初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.1 多边形学案及答案

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册（2024）4.1 多边形学案及答案，文件包含第一章二次根式举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册试题版docx、第一章二次根式举一反三讲义数学新教材浙教版八年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共39页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4801" 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 PAGEREF _Tc4801 \h 2
\l "_Tc8357" 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 PAGEREF _Tc8357 \h 5
\l "_Tc7631" 【题型3 添加条件证明平行四边形】 PAGEREF _Tc7631 \h 9
\l "_Tc11844" 【题型4 证明平行四边形】 PAGEREF _Tc11844 \h 13
\l "_Tc12218" 【题型5 确定平行四边形的个数】 PAGEREF _Tc12218 \h 18
\l "_Tc29380" 【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】 PAGEREF _Tc29380 \h 20
\l "_Tc29591" 【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】 PAGEREF _Tc29591 \h 27
\l "_Tc29372" 【题型8 利用平行四边形的判定与性质的应用】 PAGEREF _Tc29372 \h 32
\l "_Tc4646" 【题型9 全等三角形拼接平行四边形问题】 PAGEREF _Tc4646 \h 35
\l "_Tc14408" 【题型10 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 PAGEREF _Tc14408 \h 40
知识点1 平行四边形的定义及表示
1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2. 平行四边形的表示：如图所示，平行四边形用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
3. 平行四边形的基本元素（边、角、对角线）
知识点2 平行四边形的性质
1. 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分．
2. 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表：
【题型1 利用平行四边形的性质求解】
【例1】（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段AE、ED的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解．
先由平行四边形性质得到AD∥BC，结合平行线性质、角平分线定义得到∠ABE=∠AEB，进而由等腰三角形的性质得到AE=AB=3，再数形结合得到DE=AD−AE，代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD−AE=5−3=2，
故选：B．
【变式1-1】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形ABCD的一个外角为38°，则∠A的度数为 ．
【答案】142°
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补．
利用已知可先求出∠BCD=142°，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求∠A的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵平行四边形ABCD的一个外角为38°，
∴∠BCD=142°，
∴∠A=142°．
故答案为：142°．
【变式1-2】如图，在▱ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E．
(1)求▱ABCD的周长；
(2)求BE的长．
【答案】(1)20
(2)2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得BC=AD=6，CD=AB=4，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质得出BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠ADE=∠DEC，根据角平分线的定义推得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD=4，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD=AB=4，
∴平行四边形ABCD周长为4+6×2=20．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，CD=AB=4，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD=4，
∴BE=BC−EC=6−4=2．
【变式1-3】如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F；
(1)求∠CEF的度数；
(2)若CF=1，求AB的长．
【答案】(1)∠CEF=30°
(2)AB=1
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质；
（1）根据平行四边形的性质可得∠ABC=60°，根据平行线的性质可得∠ECF=∠ABC=60°，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出CE=2，进而证明四边形ABDE是平行四边形，得出DE=AB，即可得出CE=2AB，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，AD∥BC
∴∠ABC=60°
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=30°；
（2）∵CF=1，∠CEF=30°，EF⊥BC，
∴CE=2，
∵AB∥CD，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB
又∵AB=CD
∴CE=CD+DE=AB+AB=2AB，
∴AB=12CE=1．
【题型2 利用平行四边形的性质证明】
【例2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC,BE．求证：CE=CD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得AB∥CE，则有∠BAF=∠CEF和∠ABC=∠ECF，结合中点得BF=CF，即可证明△ABF≌ECF，根据AB=CE，AB=CD即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CE，AB=CD
