八年级下册（2024）第二十一章 四边形21.2 平行四边形学案设计

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知识点01 平行四边形的判定
平行四边形的判定：
【即学即练1】
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝ODB．AB＝CD，AD＝BC
C．AD∥BC，AB∥CDD．AB∥CD，AD＝BC
【即学即练2】
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．AO＝DOD．AO＝CO
【即学即练3】
3．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是对角线BD上的两点，且AF∥CE，AD∥BC，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【即学即练4】
4．如图，四边形ABCD中，M，N是BD上两点，AM∥CN，AN∥CM．若BM＝DN，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【即学即练5】
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE＝5，EB＝12，EF＝2，则四边形ABCD的周长是 ．
知识点02 三角形的中位线
三角形中位线的定义：
连接三角形任意两边的 得到的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：
三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 。
几何语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC
【即学即练1】
6．如图，点D，E是△ABC的边AB，AC的中点，已知BC＝6，则DE＝ ．
【即学即练1】
7．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．2.5C．2.4D．1.2
题型01 熟悉平行四边形的判定条件
【典例1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD＝BC
C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCDD．OA＝OC，OB＝OD
【变式1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
【变式2】根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 添加平行四边形的判定条件
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BCB．∠BAC＝∠ACDC．AB＝ADD．∠B＝∠D
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．AD＝BC
C．∠B+∠C＝180°D．AB＝BC
【变式2】在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（ ）
A．∠C+∠D＝180°B．AD＝BC
C．AB＝CDD．AD∥BC
题型03 平行四边形的判定证明
【典例1】如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF．求证：四边形ADCF是平行四边形．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F在对角线BD上，且AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式2】如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上，AC＝DF，AB＝DE．求证：四边形ACDF是平行四边形．
题型04 三角形的中位线
【典例1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（ ）
A．8米B．20米C．25米D．32米
【变式1】如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为 ．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 ．
【变式3】如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
题型05 平行四边形的判定与性质
【典例1】如图，已知平行四边形ABCD，AC，BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接BE，交AD于点F，连接OF，则CE与OF的关系为 ．
【变式1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证四边形AECF是平行四边形；
（2）若点E是OB的中点，△ABE的面积为2，求四边形AECF的面积．
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长．
1．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．一组对边相等一组对角是直角的四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，∠ACB＝∠CAD
B．AB＝BC，AD＝CD
C．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD
D．AO＝CO，BO＝DO
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若OA＝OC，则添加下列条件，仍不能得出AB∥CD的是（ ）
A．AD＝BCB．AD∥BCC．OB＝ODD．∠ADB＝∠CBD
5．根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．C． D．
6．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．12B．1C．2D．3
7．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC＝12，DE＝10，则BG的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．在△ABC中，D，F分别是AB，BC的中点，DE⊥AC，FG⊥BC，垂足分别为E，F，FG交DE于点G，且FG＝FC．若AE＝4，CE＝5.6，则DG的长为（ ）
A．0.4B．0.8C．1.2D．1.4
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或374B．52C．52或374D．373
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上两点，添加一个能判定四边形DEBF是平行四边形的条件： ．
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝8，则MN＝ ．
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，∠A＝75°，∠ABC＝85°，则∠PNM的度数是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝10cm．动点M从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动．同时，动点N从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间t＝ s时，四边形AMND为平行四边形．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝3，点M，N分别在边AC，BC上，且AM＝CN，则线段MN的最小值为 ．
16．已知：如图，E、F为▱ABCD对角线AC上的两点，且 ．
求证：四边形BFDE是平行四边形．请你在①AE＝CF；②BE⊥AC，DF⊥AC；③BE＝DF中选择其中一个你认为正确的条件添加，并进行结论的证明．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，且DF＝BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）若∠DAF＝20°，求∠BCE的度数；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，连接CD，E为CD中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF交AC于点G，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）若∠A＝30°，AC=43，CF＝6，求AD的长．
19．如图，等边△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，CD与BE交于点F，在BC上方作等边△BEG，连接AG，DG．
（1）求证：四边形CDGE为平行四边形；
（2）不添加任何辅助线，直接写出与∠AEG相等的角（不包括∠AEG）．
20．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
教学目标
掌握平行四边形的判定方法并能够通过题目已知条件选择合适的判定方法判定平行四边形。
掌握三角形的中位线性质与判定，能够熟练的对三角形的中位线进行判断与对性质的熟练应用。
教学重难点
重点
平行四边形的判定方法；
三角形的中位线性质。
2. 难点
（1）平行四边形的判定与性质的综合；
（2）三角形中位线性质的应用。
元素
判定方法与文字语言
数学语言
图形
边
一组对边 的四边形是平行四边形
∵AB CD或AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别 的四边形是平行四边形
∵AB CD，AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形
两组对边分别 的四边形是平行四边形
∵AB CD，AD BC
∴四边形ABCD是平行四边形
角
两组对角 的四边形是平行四边形
∵∠ABC ∠ADC，
∠BAD ∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线
对角线 的四边形是平行四边形
∵OA OC，OB OD
∴四边形ABCD是平行四边形