4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题在实际生活中，许多问题涉及两个相关的一次函数关系，例如两种不同的收费方式、两种商品的销售利润对比等。通过绘制这两个一次函数的图象，我们可以直观地分析它们之间的关系，解决诸如交点意义、函数值大小比较、实际方案选择等问题。本节将重点探讨如何利用两个一次函数的图象解决实际问题，体会数形结合思想在解题中的应用。一、两个一次函数图象的交点意义（一）交点的代数意义对于两个一次函数\(y_1 = k_1x + b_1\)（\(k_1 \neq 0\)）和\(y_2 = k_2x + b_2\)（\(k_2 \neq 0\)），它们的图象交点坐标\((x_0, y_0)\)是方程组\(\begin{cases}y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2\end{cases}\)的解。这意味着当自变量\(x = x_0\)时，两个函数的函数值相等，即\(y_1 = y_2 = y_0\)。（二）交点的实际意义在实际问题中，交点坐标通常表示两个函数所描述的数量关系达到平衡的状态。例如：在收费问题中，交点表示两种收费方式的费用相等时的用量；在利润问题中，交点表示两种销售方案的利润相等时的销售量；在行程问题中，交点表示两个物体相遇时的时间和位置。（三）例题解析例 1：已知两个一次函数\(y_1 = 2x + 1\)和\(y_2 = -x + 4\)，求它们图象的交点坐标，并说明该交点的意义。解：联立两个函数的表达式，得方程组：\(\begin{cases}y = 2x + 1 \\y = -x + 4\end{cases}\)将第一个方程代入第二个方程，得：\(2x + 1 = -x + 4\)。移项、合并同类项：\(3x = 3 \Rightarrow x = 1\)。将\(x = 1\)代入\(y = 2x + 1\)，得\(y = 2×1 + 1 = 3\)。因此，两个函数图象的交点坐标为\((1, 3)\)。意义：当\(x = 1\)时，两个函数的函数值相等，均为 3，即\(y_1 = y_2 = 3\)。二、利用图象比较两个函数的函数值大小通过观察两个一次函数的图象，可以直观地比较在不同自变量取值范围内两个函数的函数值大小关系，具体规律如下：（一）函数值大小与图象位置的关系设两个一次函数的图象交点为\((x_0, y_0)\)：当\(x > x_0\)时，图象在上方的函数对应的函数值较大；当\(x < x_0\)时，图象在上方的函数对应的函数值较大；当\(x = x_0\)时，两个函数的函数值相等。（二）例题解析例 2：已知两个一次函数\(y_1 = 3x - 2\)和\(y_2 = -x + 2\)的图象如图所示（假设图象已给出），根据图象回答下列问题：（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）当\(x\)为何值时，\(y_1 > y_2\)？当\(x\)为何值时，\(y_1 < y_2\)？解：（1）联立两个函数的表达式，得方程组：\(\begin{cases}y = 3x - 2 \\y = -x + 2\end{cases}\)解得：\(3x - 2 = -x + 2 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1\)，代入\(y = -x + 2\)得\(y = 1\)。因此，交点坐标为\((1, 1)\)。（2）观察图象可知：当\(x > 1\)时，\(y_1\)的图象在\(y_2\)的图象上方，因此\(y_1 > y_2\)；当\(x < 1\)时，\(y_1\)的图象在\(y_2\)的图象下方，因此\(y_1 < y_2\)。三、利用两个一次函数的图象解决实际问题（一）收费方案选择问题在实际生活中，经常会遇到多种收费方式可供选择的情况，通过建立一次函数模型并绘制图象，可以直观地比较不同方案的费用，选择最优方案。例 3：某通讯公司推出两种手机流量套餐：套餐 A：月租费 10 元，每 GB 流量费用 5 元；套餐 B：月租费 20 元，每 GB 流量费用 3 元。设每月使用流量\(x\)GB，套餐 A 的总费用为\(y_1\)元，套餐 B 的总费用为\(y_2\)元。（1）分别写出\(y_1\)、\(y_2\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）绘制两个函数的图象，并求出它们的交点坐标；（3）根据图象回答：当每月使用流量为多少时，两种套餐的费用相等？当每月使用流量为多少时，选择套餐 A 更划算？当每月使用流量为多少时，选择套餐 B 更划算？解：（1）根据题意，可得：套餐 A：\(y_1 = 5x + 10\)（\(x \geq 0\)）；套餐 B：\(y_2 = 3x + 20\)（\(x \geq 0\)）。（2）绘制图象（略），联立两个函数关系式：\(\begin{cases}y = 5x + 10 \\y = 3x + 20\end{cases}\)解得：\(5x + 10 = 3x + 20 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)，代入得\(y = 5×5 + 10 = 35\)。因此，交点坐标为\((5, 35)\)。（3）根据图象可知：当每月使用流量为 5GB 时，两种套餐的费用相等，均为 35 元；当每月使用流量小于 5GB 时，套餐 A 的费用低于套餐 B，选择套餐 A 更划算；当每月使用流量大于 5GB 时，套餐 B 的费用低于套餐 A，选择套餐 B 更划算。（二）行程问题在行程问题中，通过建立两个物体的路程与时间的一次函数关系，利用图象可以确定相遇时间、比较速度大小等。例 4：甲、乙两地相距 100 千米，甲车从甲地出发匀速开往乙地，速度为 20 千米 / 小时；乙车从乙地出发匀速开往甲地，速度为 30 千米 / 小时。设甲车行驶时间为\(t\)小时，甲车距离甲地的路程为\(s_1\)千米，乙车距离甲地的路程为\(s_2\)千米。（1）分别写出\(s_1\)、\(s_2\)与\(t\)之间的函数关系式，并写出自变量\(t\)的取值范围；（2）绘制两个函数的图象，求出它们的交点坐标，并说明该交点的实际意义。解：（1）根据题意，可得：甲车：\(s_1 = 20t\)，甲车从甲地到乙地所需时间为\(100÷20 = 5\)小时，因此\(t\)的取值范围是\(0 \leq t \leq 5\)；乙车：乙车距离甲地的路程\(s_2 = 100 - 30t\)，乙车从乙地到甲地所需时间为\(100÷30 \approx 3.33\)小时，因此\(t\)的取值范围是\(0 \leq t \leq \frac{10}{3}\)。