5.2.1代入消元法 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：5.2.1 代入消元法副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们认识了二元一次方程组，知道它的解是两个方程的公共解。但如何求出这个公共解呢？今天我们学习第一种求解方法 —— 代入消元法，核心思路是 “消去一个未知数，把二元方程转化为一元方程”，从而轻松求解！幻灯片 2：学习目标理解代入消元法的核心思想（消元：将二元→一元），掌握代入消元法的基本步骤。能运用代入消元法求解简单的二元一次方程组，规范书写解题过程。经历 “二元→一元→求解→回代” 的转化过程，体会转化思想，提升方程求解能力。幻灯片 3：知识回顾与消元思想导入1. 知识回顾二元一次方程组定义：含相同两个未知数的两个二元一次方程联立，如\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)；方程组的解：同时满足两个方程的 x、y 值，需找到 “公共解”。2. 问题引入：如何求解方程组？观察方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \quad (1) \\ 2x - y = 1 \quad (2)\end{cases}\)：方程 (1) 中，y 可以表示为 “\(y = 5 - x\)”（用含 x 的式子表示 y）；由于方程组的解满足两个方程，可将 “\(y = 5 - x\)” 代入方程 (2)，此时方程 (2) 中就只有 x 一个未知数，变成一元一次方程，可求解 x；这种 “用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元” 的方法，就是代入消元法。3. 消元思想核心：将 “二元一次方程组” 转化为已学的 “一元一次方程”，通过解一元一次方程，再回代求另一个未知数；关键：找到 “用一个未知数表示另一个未知数” 的关系式（如\(y = 5 - x\)或\(x = 5 - y\)）。幻灯片 4：探究活动：代入消元法的基本步骤（以方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)为例）步骤 1：“变”—— 用一个未知数表示另一个未知数选择其中一个方程，将其变形为 “\(y = ax + b\)” 或 “\(x = ay + b\)” 的形式（优先选择系数为 ±1 的未知数，简化计算）。本题中，方程 (1)\(x + y = 5\)的 y 系数为 1，变形为：\(y = 5 - x\) —— 记为方程 (3)。步骤 2：“代”—— 代入另一个方程消元将变形后的方程 (3) 代入未使用的方程 (2)，消去一个未知数（此处消去 y），得到一元一次方程。把\(y = 5 - x\)代入方程 (2)\(2x - y = 1\)：\(2x - (5 - x) = 1\)（注意括号：代入时若含加减号，需加括号）。步骤 3：“解”—— 解一元一次方程化简并求解上述一元一次方程：\(2x - 5 + x = 1\)（去括号，负号变号）；\(3x - 5 = 1\)（合并同类项）；\(3x = 6\)（移项，常数项移到右边）；\(x = 2\)（系数化为 1）。步骤 4：“回”—— 回代求另一个未知数将求出的\(x = 2\)代入变形后的方程 (3)\(y = 5 - x\)，求 y 的值：\(y = 5 - 2 = 3\)。步骤 5：“验”—— 检验解的正确性（可选，确保无误）将\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)代入原方程组的两个方程，验证是否均成立：方程 (1)：\(2 + 3 = 5\)（成立）；方程 (2)：\(2×2 - 3 = 1\)（成立）。步骤 6：“写”—— 写出方程组的解综上，方程组的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。口诀总结：“一变二代三求解，回代检验写答案”幻灯片 5：例题讲解 1：常规型方程组求解例题 1：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 19 \quad (1) \\ x - y = 4 \quad (2)\end{cases}\)解答过程：变形（选系数简单的方程）：方程 (2) 中 x 系数为 1，变形为\(x = y + 4\)（方程 3）；代入消元：将方程 3 代入方程 (1)：\(3(y + 4) + 2y = 19\)；解一元一次方程：\(3y + 12 + 2y = 19\) ⇒ \(5y + 12 = 19\) ⇒ \(5y = 7\) ⇒ \(y = \frac{7}{5} = 1.4\)；回代求 x：将\(y = 1.4\)代入方程 3：\(x = 1.4 + 4 = 5.4\)（或\(\frac{27}{5}\)）；检验与写解：代入原方程组验证成立，解为\(\begin{cases}x = 5.4 \\ y = 1.4\end{cases}\)（或分数形式\(\begin{cases}x = \frac{27}{5} \\ y = \frac{7}{5}\end{cases}\)）。关键提醒变形时优先选择 “未知数系数为 ±1” 的方程，若没有，可选择系数分母较小的（如方程\(2x + y = 5\)，变形为\(y = 5 - 2x\)）；代入时注意符号和括号，避免漏乘或变号错误（如\(x = y - 3\)代入\(2x + 3y = 1\)，需写为\(2(y - 3) + 3y = 1\)）。