4.4.1根据一次函数的图象确定表达式（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

4.3.2 一次函数的图象与性质一次函数是初中数学中最基本的函数类型之一，其图象和性质是函数学习的核心内容。与正比例函数相比，一次函数的图象和性质更为丰富，它不仅包含了正比例函数的特征，还因常数项的存在而呈现出新的规律。本节将在正比例函数图象与性质的基础上，学习一次函数图象的绘制方法、图象特征，探究参数对图象的影响，并总结一次函数的性质及应用。一、一次函数的图象（一）图象的绘制一次函数的图象是一条直线，绘制其图象同样可以采用两点法，具体步骤如下：确定两点坐标：对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。通常选取与坐标轴的交点：当\(x = 0\)时，\(y = b\)，即与\(y\)轴的交点\((0, b)\)；当\(y = 0\)时，\(x = -\frac{b}{k}\)（\(k \neq 0\)），即与\(x\)轴的交点\((-\frac{b}{k}, 0)\)。也可选取其他简单点，如\(x = 1\)时，\(y = k + b\)，即点\((1, k + b)\)。描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是一次函数\(y = kx + b\)的图象。（二）实例解析例 1：画出一次函数\(y = 2x + 3\)和\(y = -2x + 1\)的图象。解：绘制\(y = 2x + 3\)的图象：确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 3\)，即点\((0, 3)\)；当\(y = 0\)时，\(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)，即点\((-\frac{3}{2}, 0)\)。描点：在坐标系中描出\((0, 3)\)和\((-\frac{3}{2}, 0)\)。连线：连接两点，得到\(y = 2x + 3\)的图象（如图 2 所示）。绘制\(y = -2x + 1\)的图象：确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 1\)，即点\((0, 1)\)；当\(y = 0\)时，\(-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)，即点\((\frac{1}{2}, 0)\)。描点：在坐标系中描出\((0, 1)\)和\((\frac{1}{2}, 0)\)。连线：连接两点，得到\(y = -2x + 1\)的图象（如图 2 所示）。（三）一次函数与正比例函数图象的关系一次函数\(y = kx + b\)的图象可以看作是由正比例函数\(y = kx\)的图象平移得到的：当\(b > 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向上平移\(b\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象；当\(b < 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向下平移\(|b|\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象。例如：函数\(y = 2x + 3\)的图象是由\(y = 2x\)的图象向上平移 3 个单位长度得到的；函数\(y = -2x - 1\)的图象是由\(y = -2x\)的图象向下平移 1 个单位长度得到的。二、参数\(k\)和\(b\)对图象的影响一次函数的图象位置和倾斜程度由参数\(k\)和\(b\)共同决定，其中\(k\)决定直线的倾斜方向和倾斜程度，\(b\)决定直线与\(y\)轴的交点位置。（一）参数\(k\)的影响倾斜方向：当\(k > 0\)时，直线从左到右呈上升趋势；当\(k < 0\)时，直线从左到右呈下降趋势。倾斜程度：\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。这一特征与正比例函数一致。（二）参数\(b\)的影响参数\(b\)是一次函数图象与\(y\)轴交点的纵坐标，即交点坐标为\((0, b)\)：当\(b > 0\)时，直线与\(y\)轴交于正半轴；当\(b = 0\)时，直线经过原点（此时为正比例函数）；当\(b < 0\)时，直线与\(y\)轴交于负半轴。（三）直线经过的象限一次函数\(y = kx + b\)的图象经过的象限由\(k\)和\(b\)的符号共同决定：当\(k > 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、三象限；当\(k > 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第一、三、四象限；当\(k < 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、四象限；当\(k < 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第二、三、四象限。（四）例题解析例 2：判断下列一次函数图象经过的象限，并说明\(k\)和\(b\)的符号：（1）\(y = 3x + 2\)；（2）\(y = -2x + 5\)；（3）\(y = \frac{1}{2}x - 1\)；（4）\(y = -x - 3\)。解：（1）对于\(y = 3x + 2\)，\(k = 3 > 0\)，\(b = 2 > 0\)，因此直线经过第一、二、三象限。（2）对于\(y = -2x + 5\)，\(k = -2 < 0\)，\(b = 5 > 0\)，因此直线经过第一、二、四象限。（3）对于\(y = \frac{1}{2}x - 1\)，\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(b = -1 < 0\)，因此直线经过第一、三、四象限。（4）对于\(y = -x - 3\)，\(k = -1 < 0\)，\(b = -3 < 0\)，因此直线经过第二、三、四象限。例 3：已知一次函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)的图象经过第一、二、四象限，求\(m\)的取值范围。解：因为一次函数图象经过第一、二、四象限，所以需满足：\(\begin{cases}k < 0 \\b > 0\end{cases}\)即：\(\begin{cases}m - 2 < 0 \\m + 1 > 0\end{cases}\)解第一个不等式：\(m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2\)；解第二个不等式：\(m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1\)。