5.1 认识二元一次方程组 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.1 认识二元一次方程组副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：之前我们学习过一元一次方程，解决了含一个未知量的问题。但生活中很多问题需要同时考虑两个未知量（如 “买两种水果的数量”“两种商品的单价”），今天我们就来学习描述这类问题的数学模型 —— 二元一次方程组，探索它的定义和基本特征！幻灯片 2：学习目标理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能识别给定的方程或方程组是否为二元一次方程（组）。掌握二元一次方程的解的概念，知道二元一次方程有无数组解；理解二元一次方程组的解的概念，能判断一组数是否为方程组的解。能根据实际问题列出简单的二元一次方程或方程组，体会方程思想，提升从实际问题中抽象数学模型的能力。幻灯片 3：情境导入：从实际问题到二元一次方程1. 生活中的双未知量问题实例 1：周末，小明去超市买苹果和香蕉，共花了 20 元。已知苹果每千克 3 元，香蕉每千克 2 元，设买了 x 千克苹果，y 千克香蕉，如何用方程表示这个关系？分析：苹果的总费用 + 香蕉的总费用 = 总费用，即\(3x + 2y = 20\)；观察：方程中含两个未知数 x 和 y，且未知数的次数均为 1。实例 2：某班 40 名同学去公园划船，共租了 10 条船，每条大船坐 6 人，每条小船坐 4 人，刚好坐满。设租了 x 条大船，y 条小船，如何表示这两个等量关系？分析：① 大船数量 + 小船数量 = 总船数：\(x + y = 10\)；② 大船坐的人数 + 小船坐的人数 = 总人数：\(6x + 4y = 40\)；观察：两个方程均含两个未知数，且未知数次数为 1，需要同时满足这两个方程才能解决问题。2. 提出问题这些含两个未知数的方程有什么共同特征？如何定义这类方程？多个这样的方程组合在一起又是什么？幻灯片 4：探究活动 1：二元一次方程的定义与解1. 二元一次方程的定义观察实例中的方程\(3x + 2y = 20\)、\(x + y = 10\)，总结共同特征：含有两个未知数（通常用 x、y 表示）；未知数的最高次数都是 1（不含未知数的平方、乘积等形式）；方程的两边都是整式（分母不含未知数）。满足以上三个特征的方程，叫做二元一次方程。2. 二元一次方程的解定义：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记作\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)（a、b 为常数）。实例验证：对于方程\(x + y = 10\)：当\(x = 3\)时，\(y = 7\)，代入得\(3 + 7 = 10\)，故\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 7\end{cases}\)是方程的解；当\(x = 5\)时，\(y = 5\)，代入得\(5 + 5 = 10\)，故\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)也是方程的解。解的特征：二元一次方程有无数组解（给定一个 x 的值，可求出对应的 y 值；反之亦然），但在实际问题中，解需符合实际意义（如人数、数量为非负整数）。3. 判断二元一次方程的方法一看：是否含两个未知数；二看：未知数的次数是否均为 1；三看：是否为整式方程（分母无未知数）。示例：①\(2x + 3y = 5\)（是）；②\(x^2 + y = 1\)（否，x 的次数为 2）；③\(\frac{1}{x} + y = 3\)（否，分母含未知数）；④\(x + 2y = z\)（否，含三个未知数）。幻灯片 5：探究活动 2：二元一次方程组的定义与解1. 二元一次方程组的定义把两个含有相同未知数的二元一次方程联立起来，就组成了一个二元一次方程组。核心特征：① 含相同的两个未知数；② 每个方程都是二元一次方程；③ 由两个方程组成（特殊情况可超过两个，但初中阶段主要研究两个方程的方程组）。实例：实例 2 中的\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 6x + 4y = 40\end{cases}\)是二元一次方程组；再如\(\begin{cases}2x - y = 3 \\ x + 2y = 5\end{cases}\)、\(\begin{cases}x = 2 \\ 3x + y = 7\end{cases}\)（第二个方程是二元一次方程，第一个方程可看作\(x + 0y = 2\)，也是二元一次方程）均为二元一次方程组。2. 二元一次方程组的解定义：二元一次方程组中，两个方程的公共解（即同时满足两个方程的一组 x、y 值），叫做二元一次方程组的解。实例验证：对于方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 6x + 4y = 40\end{cases}\)：先找第一个方程的解：如\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 7\end{cases}\)、\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 6\end{cases}\)、\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)；代入第二个方程验证：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 7\end{cases}\)：\(6×3 + 4×7 = 18 + 28 = 46 ≠ 40\)（不是公共解）；\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 6\end{cases}\)：\(6×4 + 4×6 = 24 + 24 = 48 ≠ 40\)（不是公共解）；\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)：\(6×5 + 4×5 = 30 + 20 = 40\)（是公共解）；结论：该方程组的解为\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)（二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况可能无解或有无数组解，后续将学习）。3. 判断方程组解的方法将一组 x、y 的值分别代入方程组的两个方程，若两个方程左右两边均相等，则这组值是方程组的解；若有一个方程不相等，则不是。幻灯片 6：例题讲解 1：识别二元一次方程（组）例题 1：下列方程中，哪些是二元一次方程？（1）\(3x - y = 2\)；（2）\(x + \frac{1}{y} = 5\)；（3）\(x^2 + y = 3\)；（4）\(2x + 3y = z\)；（5）\(5x + 2y = 7\)。解答：（1）是（含两个未知数，次数 1，整式方程）；（2）否（分母含未知数，不是整式方程）；（3）否（x 的次数为 2）；（4）否（含三个未知数）；（5）是（符合二元一次方程的三个特征）。例题 2：下列方程组中，哪些是二元一次方程组？