∴∠BAF=∠CEF，∠ABC=∠ECF，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
∴在△ABF与△ECF中，
∠BAF=∠CEF∠B=∠ECFBF=CF，
∴△ABF≌ECFAAS，
∴AB=CE，
又∵AB=CD
∴CE=CD．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE=OF．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得AO=CO，AD∥BC，进而可得∠EAO=∠FCO，再根据对顶角相等可得∠AOE=∠COF从而证明△AOE≌△COF，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COFASA，
∴OE=OF．
【变式2-2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，将 ▱ABCD绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到▱AEFG ，使得点 B 的对应点E 恰好落在边BC上，点 F，G分别为点C，D 的对应点，AD与EF的交点为H．
(1)求证：EA 平分∠BEF ．
(2)若∠B=54° ，求 ∠DHF的度数．
【答案】(1)见详解
(2)72°
【分析】（1）根据旋转的性质可得∠B=∠AEF，AB=AE，则可得∠B=∠AEB，进而可得∠AEF=∠AEB，即可得证EA 平分∠BEF．
（2）先求出∠BAE=72°，再根据旋转角相等可得∠DAG=∠BAE=72°，再由平行四边形的性质可得∠DHF=∠DAG=72°．
本题主要考查旋转的性质和平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
【详解】（1）证明：∵将 ▱ABCD绕点A 顺时针方向旋转一定角度得到▱AEFG ，
∴∠B=∠AEF，
又∵点 B 的对应点E 恰好落在边BC上，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠AEF=∠AEB，
∴EA 平分∠BEF．
（2）解：∵∠B=∠AEB，且∠B=54°，
∴∠AEB=54°，
∴∠BAE=180°−∠B−∠AEB=180°−2×54°=72°，
根据旋转的性质可得∠DAG=∠BAE，
∴∠DAG=72°，
又∵四边形AEFG是平行四边形，
∴EF∥AG，
∴∠DHF=∠DAG=72°．
【变式2-3】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE交BC于点G，连接OG、CF．
(1)求证：AE∥CF；
(2)当AG⊥BC，OG⊥AC时，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)45∘
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质推出OA=OC，OB=OD，判定△AOE≅△COF，得到∠OAE=∠OCF，即可证明AE∥CF；
（2）判定OG垂直平分AC，推出AG=CG，因此△AGC是等腰直角三角形，得到∠ACB=45°．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别为OB、OD的中点，
∴OE=12OB，OF=12OD，
∴OE=OF，
∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴ △AOE≅△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
∴AE∥CF；
（2）解：∵AG⊥BC，
∴∠AGC=90°，
由（1）知OA=OC，
∵OG⊥AC，
∴OG垂直平分AC，
∴AG=CG，
∴ △AGC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°．
知识点3 平行四边形的判定
1. 平行四边形的判定方法
2. 灵活选择平行四边形的判定方法
（1）若已知一组对边平行，可证明该组对边相等或证明另一组对边平行；
（2）若已知一组对边相等，可证明该组对边平行或证明另一组对边相等；
（3）若已知条件与对角线有关，可证明对角线互相平分；
（4）若已知条件与角有关，可证明两组对角分别相等．
【题型3 添加条件证明平行四边形】
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．BE=DFB．CE=AFC． CE∥AF D．∠ECB=∠FAD
【答案】B
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形AECF是平行四边形是解题的关键．设AC交BD于点O，则OC=OA，OB=OD，因为BE=DF，所以OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，可判断A不符合题意；由CE=AF，OC=OA，∠COE=∠AOF不能证明△COE与△AOF全等，则不能证明CE与AF平行，所以不能证明四边形AECF是平行四边形，可判断B符合题意；由CE∥AF，得∠OCE=∠OAF，可证明△COE≌△AOF，则CE=AF，所以四边形AECF是平行四边形，可判断C不符合题意；由∠OCB=∠OAD，∠ECB=∠FAD，推导出∠OCE=∠OAF，可证明△COE≌△AOF，得OE=OF，则四边形AECF是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：设AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故A不符合题意；
∵由CE=AF，OC=OA，∠COE=∠AOF不能证明△COE与△AOF全等，
∴不能确定∠OCE与∠OAF是否相等，
∴不能证明CE与AF平行，
∴不能证明四边形AECF是平行四边形，
故B符合题意；
∵CE∥AF，
∴∠OCE=∠OAF，
在△COE和△AOF中，
∠OCE=∠OAFOC=OA∠COE=∠AOF，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故C不符合题意；
∵CB∥AD，
∴∠OCB=∠OAD，
∵∠ECB=∠FAD，
∴∠OCB+∠ECB=∠OAD+∠FAD，
∴∠OCE=∠OAF，
在△COE和△AOF中，
∠OCE=∠OAFOC=OA∠COE=∠AOF，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
【变式3-1】如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ）
∠B+∠C=180°B．AB=CD
C．∠A=∠BD．AD=BC
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：添加∠B+∠C=180°后可得AB∥CD，仅一组对边平行，无法证明四边形ABCD是平行四边形．故A选项不合题意；
添加AB=CD后可得AB=CD，AB∥CD，满足一组对边平行且相等，可证四边形ABCD是平行四边形．故B选项符合题意；
