方程\(x + y = 5\)：当\(x = 2\)，\(y = 3\)时，左边\(= 2 + 3 = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边，因此\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是该方程的解；当\(x = 0\)，\(y = 5\)时，左边\(= 0 + 5 = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边，因此\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5\end{cases}\)也是该方程的解。（二）解的表示方法二元一次方程的解通常用大括号联立起来表示，即\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)，其中\(a\)和\(b\)分别是未知数\(x\)和\(y\)的值。（三）解的特征二元一次方程的解有无数个。因为对于一个二元一次方程，我们可以任意给定一个未知数的值，就能求出另一个未知数的对应值。例如，对于方程\(2x + y = 4\)：当\(x = 1\)时，\(2×1 + y = 4 \Rightarrow y = 2\)，得到一组解\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)；当\(x = -1\)时，\(2×(-1) + y = 4 \Rightarrow y = 6\)，得到一组解\(\begin{cases}x = -1 \\ y = 6\end{cases}\)；当\(y = 0\)时，\(2x + 0 = 4 \Rightarrow x = 2\)，得到一组解\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 0\end{cases}\)。（四）例题解析例 2：已知\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)是二元一次方程\(2x + my = 5\)的解，求\(m\)的值。解：因为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)是方程\(2x + my = 5\)的解，所以将\(x = 3\)，\(y = -1\)代入方程中，得：\(2×3 + m×(-1) = 5\)\(6 - m = 5\)解得\(m = 1\)。例 3：写出二元一次方程\(x - 2y = 3\)的三组解。解：当\(x = 3\)时，\(3 - 2y = 3 \Rightarrow -2y = 0 \Rightarrow y = 0\)，得到一组解\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 0\end{cases}\)；当\(y = 1\)时，\(x - 2×1 = 3 \Rightarrow x = 5\)，得到一组解\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)；当\(x = 1\)时，\(1 - 2y = 3 \Rightarrow -2y = 2 \Rightarrow y = -1\)，得到一组解\(\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}\)。三、二元一次方程组（一）定义由两个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。例如：\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)，由两个二元一次方程组成，是二元一次方程组；\(\begin{cases}3a - b = 2 \\ a + 2b = 7\end{cases}\)，由两个二元一次方程组成，是二元一次方程组；\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x^2 - y = 1\end{cases}\)，第二个方程不是二元一次方程，因此不是二元一次方程组。（二）对定义的理解方程组的组成：必须含有两个方程，且每个方程都是二元一次方程。未知数的数量：两个方程中总共含有两个未知数（可以是两个方程都含有这两个未知数，也可以是每个方程含有一个未知数，但两个方程合起来含有两个未知数）。例如，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)也是二元一次方程组，因为每个方程都是二元一次方程（可以看作\(x + 0y = 2\)和\(0x + y = 3\)）。（三）二元一次方程组的一般形式二元一次方程组的一般形式为\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}\)（\(a_1\)，\(b_1\)，\(c_1\)，\(a_2\)，\(b_2\)，\(c_2\)是常数，且\(a_1\)与\(b_1\)不同时为 0，\(a_2\)与\(b_2\)不同时为 0）。（四）例题解析例 4：判断下列方程组是否为二元一次方程组：（1）\(\begin{cases}x + y = 2 \\ x - y = 1\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}2x + 3y = 5 \\ x + z = 3\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}x + y = 3 \\ xy = 2\end{cases}\)。解：（1）方程组\(\begin{cases}x + y = 2 \\ x - y = 1\end{cases}\)由两个二元一次方程组成，因此是二元一次方程组。（2）方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 5 \\ x + z = 3\end{cases}\)含有三个未知数\(x\)、\(y\)、\(z\)，不符合二元一次方程组的定义，因此不是二元一次方程组。（3）方程组\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)中的两个方程都是二元一次方程（可看作\(x + 0y = 1\)和\(0x + y = 2\)），因此是二元一次方程组。（4）方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ xy = 2\end{cases}\)中的第二个方程\(xy = 2\)不是二元一次方程，因此不是二元一次方程组。四、二元一次方程组的解（一）定义二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。例如，对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)：验证\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是否为解：将\(x = 2\)，\(y = 3\)代入第一个方程，左边\(= 2 + 3 = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；代入第二个方程，左边\(= 2×2 - 3 = 1\)，右边\(= 1\)，左边 = 右边。因此\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是该方程组的解。（二）解的特征二元一次方程组的解通常是唯一的（在后续学习中会遇到无解或无数解的情况，但基本问题中多为唯一解）。它必须同时满足方程组中的每一个方程。（三）例题解析例 5：判断\(\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是否是方程组\(\begin{cases}x + 2y = -1 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)的解。解：对于\(\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}\)：代入第一个方程：左边\(= 1 + 2×(-1) = 1 - 2 = -1\)，右边\(= -1\)，左边 = 右边；代入第二个方程：左边\(= 2×1 - (-1) = 2 + 1 = 3\)，右边\(= 3\)，左边 = 右边。因此，\(\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}\)是该方程组的解。对于\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)：代入第一个方程：左边\(= 2 + 2×1 = 2 + 2 = 4\)，右边\(= -1\)，左边≠右边。因此，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)不是该方程组的解。例 6：已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 5 \\ bx + ay = 2\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值。解：因为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程组的解，所以将其代入方程组中，得：\(\begin{cases}2a + b = 5 \\2b + a = 2\end{cases}\)由第一个方程得\(b = 5 - 2a\)，将其代入第二个方程：\(2(5 - 2a) + a = 2\)\(10 - 4a + a = 2\)\(-3a = -8\)解得\(a = \frac{8}{3}\)。