（1）\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 5\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}x + y = 4 \\ xy = 3\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x + z = 7\end{cases}\)。解答：（1）是（含相同未知数 x、y，均为二元一次方程）；（2）是（可看作\(\begin{cases}x + 0y = 2 \\ 0x + y = 3\end{cases}\)，均为二元一次方程）；（3）否（第二个方程\(xy = 3\)中未知数的次数为 2）；（4）否（含三个未知数 x、y、z）。幻灯片 7：例题讲解 2：判断方程组的解与列方程组例题 3：判断下列各组数是否为方程组\(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x - 2y = -4\end{cases}\)的解。（1）\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。解答：（1）代入第一个方程：\(2×2 + 3 = 7\)（相等）；代入第二个方程：\(2 - 2×3 = 2 - 6 = -4\)（相等），故是方程组的解；（2）代入第一个方程：\(2×3 + 1 = 7\)（相等）；代入第二个方程：\(3 - 2×1 = 3 - 2 = 1 ≠ -4\)（不相等），故不是方程组的解。例题 4：根据实际问题列方程组题目：某校组织学生参加植树活动，已知初一学生每人植 2 棵树，初二学生每人植 3 棵树，两个年级共 100 名学生，共植树 260 棵。设初一有 x 名学生，初二有 y 名学生，列出二元一次方程组。解答：等量关系 1：初一人数 + 初二人数 = 总人数：\(x + y = 100\)；等量关系 2：初一植树总数 + 初二植树总数 = 总植树数：\(2x + 3y = 260\)；方程组：\(\begin{cases}x + y = 100 \\ 2x + 3y = 260\end{cases}\)。幻灯片 8：学生活动：列二元一次方程（组）与判断解活动任务：小组合作，完成下列任务：（1）根据 “买 3 支钢笔和 2 本笔记本共花 25 元，钢笔每支 x 元，笔记本每本 y 元”，列出二元一次方程；（2）判断\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 2\end{cases}\)是否为上述方程的解；（3）若再补充 “买 1 支钢笔和 1 本笔记本共花 9 元”，列出二元一次方程组，并判断\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 2\end{cases}\)是否为方程组的解。参考解答：（1）\(3x + 2y = 25\)；（2）\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 5\end{cases}\)：\(3×5 + 2×5 = 25\)（是）；\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 2\end{cases}\)：\(3×7 + 2×2 = 25\)（是）；（3）方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 25 \\ x + y = 9\end{cases}\)；代入\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 2\end{cases}\)，两个方程均成立（是解）。教师指导：引导学生准确找出实际问题中的等量关系，注意方程的整式性和未知数次数；判断解时需逐一代入验证，培养严谨的解题习惯。幻灯片 9：随堂练习下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A. \(x + y^2 = 3\) B. \(\frac{x}{2} + y = 5\) C. \(\frac{1}{x} + 2y = 4\) D. \(x + 2 = 7\)（答案：B，解析：A 中 y 的次数为 2；C 分母含未知数；D 含一个未知数）已知\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)是方程\(2x + ay = 5\)的解，求 a 的值。解答：代入得\(2×1 + a×2 = 5\) ⇒ \(2 + 2a = 5\) ⇒ \(a = 1.5\)（或\(\frac{3}{2}\)）。判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是否为方程组\(\begin{cases}x + 2y = 4 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)的解，并说明理由。解答：代入第一个方程：\(2 + 2×1 = 4\)（相等）；代入第二个方程：\(2×2 - 1 = 3\)（相等），故是方程组的解。某车间有 22 名工人，每人每天可生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需配 2 个螺母。设 x 名工人生产螺钉，y 名工人生产螺母，列出二元一次方程组。解答：\(\begin{cases}x + y = 22 \\ 2×1200x = 2000y\end{cases}\)（等量关系 1：人数和；等量关系 2：螺母数量 = 2× 螺钉数量）。幻灯片 10：课堂小结核心概念：二元一次方程：含两个未知数，未知数次数为 1，整式方程，有无数组解；二元一次方程组：含相同未知数的两个二元一次方程联立，解为公共解（通常一组）。关键区别：二元一次方程的解：满足单个方程，无数组；二元一次方程组的解：满足两个方程，公共解，通常一组。数学思想：模型思想：将实际问题中的双未知量关系抽象为二元一次方程（组）；方程思想：通过建立方程（组）解决含多个未知量的问题。列方程（组）步骤：设两个未知数；找出两个等量关系；列出两个二元一次方程（联立为方程组）。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）判断下列方程是否为二元一次方程：①\(3x - 4y = 1\)；②\(x^2 + y = 5\)；③\(x + \frac{y}{3} = 2\)；（2）已知\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)是方程\(mx + 2y = 5\)的解，求 m 的值；（3）根据 “长方形的周长为 20cm，长为 x cm，宽为 y cm”，列出二元一次方程。提升题：（1）判断 (\begin {cases} x = 4 \ y = 2\end {cases【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 旧识回顾1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？含有未知数的等式只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都为整式的等式情境导入小红到邮局寄信，需要邮资3元8角.小红有6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种邮票？