添加∠A=∠B后，∠A=∠B=80°，四边形ABCD为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；
添加AD=BC后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形ABCD是平行四边形．故D选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
【变式3-2】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且CD∥AB，若要证明四边形ABCD为平行四边形，不能添加的条件是（ ）
A．AD∥CBB．AB=CD
C．AD=BCD．∠DAB+∠ABC=180°
【答案】C
【分析】此题考查平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵CD∥AB,AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵CD∥AB,AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由CD∥AB,AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式3-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP=180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：
甲：添加BM=PC；
乙：添加BM∥PC；
丙：添加MP=BC．
则正确的方案（ ）
A．只有甲、乙才对B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对D．甲、乙、丙都对
【答案】B
【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：∵ ∠P+∠BCP=180°，
∴ MP∥BC，
甲：添加BM=PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形；
乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形；
丙：添加MP=BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形；
综上可知，只有乙、丙才对，
故选B．
【题型4 证明平行四边形】
【例4】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，E 为边 AC上一点，连接BE．将AC绕点 E 旋转，使点 C 落在 BC上的点 D 处，点 A 落在 BC上方的点 F 处，连接AF,CF．求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质，得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，根据旋转的性质，得到AC=DF,DE=CE，证明△DEC是等边三角形，得到AB=DF，证明AB∥DF，即可得出结论．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
又∵ 将AC绕点 E 旋转得到DF，
∴AC=DF,DE=CE．
∴AB=DF，△DEC是等边三角形．
∴∠EDC=60°．
又∵∠ABC=∠EDC=60°，
∴AB∥DF．
又∵AB=DF，
∴ 四边形ABDF是平行四边形．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，过点D作DE∥AC交AB于点E，请使用尺规作图法在边AC上求作一点F，连接DF，使四边形AEDF为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的判定．
以AD为一边，在∠ADC的内部作∠ADF=∠BAD，交AC于点F即可．
【详解】解：如图，四边形AEDF即为所求作的平行四边形．
理由：由作法知，∠ADF=∠BAD，
∴AE∥DF，
∵DE∥AC，
∴四边形AEDF为平行四边形．
【变式4-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．
(1)求证：BE=CD；
(2)求证：四边形EFCD是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合BF=DC，可推出BE=BF，∠EBA=∠DCA=60°，即△BEF为等边三角形，进而得到EF=BF，∠ABC=∠EFB=60°，推出EF∥BC，最后由对边相等且平行即可判定四边形EFCD为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD−∠BAD=∠BAC−∠BAD，即∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACDSAS；
（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，
又∵BF=DC，
∴BE=BF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCA=60°，
∴∠EBA=∠DCA=60°，
∴△BEF为等边三角形．
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFB=60°，
∴EF∥BC，即EF∥DC，
∵EF=BF，BF=DC，
∴EF=DC，
∴四边形EFCD是平行四边形．
【变式4-3】在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转60°得到BD'，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
(1)判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
(2)求证：D′A=DC；
(3)求证：四边形AD′DD″是平行四边形．
【答案】(1)∠D′BA=∠DBC；理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定；
（1）先根据旋转的性质得∠DBD′=60°，BD＝BD′，则可判断△BDD′为等边三角形，所以∠DBD′=60°，DD′=BD，再利用△ABC为等边三角形得到∠ABC=60°，BA=BC，则可得到∠D′BA=∠DBC；
（2）通过证明△ABD′≌△CBD得到D′A=DC；
（3）先判断△DCD″为等边三角形得到DD″=DC，∠DCD″=60°，再与（2）的证明方法一样证明△ACD″≌△BCD得到AD″=BD，所以DD′=AD″，加上DD″=DC=AD′，从而可判断四边形AD′DD″是平行四边形．
【详解】（1）解：∠D'BA=∠DBC，理由如下：
∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′=60°，BD=BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴DD′=BD，∠DBD′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，BA=BC，
∵∠D′BA+∠ABD=60°，∠ABD+∠DBC=60°，
∴∠D'BA=∠DBC.