将\(a = \frac{8}{3}\)代入\(b = 5 - 2a\)，得\(b = 5 - 2×\frac{8}{3} = 5 - \frac{16}{3} = -\frac{1}{3}\)。因此，\(a\)的值为\(\frac{8}{3}\)，\(b\)的值为\(-\frac{1}{3}\)。五、常见误区对二元一次方程定义理解错误：忽略 “整式方程” 的条件，认为含有两个未知数且次数为 1 的分式方程也是二元一次方程；或者误将未知数的次数当作方程中所有项的次数之和。二元一次方程的解的表示错误：将解表示为单个未知数的值，而不是两个未知数的组合，例如将方程\(x + y = 5\)的解写成\(x = 2\)，而忽略\(y = 3\)。混淆二元一次方程与二元一次方程组的解：认为二元一次方程组的解是两个方程的解的简单组合，而没有理解 “公共解” 的含义，即必须同时满足两个方程。判断方程组类型错误：将含有三个未知数的方程组或其中有一个方程不是二元一次方程的方程组误认为是二元一次方程组。代入验证解时出错：在验证一组值是否为方程组的解时，只代入一个方程进行检验，而忽略另一个方程，导致判断错误。六、课堂总结二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，其一般形式为\(ax + by + c = 0\)（\(a \neq 0\)，(b \neq 02024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过实例了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，提高学生的理解和归纳能力．2．学生通过对实际问题的分析，能够根据简单实际问题列方程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．3．学生通过探究学习，能初步具备利用数学知识分析并解决实际问题的能力，同时发展交流合作、归纳概括的能力，体会数学的趣味性．重点难点旧识回顾1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？含有未知数的等式只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都为整式的等式情境导入小红到邮局寄信，需要邮资3元8角.小红有6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种邮票？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？视频导入二元一次方程的概念思考哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！真的?！思考：听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗?问题1 设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？老牛的包裹数比小马的多2个;老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?问题2 他们到底去了几个成人，几个儿童呢?x＋y＝85x＋3y＝341.这四个方程是一元一次方程吗？为什么？2.这四个方程有什么共同特点？① 含有两个未知数；② 含有未知数的项的次数都是1. 二元一次方程 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.3.二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？不同:相同:含未知数个数不同都是一次方程观察思考x－y＝2x＋1＝2(y－1)x＋y＝85x＋3y＝34只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；x + y = 45. x + 15 = 60含有2个未知数（元），未知数的次数为1.一元一次方程都是含未知数的等式方程二元一次方程观察比较(3)是不是不是不是不是不是例1 判断下列方程是否为二元一次方程：(7) 4x+ π =0(8) 2x=1-3y不是是二元一次方程的判断判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.(8)4xy+5=0(1)x+y=11(3)x2+y=5(2)m+1=2(4)3x－π=11(5) －5x=4y+2(6)7+a=2b+11c二元一次方程不是二元一次方程判断下列方程是不是二元一次方程？例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程， 则m＋n＝________．解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.0根据二元一次方程的定义求字母的值方法小结：由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)未知数的次数都是1.1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=___.2m-1=113n-2m=11 2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2　 B. 3　 C. 1　 D. 0 Bx + y = 16 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?解：设该队胜了x场，负了y场,根据题意可得方程：2x + y = 28等量关系:胜的场数+负的场数=总场数胜场积分+负场积分=总积分二元一次方程组的定义 像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.下列哪些是二元一次方程组？ (1) x+y= 2 (2) x-y=1 x = y (3) x=0 (4) z=x+1 y=1 2x-y=5(5) x-3y=8 (6) 3x=5y xy=6 2x-y=0(是)(是)(不是)(不是)(是)(不是)通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？二元一次方程组的特点：①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.例 在方程组 程组的有 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个D中，是二元一次方二元一次方程组的判断提示：三个要素：含有两个未知数含有未知数的项的次数为1整式方程下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________（3）（5）（6）探究　公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.思考1　如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？x,y还可取到小数,如x=0.5,y=7.5;有无数组这样的值.二元一次方程的解的定义 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 判断一对数值是不是二元一次方程的解,只需把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.温馨提示:一般情况下,二元一次方程有无数组解,但若对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.1.判断给出的x、y的值是否是方程的解(1) 2x-3y=6 ( ) (2) 5x+2y=8 ( )×√ 2.在 中, 是方程x+y=22的解的有 (填序号) .①②③④⑤引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：吴秀青例2 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？根据实际问题列二元一次方程组引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：吴秀青分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；第一道工序的件数＝________________.设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来： ___________. x+y=7900x=1200y第二道工序的人数第二道工序的件数解：所以可列方程组为 知识点1 二元一次方程（组）的概念1.下列方程中属于二元一次方程的是( )C  返回2.下列方程组是二元一次方程组的是( )D  返回 21 返回知识点2 二元一次方程（组）的解 D  返回   返回知识点3 根据实际问题列方程（组） D  返回7.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程（组）。   （3）上衣的单价是裤子单价的1.4倍，5件裤子比3件上衣贵700元：_ ________________________________________________________。  返回认识二元一次方程组二元一次方程及二元一次方程组的定义二元一次方程及二元一次方程组的解根据实际问题列二元一次方程组必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！