幻灯片 6：例题讲解 2：含 “x=a” 或 “y=b” 型方程组求解例题 2：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}x = 3 \quad (1) \\ 2x + 5y = 21 \quad (2)\end{cases}\)解答过程：变形（直接使用已知条件）：方程 (1) 已给出\(x = 3\)，无需额外变形；代入消元：将\(x = 3\)直接代入方程 (2)：\(2×3 + 5y = 21\)；解一元一次方程：\(6 + 5y = 21\) ⇒ \(5y = 15\) ⇒ \(y = 3\)；检验与写解：代入验证成立，解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 3\end{cases}\)。例题 3：用代入消元法解方程组\(\begin{cases}3x - 2y = 8 \quad (1) \\ y = 2x - 3 \quad (2)\end{cases}\)解答过程：变形（直接使用）：方程 (2) 已用 x 表示 y，无需变形；代入消元：将方程 (2) 代入方程 (1)：\(3x - 2(2x - 3) = 8\)；解一元一次方程：\(3x - 4x + 6 = 8\) ⇒ \(-x + 6 = 8\) ⇒ \(-x = 2\) ⇒ \(x = -2\)；回代求 y：将\(x = -2\)代入方程 (2)：\(y = 2×(-2) - 3 = -7\)；检验与写解：验证成立，解为\(\begin{cases}x = -2 \\ y = -7\end{cases}\)。技巧总结若方程组中已有 “x=a” 或 “y = 含未知数的式子”，直接代入另一个方程，跳过变形步骤，简化流程；代入后注意去括号和符号变化（如负号乘括号内各项，需逐项变号）。幻灯片 7：例题讲解 3：实际问题与方程组求解（代入消元法应用）例题 4：某车间有 22 名工人，每人每天可生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需配 2 个螺母。若要使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？解答过程：设未知数：设安排 x 名工人生产螺钉，y 名工人生产螺母；列方程组：人数关系：\(x + y = 22\)（方程 1）；配套关系：螺母数量 = 2× 螺钉数量 ⇒ \(2000y = 2×1200x\)（化简为\(5y = 6x\)，方程 2）；用代入消元法求解：变形方程 1：\(x = 22 - y\)（方程 3）；代入方程 2：\(5y = 6(22 - y)\)；求解：\(5y = 132 - 6y\) ⇒ \(11y = 132\) ⇒ \(y = 12\)；回代求 x：\(x = 22 - 12 = 10\)；检验与作答：生产螺钉 10 人（每天 12000 个），螺母 12 人（每天 24000 个），24000=2×12000，刚好配套；答：应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。幻灯片 8：学生活动：用代入消元法解方程组活动任务：自主用代入消元法解下列方程组，规范书写步骤：（1）\(\begin{cases}y = x + 3 \\ 7x + 5y = 9\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2\end{cases}\)；小组内互相检查解题过程，重点关注 “变形是否正确”“代入是否漏括号”“符号是否错误”。参考解答：（1）将\(y = x + 3\)代入第二个方程：\(7x + 5(x + 3) = 9\) ⇒ \(12x + 15 = 9\) ⇒ \(x = -0.5\)，\(y = 2.5\)，解为\(\begin{cases}x = -\frac{1}{2} \\ y = \frac{5}{2}\end{cases}\)；（2）变形第一个方程：\(y = 2x - 5\)，代入第二个方程：\(3x + 4(2x - 5) = 2\) ⇒ \(11x - 20 = 2\) ⇒ \(x = 2\)，\(y = -1\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)。教师指导：巡视学生解题，纠正 “变形时符号错误”（如\(2x - y = 5\)变形为\(y = 2x + 5\)）、“代入时漏乘”（如\(x = y - 2\)代入\(3x + y = 1\)写成\(3y - 2 + y = 1\)）等问题。幻灯片 9：随堂练习用代入消元法解下列方程组：（1）\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ x = 2y - 1\end{cases}\)；解答：将\(x = 2y - 1\)代入第一个方程：\(2y - 1 + 2y = 5\) ⇒ \(4y = 6\) ⇒ \(y = \frac{3}{2}\)，\(x = 2×\frac{3}{2} - 1 = 2\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = \frac{3}{2}\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}3x - y = 7 \\ 5x + 2y = 8\end{cases}\)；解答：变形第一个方程：\(y = 3x - 7\)，代入第二个方程：\(5x + 2(3x - 7) = 8\) ⇒ \(11x - 14 = 8\) ⇒ \(x = 2\)，\(y = -1\)，解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)。某学校购买 A、B 两种笔记本作为奖品，A 种笔记本每本 8 元，B 种笔记本每本 6 元，共买了 15 本，花费 100 元。设买了 A 种笔记本 x 本，B 种笔记本 y 本，用代入消元法求 x 和 y 的值。解答：方程组\(\begin{cases}x + y = 15 \\ 8x + 6y = 100\end{cases}\)，变形得\(y = 15 - x\)，代入得\(8x + 6(15 - x) = 100\) ⇒ \(2x + 90 = 100\) ⇒ \(x = 5\)，\(y = 10\)；答：买了 A 种笔记本 5 本，B 种笔记本 10 本。