创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份创新思想—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共5页。试卷主要包含了代数式中的创新思想，几何中的创新思想，统计概率中的创新思想等内容，欢迎下载使用。
1．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”由此可知方程x2+4x−1x+3=0的实数根的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．若一个点的坐标满足m,3m，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数y=x2+x+n（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（ ）
A．n0，进一步得nn,m,n均为正整数），则原数为10m+n，新数为10n+m，
∵新数与原数是4752的一个美满分解，a=10m+n，b=10n+m
又∵a2−b2=(a+b)(a−b)=4752，
将a=10m+n，b=10n+m代入a2−b2=(a+b)(a−b)=4752，
a2−b2=(10m+n)+(10n+m)(10m+n)−(10n+m)
=11（m+n）×9(m−n)=99m+nm−n=4752
可得：m+nm−n=48（m>n,m,n均为正整数）
此方程有两组符合题意的解，
分别为：m=7n=1或m=8n=4
当m=7n=1时，a=71b=17，
∴F4752=7117，
当m=8n=4时，a=84b=48，
∴F4752=8448=74，
综上，F4752的值为7117或74．
故答案为：7117或74．
【分析】本题以新定义“美满数”为背景，考查了因式分解与不定方程在数论问题中的应用。设原两位数的十位数字为 m、个位数字为 n（m > n），则原数为 10m + n，新数为 10n + m，且 a = 10m + n，b = 10n + m 是 4752 的一个美满分解，由 a2 - b2= 4752 得 99(m + n)(m - n) = 4752，即 (m + n)(m - n) = 48。解此不定方程得两组正整数解：(m， n) = (7， 1) 或 (8， 4)，分别代入得 F(4752) =7117或74。
10．【答案】529
【解析】【解答】解：设任意点Em,n关于直线y=−x对称的点F，EF交y=−x于G，过E作EM⊥y轴于M，过F作EN⊥x轴于N，连接OE，OF，则OE=OF，∠ONF=∠OME=90°，
∴∠EOG=∠GOF，
∵∠NOG=∠GOM=45°，
∴∠NOF=∠EOM，
∴△OME≌△ONFAAS，
∴OM=ON，ME=NF，
∵Em,n，
∴OM=ON=−n，ME=NF=m，
∴F−n,−m，
设二次函数y=−x2+2x+5的图象上有任意一点x,y，则点x,y与关于直线y=−x对称的点为−y,−x，若两图象相交于A，B，C，D四点，
∴二次函数y=−x2+2x+5的图象与关于直线y=−x对称的图象解析式为−x=−−y2+2−y+5，AC⊥BD，
联立y=−x2+2x+5−x=−−y2+2−y+5，两个方程相减后整理得y+xy−x+1=0，
∴y=−x或y=x−1，
当y=−x时，联立y=−x2+2x+5y=−x，解得x=3+292y=−3+292或x=3−292y=−3−292，
∴C3+292,−3+292，A3−292,−3−292，
∴AC=3−292−3+2922+3−292−3+2922=58，
当y=x−1时，联立y=−x2+2x+5y=x−1，解得x=3y=2或x=−2y=−3，
∴B−2,−3，D3,2，
∴BD=−2−32+−3−22=52，
∴四边形ABCD的面积为12AC⋅BD=1252×58=529，
故答案为：529．
【分析】
本题考查二次函数的综合，轴对称的性质，先求出任意一点x,y关于直线y=−x对称的点坐标为−y,−x，得到对称后的解析式为−x=−−y2+2−y+5，再解方程求出A，B，C，D四点坐标，求出AC和BD，最后根据AC⊥BD得到四边形ABCD的面积为12AC⋅BD，代入计算即可．
11．【答案】（1）1120
（2）1+1nn+1，49
【解析】【解答】解：（1）1+142+152=1+14−14+1=1120；
（2）由题干信息归纳可得：
1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1nn+1，
∴1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1492+1502
=1+11−12+1+12−13+⋅⋅⋅1+149−150
=49+11−150
=494950
=49．
【分析】本题考查二次根式的规律探究、取整函数（高斯函数）的应用.
（1）观察已知等式，发现1+1n2+1n+12可拆分为1+1n−1n+1，进一步化简为1+1nn+1，依据此规律完成猜想和通式推导；
（2）先将每一项二次根式按规律拆分为1+1nn+1，再对所有项求和，利用1n（n+1）=1n−1n+1进行裂项相消，最后结合取整函数的定义，确定每一项的取整结果后求和．
（1）解：1+142+152=1+14−14+1=1120；
（2）由题干信息归纳可得：
1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1=1+1nn+1，
∴1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1492+1502
=1+11−12+1+12−13+⋅⋅⋅1+149−150
=49+11−150
=494950
=49．
12．【答案】（1）−1；2；−9
（2）解：①由（1）得y=−x2+2x(x n)， 则 a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数.
