规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共18页。试卷主要包含了代数式规律探索，数阵类规律探索，末尾数字规律探索，点的坐标规律等内容，欢迎下载使用。
1．（2026·涪城一模） 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ）
A．676B．675C．674D．1350
2．（2025·武汉模拟）黑板上有按规律排列的20个整数：1，−2，3，−4，5，−6，7，⋯，−18，19，−20．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，−10，−16，则添写数字−1．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是−16，则另一个数是（ ）
A．6或4B．2或8C．−4或6D．2或−8
3．（2026·定海模拟）观察xy2，−x2y3，x3y4，−x4y5，⋯，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是 ．
4．（2025·成都模拟）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ．
5．（2026·杭州二模）“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：22=1+12+2;
第2个等式：32=2+22+3;
第3个等式：42=3+32+4;
第4个等式：52=4+42+5;
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
二、数阵类规律探索
6．（2024·绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，…第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（ ）
A．36B．96C．226D．426
7．（2025·绵阳模拟）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a4+a200=（ ）
A．20108B．20119C．20110D．20111
8．（2026·宁波模拟）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式x4−8x3+24x2−32x+16的值为81时，则x的值为 .
9． 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 .
10．（2025·浙江）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 (a+b)n 展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ．
【应用体验】
已知 (x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16 ，则 m 的值为 .
三、末尾数字规律探索
11．（2025七上·浙江期中）已知一列数a1,a2，a3，…，an…中，a1=2,a2=2a1−1,a3=2a2−1，…，an+1=2an−1，…则a2026−a2025的个位数字是( )
A．8B．6C．4D．2
12．（2025七上·金东期中） 对于每个正整数n， 设f(n)表示 n(n+2)的末位数字. 例如， f(1)=3(1×3的末位数字)， f(2)=8(2×4的末位数字)， f(3)=5(3×5的末位数字)， …， 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)的值是 ( )
A．9115B．9123C．9126D．11141
13．观察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81，35=243,36=729,37=2187,⋯.由上述规律可知，3+32+33+34+⋯+32023的末位数字是（ ）
A．3B．9C．2D．0
14．（2022七下·平湖期末）设m，n是正整数，且m>n≥2，若7m与7n的末两位数字相同，当m−n的值最小时，mn的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．（2024七下·江北期末）若 A=(2+1)22+124+128+1216+1+2， 则 A 的末位数字是 ( )
A．6B．7C．3D．5
四、点的坐标规律
16．（2026八上·宁波期末）如图，已知 A301,A232−12,A3−32−12,A402,As3−1,A4−3−1,A703, A8332−32,A9−332−32⋯⋯则点A2025的坐标是 ( )
A．−67532−6752B．67532−6752C．−3383−338D．3383−338
17．（2026·定海一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B(2,1)，将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1，绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（ ）
A．(11,0)B．(12,1)C．(14,2)D．(15,2)
18．（2025·杭州模拟） 如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是（ ）
A．(2024,0)B．(2023,1)C．(2025,2)D．(2025,1)
19．（2025八上·宁波期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，4)，以OA为斜边在y轴右侧作等腰直角△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为A2，以A1A2为斜边在右侧作等腰直角△A1A2A3，再过点A3作x轴的垂线，垂足为A4，以A3A4为斜边在右侧作等腰直角△按此规律继续作下去，则点A2025的纵坐标为( )
A．121011B．121012C．121013D．121014
20．（2025八上·慈溪期中） 如图放置的△OA1B,△A1B1A2,△A2B2A3,⋅⋅⋅,△AnBnAn+1，都是以A1,A2,A3,…,An为直角顶点的三角形，点A1,A2,A3,⋅⋅⋅,An都在直线y=3x上，OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=AnAn+1，点B在y轴上，OB=2,OB=A1B1=A2B2=⋅⋅⋅=AnBn，则点B2024的坐标是（ ）
A．(1012,10123)B．(2024,20243)
C．(20243,4048)D．(10123,3038)
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵2025÷3=675，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故答案为：B．
【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵1−2+3−4+5−6+7−⋯−18+19−20=−10，
∴这20数的和的个位数为0，
经过9次操作后剩下两个数，一个是−16，另一个一定是一个个位数，
∵−16+−4=−20或−16+6=−10，
∴另一个数是−4或6．
故选：C．
【分析】
由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是−16时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．
3．【答案】−x2026y2027
【解析】【解答】第1个式子：xy2=(−1)1+1xy1+1，
第2个式子：−x2y3=(−1)2+1x2y2+1，
第3个式子：x3y4=(−1)3+1x3y3+1，
⋯⋯
第n个式子：(−1)n+1xnyn+1，
∴第2026个代数式为(−1)2026+1x2026y2026+1=−x2026y2027．
故答案为：−x2026y2027.
【分析】根据所给式子的指数变化规律，得到第n个式子为(−1)n+1xnyn+1，解答即可．
4．【答案】1350
【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于2025÷3=675，
即前2025个数共有675组，
∴奇数有675×2=1350个．
故答案为：1350．
【分析】
首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.
5．【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：=n+n2+n+1=n2+2n+1=n+12,左边=右边，
∴这个结论是正确的
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×
从第三行开始，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6
36=5×6+6，故A不符合题意；
9×10+6=96，故B不符合题意；
14×15+6=216，216