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要6角的邮票x张，8角的邮票y张，你能列出方程吗？二元一次方程的概念思考哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！真的?！思考：听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗?问题1 设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？老牛的包裹数比小马的多2个;老牛从小马的背上拿来1个包裹,就是小马的2倍.x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元.每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?问题2 他们到底去了几个成人，几个儿童呢?x＋y＝85x＋3y＝341.这四个方程是一元一次方程吗？为什么？2.这四个方程有什么共同特点？① 含有两个未知数；② 含有未知数的项的次数都是1. 二元一次方程 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.3.二元一次方程与一元一次方程有什么相同和不同之处？不同:相同:含未知数个数不同都是一次方程观察思考x－y＝2x＋1＝2(y－1)x＋y＝85x＋3y＝34只含有1个未知数（元），未知数的次数为1；x + y = 45. x + 15 = 60含有2个未知数（元），未知数的次数为1.一元一次方程都是含未知数的等式方程二元一次方程观察比较(3)是不是不是不是不是不是例1 判断下列方程是否为二元一次方程：(7) 4x+ π =0(8) 2x=1-3y不是是二元一次方程的判断判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.(8)4xy+5=0(1)x+y=11(3)x2+y=5(2)m+1=2(4)3x－π=11(5) －5x=4y+2(6)7+a=2b+11c二元一次方程不是二元一次方程判断下列方程是不是二元一次方程？例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程， 则m＋n＝________．解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.0根据二元一次方程的定义求字母的值方法小结：由方程是二元一次方程可知： (1)未知数的系数不为0； (2)未知数的次数都是1.1.若x2m-1+5y3n-2m =7是二元一次方程，则m=____，n=___.2m-1=113n-2m=11 2.如果 是二元一次方程，那么k的值是 ( ) A. 2　 B. 3　 C. 1　 D. 0 Bx + y = 16 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部16场比赛中得到28分,那么这个队胜负场数分别是多少?解：设该队胜了x场，负了y场,根据题意可得方程：2x + y = 28等量关系:胜的场数+负的场数=总场数胜场积分+负场积分=总积分二元一次方程组的定义 像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.下列哪些是二元一次方程组？ (1) x+y= 2 (2) x-y=1 x = y (3) x=0 (4) z=x+1 y=1 2x-y=5(5) x-3y=8 (6) 3x=5y xy=6 2x-y=0(是)(是)(不是)(不是)(是)(不是)通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？二元一次方程组的特点：①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.例 在方程组 程组的有 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1个　 　B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个D中，是二元一次方二元一次方程组的判断提示：三个要素：含有两个未知数含有未知数的项的次数为1整式方程下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________（3）（5）（6）探究　公园门票问题中的方程 x+y=8 ，且符合问题的实际意义的值有哪些？把它们填入表中.思考1　如果不考虑方程表示的实际意义，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？x,y还可取到小数,如x=0.5,y=7.5;有无数组这样的值.二元一次方程的解的定义 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解. 判断一对数值是不是二元一次方程的解,只需把这对数值分别代入方程的左右两边,若左边=右边,则这对数值是这个方程的解;若左边≠右边,则这对数值不是这个方程的解.温馨提示:一般情况下,二元一次方程有无数组解,但若对其未知数取值附加某些条件,那么也可能只有有限个解.1.判断给出的x、y的值是否是方程的解(1) 2x-3y=6 ( ) (2) 5x+2y=8 ( )×√ 2.在 中, 是方程x+y=22的解的有 (填序号) .①②③④⑤1.上表中列出了公园门票中，满足方程x+y=8,且符合实际意义的值. 2.再找出方程5x +3y = 34的符合实际意义的解,并用表格罗列.二元一次方程组的解的定义 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.思考 观察两个表格你有什么发现？x=5，y=3是方程x+y=8 ①与方程5x＋3y＝34 ②的公共解，记作 .1.填表:使每对x,y的值是方程3x+y=5的解．2.已知下列三对数值 ________是方程x+y=7的解; ________是方程2x+y=9的解， _______是方程组 的解． 1153.8-11.82 1x=2y=5x=1y=7x + y=72x+y=91.5x=1y=6解：把 代入到方程组,得： 解得a =2,b=11.例1 已知二元一次方程组 的解是求a与b的值. 利用二元一次方程组的解求字母的值若 是方程x-ky=1的解,则k的值为 .-1｛x=-2,y=3引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：吴秀青例2 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？根据实际问题列二元一次方程组引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件课件制作：吴秀青分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；第一道工序的件数＝________________.设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来： ___________. x+y=7900x=1200y第二道工序的人数第二道工序的件数解：所以可列方程组为 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！