∵a2+b2=m2−n22+2mn2=m4−2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+ n4
=m2+n22=c2
∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)
（3）解：最短边种21株， 边长20cm， 对应勾股数20， 21， 29
每三角形种花： 21+22+30−3=70(株)
四块绿地一共： 70×4=280(株)
【解析】【分析】（1）x=262−102=24
（2）通过设定m、n构造表达式，再代数运算验证勾股定理逆定理，证明其为勾股数通用形式 。
（3）先由种花株数得边长，匹配勾股数，再用 “株数 = 间隔数 + 1” 算单三角形株数（去重复顶点 ），最后乘4得总数，融合勾股数与植树问题逻辑 。
21．【答案】（1）解：画树状图如图所示.由图，可知共有12种等可能的结果，其中乘积是5的倍数的结果有4种，
∴ P(进入迷宫中心) =412=13.
（2）解：不公平.
由树状图可知，P(5的倍数) =13，P(非5 的倍数的奇数) =212=16，P(非5的倍数的偶数) =612=12.
∵1615，
∴ 打开区域A 中的方格获得奖品的概率更大.
【解析】【解答】 1∵7×7=49,方格中随机放置着10个奖品，
∴P=1049,
故答案为： 1049;
【分析】(1)根据宝箱由7×7个方格组成，方格中随机放置着10个奖品，列式计算概率即可；
(2)根据方格相邻的8个方格 (即区域A)中有两个放置了奖品，计算打开区域A中的小方格获奖的概率；根据区域A中有两个放置了奖品，计算出区域A外的小方格放置了8个奖品，再计算出区域A外的小方格的总数，即可计算打开区域A外的小方格获奖的概率.比较二者概率大小，选择概率大的即可.
23．【答案】（1）解：∵黑卡8在左边，
∴白卡数字可能为8或9，
又∵白卡9排在第一行，
∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：1，_，3，4，5
第三行：0，_，6，7，9
第四行：0，2，_，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为13.
【解析】【分析】
（1）根据规则即可求解；
（2）根据不能确定的数字求概率即可．
（1）解：∵黑卡8在左边，
∴白卡数字可能为8或9，
又∵白卡9排在第一行，
∴第四行最后一张白色卡片上数字只能是8；
（2）解：每行能确定的数字为：
第一行：1，5，6，7，9
第二行：1，_，3，4，5
第三行：0，_，6，7，9
第四行：0，2，_，8，8
不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为13，
24．【答案】（1）23
（2）解：补全树状图，如图，
∵∠ACB=∠DCE，
∴当抽中①∠A=∠D，②∠B=∠E，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A=∠D，③AB=DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A=∠D，④BC=CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B=∠E，①∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B=∠E，③AB=DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B=∠E，④BC=CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB=DE，①∠A=∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB=DE，②∠B=∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB=DE，④BC=CE，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC=CE，①∠A=∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC=CE，②∠B=∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC=CE，③AB=DE，不能判断△ABC≌△DEC；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率=812=23．
【解析】【解答】解：（1）∵AB=DE，∠ACB=∠DCE，
∴当抽中∠A=∠D时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，①符合题意；
当抽中∠B=∠E时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，②符合题意；
当抽中BC=CE时，由SSA不能判断△ABC≌△DEC，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明△ABC≌△DEC成立的情况有2种
能证明△ABC≌△DEC概率是23，
故答案为：23；
【分析】
（1）根据全等三角形的判定“有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可得△ABC≌△DEC成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明△ABC≌△DEC成立的结果数，然后用概率公式计算即可求解．
25．【答案】（1）5
（2）1、2
【解析】【解答】解：（1）∵第一轮需要1次，第二轮需要2次，第三轮要2次，
∴n=1+2+2=5.
故答案为：5.
（2）根据题意画示意图如下
感染者人数的所有可能值为1或2.
故答案为：1或2
【分析】（1）由图可计算出n的值；
（2）当经过4轮共7次检测后确定了所有的感染者，需要经过3轮共n次检测后，即可得出答案。汉字
山
夏
亲
河
盛
故
土
国
九
心：
州
我
炎
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
汉字
黄
爱
振
系
情
祖
牵
繁
中
荣
母
华
兴
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
物理常识
光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．
当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即n=sinαsinβ．
长方形内直线的条数
2
3
4
5
…
最多的交点个数
1
…
3， 4， 5
7， 24， 25
11， 60， 61
15， 112， 113
19， 180， 181
4， 3， 5
8， 15， 17
12， 35， 37
16， 63， 65
20， 21， 29
5， 12， 13
9， 12， 15
13， 84， 85
17， 144， 145
21， 28， 35
6， 8， 10
10， ， 26
14， 48， 50
18， 80， 82
22， 120， 122
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
5
2
1
2
5
…
x
…
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
5
2
1
2
5
…
长方形内直线的条数
2
3
4
5
…
最多的交点个数
1
3
6
10
…