因此，\(m\)的取值范围是\(-1 < m < 2\)。三、一次函数的性质一次函数的性质是其图象特征的代数表达，主要体现在函数值随自变量的变化规律以及图象的对称性等方面，这些性质与参数\(k\)密切相关。（一）函数的增减性当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x + 3\)，当\(x = 1\)时，\(y = 5\)；当\(x = 2\)时，\(y = 7\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x + 1\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1\)；当\(x = 2\)时，\(y = -3\)，\(x\)增大，\(y\)减小。（二）函数的对称性一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，关于其上任一点成中心对称，关于其垂直平分线成轴对称，但不关于原点对称（除非\(b = 0\)，即正比例函数）。（三）例题解析例 4：已知一次函数\(y = (2k - 1)x + 3\)，根据下列条件求\(k\)的取值范围：（1）\(y\)随\(x\)的增大而增大；（2）\(y\)随\(x\)的增大而减小。解：（1）因为\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以比例系数\(k > 0\)，即\(2k - 1 > 0\)，解得\(2k > 1 \Rightarrow k > \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k > \frac{1}{2}\)。（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(2k - 1 < 0\)，解得\(2k < 1 \Rightarrow k < \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k < \frac{1}{2}\)。例 5：已知一次函数\(y = -3x + 2\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 3\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。解：因为一次函数\(y = -3x + 2\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。由于\(x_1 = -1 < x_2 = 3\)，因此\(y_1 > y_2\)。四、一次函数图象与性质的应用一次函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与线性变化相关的问题。（一）利用图象解决实际问题通过绘制一次函数的图象，可以直观地反映变量之间的线性关系，便于分析变化趋势、预测结果或确定最优方案。例如，在成本与产量的关系、行程问题等场景中，一次函数图象能清晰呈现变量间的对应关系。（二）利用性质解决函数值问题根据一次函数的增减性，可以求解函数值的范围、比较函数值大小或确定自变量的取值范围。例 6：已知一次函数\(y = 2x - 1\)，当\(x\)取何值时，\(y > 0\)？解：由\(y > 0\)可得\(2x - 1 > 0\)，解得\(2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)。因此，当\(x > \frac{1}{2}\)时，\(y > 0\)。例 7：某商店销售某种商品，每件成本为 3 元，售价为\(x\)元（\(3 < x \leq 10\)），每天的销售量为\(y\)件，且\(y\)与\(x\)之间的函数关系为\(y = -10x + 100\)。（1）写出每天的利润\(w\)（元）与售价\(x\)（元）之间的函数关系式；（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：（1）每天的利润 =（售价 - 成本）× 销售量，因此\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为：\(w = (x - 3)(-10x + 100) = -10x^2 + 130x - 300\)（\(3 < x \leq 10\)）。（2）对于二次函数\(w = -10x^2 + 130x - 300\)，由于二次项系数\(-10 < 0\)，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{130}{2×(-10)} = 6.5\)。因为\(3 < 6.5 \leq 10\)，所以当\(x = 6.5\)时，\(w\)取得最大值，最大值为：\(w = -10×(6.5)^2 + 130×6.5 - 300 = -10×42.25 + 845 - 300 = -422.5 + 845 - 300 = 122.5\)（元）。因此，当售价为 6.5 元时，每天的利润最大，最大利润是 122.5 元。五、常见误区图象绘制错误：绘制一次函数图象时，选取的两点计算错误或连线不直，导致图象失真；或混淆平移方向，将\(y = kx + b\)的图象平移方向弄反。参数影响判断错误：对\(k\)和\(b\)的符号与象限关系记忆混淆，例如错误地认为\(k > 0\)、\(b < 0\)时直线经过第二象限。增减性应用错误：在利用增减性比较函数值或求解自变量范围时，忽略\(k\)的符号对增减性的影响，导致结论错误。忽略自变量取值范围：在实际问题中，未考虑自变量的实际意义，导致函数关系式的应用超出合理范围。平移规律理解偏差：错误地认为一次函数图象的平移是对\(x\)进行加减，而非对整个函数值进行平移，例如将\(y = 2x + 3\)看作\(y = 2(x + 3)\)的平移结果。六、课堂总结一次函数的图象：是一条直线，绘制方法采用两点法，可通过正比例函数图象平移得到（\(b > 0\)上移，\(b < 0\)下移）。参数对图象的影响：\(k\)决定倾斜方向（\(k > 0\)上升，\(k < 0\)下降）和倾斜程度（(|k2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.结合具体的实例，总结出可以由两个条件确定一次函数的表达式，培养学生的抽象概括能力；2.通过合作学习，能根据题目描述确定一次函数和正比例函数的表达式，培养学生的运算能力；3.通过教师讲评，掌握一次函数和正比例函数的性质，培养学生分析问题、解决问题的能力.重点难点旧识回顾正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k