（2）证明：在△ABD′和△CBD中，
BA=BC∠ABD'=∠CBDBD'=BD，
∴△ABD′≌△CBDSAS，
∴D′A=DC.
（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″=60°，CD=CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∴DD″=DC，∠DCD″=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，
∵∠D″CA+∠ACD=60°，∠ACD+∠DCB=60°，
∴∠D″CA=∠DCB，
在△ACD″和△BCD中，
CA=CB∠ACD''=∠BCDCD''=CD，
∴△ACD″≌△BCDSAS，
∴AD″=BD，
∴DD′=AD″，
∵DD″=DC=AD′，
∴四边形AD′DD″是平行四边形．
【题型5 确定平行四边形的个数】
【例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，图中共有（ ）个平行四边形．
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD
∴平行四边形有：▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO、▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个．
故选：C．
【变式5-1】如图，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有 个平行四边形．
【答案】3
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解．
【详解】解：∵DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，
∴图中的平行四边形有▱ADFE，▱BDEF，▱CEDF，共三个，
故答案为：3．
【变式5-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个．
【答案】5
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
根据网格的特点可得，
四边形CAPB，FAMB，DAOB，EANB， HAGB为平行四边形，
所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故答案为：5．
【变式5-3】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段AB,CD相交于点O，且图上各点把线段AB,CD四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个．
【答案】4
【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段AB,CD四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵线段AB,CD相交于点O，且图上各点把线段AB,CD四等分，
∴CF=FO=NO=ND=12CO=12DO=14CD, AM=MO=EO=EB=12AO=12BO=14AB,
∴四边形ACBD，四边形MFEN，四边形AFBN，四边形MCED都是平行四边形，
故答案为：4
【题型6 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例6】（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，△ABC为等边三角形，P为△ABC内部的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF= ．
【答案】4
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
延长EP交AB于H，先由等边三角形的性质求得AB=4，再证明△AHE、△PHF为等边三角形，得HE=AH，PF=PH=FH，然后证四边形BDPH为平行四边形，得PD=BH，即可由PD+PE+PF=BH+PE+PH=BH+HE=BH+AH=AB求解．
【详解】解：延长EP交AB于H，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵△ABC的周长为12，
∴AB=4，
∵PE∥BC，
∴∠B=∠PHA=60°，∠PEA=∠C=60°，
∴△AHE为等边三角形，
∴HE=AH，
∵PF∥AC，
∴∠PFH=∠A=60°，∠FPH=∠AEH=60°，
∴△PHF为等边三角形，
∴PF=PH=FH，
∵PE∥BC，PD∥AB，
∴四边形BDPH为平行四边形，
∴PD=BH，
∴PD+PE+PF=BH+PE+PH=BH+HE=BH+AH=AB=4，
故答案为：4．
【变式6-1】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是▱ABCD的边AB上的点，连接DE、CE,Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD=5cm2,S△BQC=9cm2，则阴影部分的面积为（ ）
A．23cm2B．20cm2C．17cm2D．13cm2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB=CD,AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到S△BEF=2S△BQC=18cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=5cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积．
【详解】解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵Q是CE中点，
∴EQ=CQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∠BQE=∠FQCEQ=CQ∠BEQ=∠FCQ ，
∴△BEQ≌△FCQ(ASA)，
∴BE=CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=18cm2，