（2）绘制图象（略），联立两个函数关系式：\(\begin{cases}s = 20t \\s = 100 - 30t\end{cases}\)解得：\(20t = 100 - 30t \Rightarrow 50t = 100 \Rightarrow t = 2\)，代入得\(s = 20×2 = 40\)。因此，交点坐标为\((2, 40)\)。实际意义：当甲车行驶 2 小时时，甲、乙两车相遇，此时距离甲地 40 千米。（三）利润比较问题在销售问题中，通过建立两种商品或两种销售方案的利润与销售量的一次函数关系，利用图象可以比较利润大小，确定最优销售策略。例 5：某商店销售 A、B 两种商品，已知销售 A 商品每件可获利 3 元，销售 B 商品每件可获利 5 元。设销售 A 商品\(x\)件，销售 B 商品\(y\)件，但商店每月进货总量不超过 100 件，且\(x + y = 100\)（即每月销售总量为 100 件）。设销售 A 商品的总利润为\(w_1\)元，销售 B 商品的总利润为\(w_2\)元。（1）分别写出\(w_1\)、\(w_2\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）绘制两个函数的图象，求出它们的交点坐标，并说明当\(x\)为何值时，销售 A 商品的总利润大于销售 B 商品的总利润？解：（1）因为\(x + y = 100\)，所以\(y = 100 - x\)。根据题意，可得：销售 A 商品的总利润：\(w_1 = 3x\)（\(0 \leq x \leq 100\)）；销售 B 商品的总利润：\(w_2 = 5(100 - x) = -5x + 500\)（\(0 \leq x \leq 100\)）。（2）绘制图象（略），联立两个函数关系式：\(\begin{cases}w = 3x \\w = -5x + 500\end{cases}\)解得：\(3x = -5x + 500 \Rightarrow 8x = 500 \Rightarrow x = 62.5\)，由于销售量为整数，\(x = 62\)或\(63\)时接近交点。代入得\(w = 3×62.5 = 187.5\)。因此，交点坐标约为\((62.5, 187.5)\)。根据图象可知：当\(x < 62.5\)时，即销售 A 商品的数量小于 63 件时，销售 A 商品的总利润小于销售 B 商品的总利润；当\(x > 62.5\)时，即销售 A 商品的数量大于 62 件时，销售 A 商品的总利润大于销售 B 商品的总利润。由于销售量为整数，所以当\(x \geq 63\)时，销售 A 商品的总利润大于销售 B 商品的总利润。四、常见误区交点意义理解错误：混淆交点坐标中横、纵坐标的实际意义，例如在行程问题中，误将交点的横坐标当作相遇时的路程，纵坐标当作相遇时的时间。函数值大小比较错误：在比较两个函数的函数值大小时，没有结合图象的位置关系，而是仅凭函数表达式中的参数主观判断，导致结论错误。自变量取值范围忽略：在解决实际问题时，没有考虑自变量的实际意义，导致函数图象绘制超出合理范围，影响问题分析的准确性。图象绘制不准确：绘制两个一次函数的图象时，因描点错误或连线不直，导致交点坐标读取错误，进而影响后续问题的解答。实际问题转化错误：不能正确将实际问题中的数量关系转化为一次函数表达式，导致建立的函数模型错误，无法通过图象解决问题。五、课堂总结交点意义：两个一次函数图象的交点坐标是对应方程组的解，在实际问题中表示两种数量关系达到平衡的状态。函数值比较：根据图象的位置关系，在交点两侧可直观比较两个函数的函数值大小，图象在上方的函数对应的函数值较大。实际应用：利用两个一次函数的图象可解决收费方案选择、行程相遇、利润比较等实际问题，步骤包括建立函数模型、绘制图象、分析交点及图象位置关系、得出结论。注意事项：准确建立函数表达式，考虑自变量取值范围，规范绘制图象，正确理解交点的实际意义。利用两个一次函数的图象解决问题是数形结合思想的重要应用，通过本节的学习，我们应掌握图象分析的基本方法，能够将实际问题转化为函数模型，利用图象直观解决问题，提高分析和解决实际问题的能力。六、课后作业已知两个一次函数\(y_1 = -2x + 5\)和\(y_2 = x - 1\)，求它们图象的交点坐标，并说明当\(x\)为何值时，\(y_1 > y_2\)？某商店出售两种书包，A 种书包每个售价 50 元，成本 30 元；B 种书包每个售价 70 元，成本 40 元。设每月销售 A 种书包\(x\)个，销售 B 种书包\(y\)个，且每月销售总量为 100 个（即\(x + y = 100\)）。设销售 A 种书包的总利润为\(w_1\)元，销售 B 种书包的总利润为\(w_2\)元。（1）分别写出\(w_1\)、\(w_2\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）绘制两个函数的图象，求出它们的交点坐标，并说明当\(x\)为何值时，销售 A 种书包的总利润大于销售 B 种书包的总利润？甲、乙两人同时从 A 地出发前往 B 地，甲骑自行车，速度为 15 千米 / 小时；乙步行，速度为 5 千米 / 小时。设出发时间为\(t\)小时，甲距离 A 地的路程为\(s_1\)千米，乙距离 A 地的路程为\(s_2\)千米。（1）分别写出\(s_1\)、\(s_2\)与\(t\)之间的函数关系式；（2）绘制两个函数的图象，求出它们的交点坐标（若存在），并说明该交点的实际意义；若不存在交点，说明原因。某电力公司推出两种用电收费标准：标准一：每月基本电费 20 元，每度电 0.5 元；标准二：无基本电费，每度电 0.7 元。设每月用电量为\(x\)度，标准一的总费用为\(y_1\)元，标准二的总费用为\(y_2\)元。（1）分别写出\(y_1\)、\(y_2\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）根据图象回答：当每月用电量为多少时，两种收费标准的费用相等？当每月用电量为多少时，选择标准一更划算？2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.2. 在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步提高学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识.3. 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣.重点难点复习导入 情境导入如图， l₁反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l₂反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：(1)当销售量为2吨时，销售收入= _______元，销售成本= _____元；(2)当销售量为6吨时，销售收入= _____元，销售成本= _____元；(3)当销售量为_____时，销售收入等于销售成本；(4)当销售量_____ 时，该公司赢利；当销售量____ 时，该公司亏损. (5)l₁对应的函数表达式是_____； l₂对应的函数表达式是_____ . 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.10 cm9 cm 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？说说你的做法！ 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：（1）当销售量为2吨时，销售收入=　　元，销售成本=____元,20003000两个一次函数图象解答实际问题（2）当销售量为6吨时，销售收入=　　　元，销售成本＝　　元；60005000（3）当销售量为　　时，销售收入等于销售成本；4吨（4）当销售量　 　　　时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量　 　　时，该公司亏损（收入小于成本） ；大于4吨小于4吨（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．分析：这样的给图解关系式题，尤其是两个图一定分析清楚，看图知道l1的图过原点，关系式设为y=kx,解这个关系式只需要一个点的坐标.因为只有一个未知系数k.而l2的图不过原点，关系式设为y=k1x+b,解这个关系式需要两个点的坐标.因为有两个未知系数k1,b.k为什么带下标,因为同一个题出现两个.从图上可知所需点的坐标.（2，2000）解：设l1关系式是y=kx由图可知，图像过（2，2000）得2000=2k,解得k=1000，所以表达式y=1000x.这里不能出现k，如果出现就代错值.（2，3000）（0，2000）设l2关系式是y=k1x+b由图可知，图像过（0，2000）（2，3000）得2000=b3000=2k1+b解得b=2000，k1=500所以表达式y=500x+2000.这里不能出现k1，b两个字母，如果出现就代错值.（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．y=1000xy=500x+2000l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的k和b的实际意义各是什么？l2l1k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量；b的实际意义是表示变化的起始值.如k1表示销售每吨产品可收入1000元,b2表示销售成本从2000元开始逐步增加.b1表示收入从零到有.如k2表示销售每吨产品成本为500元, 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图）.海岸公海BA例 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题:（1） l1 ，l2哪条直线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？解：观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故 l1 表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.246810O2468t /分s /海里l1l2BA（2）A、B 哪个速度快？解： t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5.246810O2468t /分s /海里l1l2BA即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快.75解：当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方, 这表明，15分钟时 B尚未追上A.246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（3）15分钟内B能否追上 A？15246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（4）如果一直追下去，那么B能否追上 A？　　解：如图延伸l1 、l2 相交于点P. 因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.P246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214P（5）照此速度，A逃到离海岸12海里前,B能否追上A？解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12. 这说明在A逃到离海岸12海里前，我边防快艇 B能够追上A.10解： k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分. 246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（6）l1与l2对应的两个一次函数y=k1x +b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4.故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米． 一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．2200知识点 两个一次函数图象的应用（第1题） 销售收入等于销售成本 返回  （第2题） 返回 C  返回      返回（第5题） 12 返回两个一次函数的应用两个一次函数的交点问题实际生活中的问题必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！