幻灯片 10：课堂小结核心方法：代入消元法：通过 “变形→代入→求解→回代→检验”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解；消元关键：用一个未知数表示另一个未知数，优先选择系数为 ±1 的未知数，简化计算。易错点提醒：变形时符号错误（如\(x - y = 3\)变形为\(y = x + 3\)，正确应为\(y = x - 3\)）；代入时漏加括号（如\(y = 2x - 1\)代入\(3x + 2y = 5\)，需写为\(3x + 2(2x - 1) = 5\)）；求解一元一次方程时移项、去括号错误（如负号乘括号内各项需变号）。数学思想：转化思想：将未知的 “二元方程” 转化为已知的 “一元方程”，降低求解难度；方程思想：通过建立方程组解决实际问题，体现数学建模的价值。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）用代入消元法解下列方程组：①(\begin {cases} y = 2x - 3 \ 3x + 2y【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 旧识回顾解一元一次方程的步骤是什么？去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？(1)如果设胜的场数是x，则负的场数是10-x,可得一元一次方程；(2)如果设胜的场数是x ,负的场数是y,可得二元一次方程组那么怎样解这个二元一次方程组呢？怎么求x、y的值呢？ 昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票花了34元. 每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢?还记得下面这一问题吗?设他们中有x个成人，y个儿童. 代入消元法解二元一次方程组回顾思考5x+3(8-x)=34x+y=8，5x+3y=34解：设去了x个成人，则去了(8-x)个儿童，根据题意，得： 解得：x=5.将x=5代入8-x=8-5=3.答：去了5个成人，3个儿童. 解：设去了x个成人，去了y个儿童，根据题意，得： 观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？ y=8-x由①得：y = 8－x. ③将③代入②得：5x+3(8－x)=34.解得：x = 5.把x = 5代入③得：y = 3.x+y=8①5x+3y=34②x+y=85x+3y=345x+3(8-x)=34第一个方程x+y=8说明y=8-x将第二个方程5x+3y=34的y换成8-x解得x=5代入y=8-x得y=3把二元一次方程转化为一元一次方程.通过减少未知数个数. 一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？问题探究+＝200xy＝+ 10xy+10+＝200xx x + y = 200y = x + 10(x+10)x +( x +10) = 200①②x = 95y = 105将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.转化求方程组解的过程叫做解方程组.解二元一次方程组的基本思路“消元”用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.将y=1代入② ，得x=4.经检验， x=4，y=1适合原方程组所以原方程组的解是解：将②代入①，得 3(y+3)+2y=14， 3y +9+2y =14， 5y=5， y=1. 解方程组 3x+2y=14 ① x=y+3 ② 检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.代入消元法解能直接代入的二元一次方程组例1 用代入法解下列方程组： 解：把①代入②，得3x+2（ ）=_ 解这个方程，得x＝ .把x＝ 代入①，得y= __， 所以原方程组的解是 .2x-3822211解方程组：代入求解再代求解写解（检 验）变形还能直接代入吗？代入消元法解需要变形的二元一次方程组例22x+3y=16 ① x+4y=13 ② 解：由② ，得 x=13 - 4y ③ 将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16, -5y= -10, y=2.将y=2代入③ ，得x=5.所以原方程组的解是 2-12x-522x-5-122 用代入法解下列方程组：例3 解方程组：解得：x=20000解： 用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形. 解方程组：解得：x=5把x=5代入①得：y=7解： 用代入法解二元一次方程组的步骤：（1）变形：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.（2）代入：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.（3）解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.（4）回代：回代求出另一个未知数的值.（5）写出解：把方程组的解表示出来.（6）检验：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组 A  返回 B  返回          返回知识点2 变形后用代入消元法解二元一次方程组 D  返回  25  返回   返回7.用代入消元法解下列方程组：     返回 A  返回   返回   返回11.解方程组：     返回   返回13. 阅读材料：       返回解二元一次方程组基本思路“消元”代入法解二元一次方程组的一般步骤变形代入解回代写出解检验必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！