∵AB−BE=CD−CF，
即AE=FD，
∵AE∥FD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=5cm2，
∴阴影部分的面积=S△BEF+S△PEF=18+5=23cm2．
故选：A．
【变式6-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③中的网格均是由边长为1的小正方形组成，已知AB是格点线段．可以用如下方法构造线段AB的中点．如图①，在网格上取格点C、D，使得AC∥BD，且AC=BD，连结CD交AB于点E．点E即为线段AB的中点．理由如下：
∵AC∥BD，∴∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE．
在△ACE和△BDE中，
∵∠CAE=∠DBE，AC=BD，∠ACE=∠BDE，
∴△ACE≌△BDEASA，∴AE=BE．（数学理由），
即点E是线段AB的中点．
(1)填写材料中的数学理由：____________；
(2)请你在图②中利用点C的位置和上述方法找到线段AB的中点M；
(3)请你在图③中找到线段AB的中点M．
【答案】(1)全等三角形的对应边相等
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）利用平行四边形的对角线互相平分，构造平行四边形解答即可；
（3）利用平行四边形的对角线互相平分，构造平行四边形解答即可．
【详解】（1）解：根据全等三角形的性质，得全等三角形的对应边相等；
故答案为：全等三角形的对应边相等；
（2）解：如图，构造AD∥BC,AD=BC，
得到四边形ADBC是平行四边形，
连接CD交AB于点M，
则AM=MB，
则点M即为所求．
（3）解：如图，构造AP∥BQ,AP=BQ，
得到四边形APBQ是平行四边形，
连接PQ交AB于点M，
则AM=MB，
则点M即为所求．
【变式6-3】（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，AE=BE，点F是线段AE上一动点，连接BF．
(1)如图1，若EF=2AF，BF=213，求平行四边形ABCD的面积；
(2)如图2，若BF⊥BC，连接DF，求证：BF=BC+DF；
(3)如图3，线段AE上另有一点G，满足FG=2，连接DG．若AB=12，DE=3，请直接写出BF+FG+DG的最小值．
【答案】(1)36
(2)见解析
(3)BF+FG+DG的最小值为55+2
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）设AE=3a，则EF=2a,AF=a，根据勾股定理求得a=2，进而根据S▱ABCD=2S△ABE，即可求解；
（2）延长BE、CD交于点H，通过证明△AEH≌△BEF及△HED≌△FED，即可证明BF=BC+DF；
（3）过点D作DM∥AE延长BA交DM于点M，过点F作FN∥DG交AD于点N，连接BN，得出四边形DEAM是平行四边形，四边形DGFN是平行四边形，根据BF+FG+DG≥BN+2，以及垂线段最短，可得BF+FG+DG取得最小值，最小值为BN+2，进而根据勾股定理求得BN，即可求解．
【详解】（1）解：设AE=3a，
∵AE=BE，则BE=AE=3a，
∵EF=2AF，
∴EF=2a,AF=a，
∵∠AEB=90°，
∴Rt△BEF中， BF=EF2+BE2=2a2+3a2=13a=213，
∴a=2，
∴AE=BE=6，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=2×12×6×6=36；
（2）证明：如图，延长BE,AD交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,CD∥BA，
∴∠H=∠CBE，
∵BF⊥BC，
∴BF⊥AD，
∴∠CBF=∠BEF=∠HEF=90°，
∴∠CBE=90°−∠EBF=∠BFE，
∴∠H=∠BFE，
∵AE=BE，
∴△AEH≌△BEFAAS，
∴AH=BF,EH=EF，
∵CD∥BA，
∴∠HED=∠EBA,∠FED=∠EAB，
∵∠EBA=∠EAB，
∴∠HED=∠FED，
∴ED=ED，
∴△HED≌△FEDSAS，
∴DH=DF，
∵AD=BC，
∴BF=AH=AD+DH=BC+DF，
∴BF=BC+DF；
（3）解：如图，过点D作DM∥AE，延长BA交DM于点M，过点F作FN∥DG交MD于点N，连接BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴四边形DEAM是平行四边形，
∴AM=DE=3，MD=AE
∴MB=AB+AM=12+3=15，
又∵FN∥DG，
∴四边形DGFN是平行四边形，
∴ND=FG=2,DG=FN，
又∵BF+FG+DG=BF+FN+2≥BN+2，
∴当BN⊥DM时，且F在BN上时，BF+FG+DG取得最小值，最小值为BN+2，
又∵△AEB中，∠AEB=90°,AE=BE，
∴∠EAB=45°，AE2+BE2=AB2=144
即AE2=BE2=72
∴AE=BE=62
∴MD=AE=62
则MN=62−2=52
过点N作NH⊥MB，
∵DM∥AE，
∴∠NMB=∠EAB=45°，
∵NH⊥MB
∴△MHN是等腰直角三角形，
∴MH=NH，
∴MN2=MH2+NH2
即50=MH2+NH2
∴25=MH2=NH2
∴MH=NH=5
∴HB=MB−MH=15−5=10
在Rt△HNB中，BN=NH2+HB2=25+100=55，
∴BF+FG+DG的最小值为55+2．
【题型7 利用平行四边形的判定与性质证明】
【例7】（2025·重庆·模拟预测）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线BD所在的直线上取两点E、F，使∠DAE=∠BCF．这样所得的四边形AECF是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在BC的右侧作∠BCF=∠DAE，交直线DB于点F，连接AF（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形ABCD是平行四边形，BD与AC交于点O，点E、F是直线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，∠BCF=∠DAE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，①______．
∴∠ADB=∠CBD，
∴180°−∠ADB=180°−∠CBD，
∴②______．
在△EDA和△FBC中：∠EDA=∠FBCAD=BC∠DAE=∠BCF
∴△EDA≌△FBCASA，
∴③______，∠AED=∠CFB，
∴④______．
∴四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①AD∥CB，②∠EDA=∠FBC，③AE=CF，④AE∥CF
【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）证明AE=CF，AE∥CF即可证得四边形AECF是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，∠BCF即为所求作角，
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥CB．
∴∠ADB=∠CBD，
∴180°−∠ADB=180°−∠CBD，
∴∠EDA=∠FBC．
在△EDA和△FBC中：∠EDA=∠FBCAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△EDA≌△FBCASA，
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：①AD∥CB，②∠EDA=∠FBC，③AE=CF，④AE∥CF．
【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）如图在平行四边形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF，求证DE=BF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．
先由平行四边形ABCD得到DC∥AB，DC=AB，然后证明DF=BE，即可证明四边形DFBE是平行四边形，则DE=BF．
【详解】证明：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，DC=AB
∵AE=CF，
∴DC−CF=AB−AE，
∴DF=BE，
∴DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF．
【变式7-2】已知：如图，点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，E，F 分别是BC和AD上的点， 且AE∥FC．
(1)求证：四边形 AECF是平行四边形；
(2)求证：△ABE≌△CDF；
(3)求证：EF经过点O ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求证；
（2）利用SAS即可证明△ABE≌△CDF；
（3）连接AC，由点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，可得OA=OC，再由四边形AECF是平行四边形可证得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）证明：∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∴AD−AF=BC−CE，
即DF=BE，
∴△ABE≌△CDFSAS；
（3）证明：连接AC，
∵点O是平行四边形ABCD的对角线BD的中点，
∴OA=OC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EF经过点O．
【变式7-3】如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)连接BD，若四边形BECD是矩形，求证：∠BOD=2∠A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形，得出BD=EC，最后利用SSS即可证明△ABD≌△BEC；
（2）由平行四边形的性质可得∠A=∠BCD，由矩形的性质可得OD=OC，由等边对等角得出∠ODC=∠OCD，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∵AB=BE，
∴BE=CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD=EC，
在△ABD和△BEC中，
AD=BCAB=BEBD=CE，
∴△ABD≌△BECSSS；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，
∵四边形BECD是矩形，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠BOD=∠ODC+∠OCD，
∴∠BOD=2∠A．
【题型8 利用平行四边形的判定与性质的应用】
【例8】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）数学实践小组开展测量篮球架篮板AB的高度的实践活动．测量方案如下表：
根据以上测量方案和数据求篮球架篮板AB的高度．
【答案】篮球架篮板AB的高度为1m
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得∠HEC=∠AKC=90°，从而可得AB∥GF，再根据同位角相等，两直线平行可得AG∥BF，从而可得四边形AGFB是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得GF=AB=1m，即可解答
【详解】解：∵HE⊥CD，AB⊥CD，
∴∠HEC=∠AKC=90°，
∴AB∥GF，
∵∠HGA=∠HFB=48°，
∴AG∥BF，
∴四边形AGFB是平行四边形，
∴GF=AB=1m，
答：篮球架篮板AB的高度为1m．
【变式8-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘ABCD的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘▱A′B′C′D′．
【答案】作图见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接AC，BD交于点O ，过点A作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于点A′，B′，C′，D′，则▱A′B′C′D′即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题．
【详解】解：连接AC，BD交于点O ，过点A作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于点A′，B′，C′，D′，如图所示：
则四边形AOBB′、BOCC′、CODD′、AODA′均为平行四边形，
∴S△AOB=S△AB′B,S△BOC=S△BC′C,S△COD=S△CD′D,S△AOD=S△AA′D，
∴S▱A′B′C′D′=2S四边形ABCD，则▱A′B′C′D′即为所求．
【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧AB垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48°，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1m．活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
【答案】我认为小明的说法正确，见解析
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形AGFB是平行四边形是解题的关键．
根据题意可得AB∥GF，再由∠HGA=∠HFB，得到AG∥BF，继而得到四边形AGFB是平行四边形，即可解答．
【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵HE⊥CD,AB⊥CD，
∴∠HEC=∠AKC=90°．
∴AB∥GF．
∵∠HGA=∠HFB，
∴AG∥BF．
∴四边形AGFB是平行四边形．
∴GF=AB=1m．
∴GF的长度就是篮板AB的高度．
【变式8-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度α向液面l1发射一束细光，光束在液面l1的O1处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点S1．当液面上升至l2时，入射点就沿着入射光线的方向平移至O2处，反射光线也跟着向左平移至O2S2处，O1S1交l2于点Q，在O1处的法线交于l2点N,O2处的法线为O2M，若S1S2=4.6 cm,α=45°，则液面从l1上升至l2的高度为 cm．
【答案】2.3
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形S1S2O2Q是平行四边形，求得∠O2O1Q=90°，据此求解即可．
【详解】由题意得O1S1∥O2S2，S1S2∥O2Q，
∴ 四边形S1S2O2Q是平行四边形，
∴O2Q=S1S2=4.6cm，
∵α=45°，
∴∠O2O1Q=90°，
∠O1O2Q=α=45°=∠O1QO2，
∴O1O2=O1Q，
∵O1N⊥O2Q，
∴O1N=12O2Q=2.3cm，
故答案为：2.3．
【题型9 全等三角形拼接平行四边形问题】
【例9】如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，拼的过程中两三角形不重叠，则能拼出互不全等的四边形的个数是 个．
【答案】4
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行四边形的判定，可以动手拼凑，得出答案．
【详解】解：让三个相等的边互相重合各得到一个平行四边形，
让斜边重合还可以得到一个一般的平面四边形，
那么能拼出互不全等的四边形的个数是4个．
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及等腰三角形的性质，通过动手操作得出答案是解决问题的关键．
【变式9-1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个B．4个C．3或4个D．2或3个
【答案】D
【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量．
【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；

两直角边相等的三角板，如图中AB=AC，平行四边形ABCB′，ACBC′形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；

故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键．
【变式9-2】如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．
要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；
②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．
(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的判定方法证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图1中，∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝22+22=22，
∴四边形ABCD是平行四边形．（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明）
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接．
【变式9-3】（24-25八年级下·广东珠海·期中）小珠同学用两副三角板拼出了如图2所示的平行四边形，要求内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．而且含30°的直角三角板的较长直角边长等于含45°直角三角板的斜边长（如图1）．
(1)在图1中，若含45°的直角三角板的斜边MN长为10，则MQ=________，PM=________，PN=________
(2)在（1）的条件下，求四边形EFGH的面积．
(3)请画出另外一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形形状相同；②画出三角板的边．
【答案】(1)52，1033，2033
(2)502−10033−50+5036
(3)图见解析
【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
（1）根据勾股定理可得MN=2MQ=10，由此可得MQ的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得PN=2PM，利用勾股定理可得PM的长，从而可得PN的长；
（2）先证出四边形EFGH是矩形，再求出EH,EF的长，利用矩形的面积公式计算即可得；
（3）让两个直角三角形的斜边为中间小平行四边形的两组对边，据此画出图形即可得．
【详解】（1）解：∵含45°的直角三角板的斜边MN长为10，MQ=NQ，
∴MN=MQ2+NQ2=2MQ=10，
∴MQ=52，
∵在Rt△MNP中，MN=10，∠MNP=30°，
∴PN=2PM，
∴MN=PN2−PM2=3PM=10，
∴PM=1033，
∴PN=2×1033=2033，
故答案为：52，1033，2033．
（2）解：∵AH=CF,AE=CG,BE=DG,BF=DH，
∴AH−AE=CF−CG,BE−BF=DG−DH，
∴EH=FG,EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵∠AEB=90°，即AE⊥BE，
∴平行四边形EFGH是矩形，
由（1）可知，AH=10,AE=BE=52，BF=1033，
∴EH=AH−AE=10−52，EF=BE−BF=52−1033，
∴四边形EFGH的面积为EH⋅EF=10−52×52−1033
=502−10033−50+5036．
（3）解：画出另外一种符合题意的图如下：
【题型10 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
【例10】如图，在5×5的正方形网格图中有A、B、C三点，网格中以A、B、C三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A．1B．2C．3D．无数
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以BC、AC为对角可画平行四边形．
【详解】解：如图，以BC为对角可画平行四边形ACD1B，以AC为对角线可画平行四边形ABCD2，共两个，
故选：B．
【变式10-1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上．请在本网格图中找出点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点C有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解：当BD为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：
当AB为平行四边形的对角线时，点C的位置如图所示：
∴符合要求的点C有2个，
故选：C．
【变式10-2】如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．3B．6C．7D．9
【答案】D
【详解】解：如图所示：
∵矩形AD4C1B，平行四边形ACDB，平行四边形AC1D1B，上下完全一样的各有3个，还有正方形ACBC3，还有两个以AB为对角线的平行四边形AD4BD2，平行四边形C2AC1B．
∴一共有9个面积为2的阵点平行四边形．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定．
【变式10-3】（2025·安徽铜陵·一模）如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．
(1)画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；
(2)请在方格网中画出以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．（画出一个即可）
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查复杂作图，涉及中心对称图形性质、平行四边形性质等知识，熟记相关性质作图是解决问题的关键．
（1）根据中心对称性质，作出△ABC三个顶点关于点O成中心对称的点A′、B′、C′，连线即可得到答案；
（2）连接A、O、C′构成三角形，分别过△AOC′的三个顶点作相应对边的平行线，三条平行线的交点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：
∴△A′B′C′即为所求；
（2）解：如图所示：
即
∴D即为所求（一个即可）．
图示
基本元素
主要内容
边
邻边
AD和AB，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对
对边
AB和DC，AD和BC，共有两对
角
邻角
∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠ABC和∠BAD，共有四对
对角
∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对
对角线
AC和BD，共有两条
图示
性质
数学语言
边
对边平行且相等
AB∥DC，AD∥BC，AB＝DC，AD＝BC
角
对角相等，邻角互补
∠BAD＝∠DCB，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°等
对角线
对角线互相平分
AO＝CO，BO＝DO
图示
判定方法
符号语言
边
判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A+∠D=180°，
∴AB∥CD，
又∵（ ），
∴四边形ABCD是平行四边形．

课题
测量篮球架篮板AB的高度
测量
工具竹竿、测角仪、皮尺等
测量方案示意图
测量步骤
（1）将竹竿HE垂直固定在地面CD上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B；
（2）测量视线FB与竹竿HE的夹角，∠HFB；
（3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA；
（4）测量GF的长
测量数据
∠HFB=∠HGA=48°,GF=1m