数学探究—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份数学探究—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共14页。试卷主要包含了数与式探究主题，图形与几何探究主题，统计概率探究主题，函数探究主题等内容，欢迎下载使用。
1．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：
22＝1×24+0×23+1×22+1×21+0×20＝101102．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：
22＝2×32+1×31+1×30＝2113．
将二进制数10112化为三进制数为（ ）
A．1023B．1013C．1103D．123
2．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（ ）
A．−1或−4B．1或−4C．−1或4D．1或4
3．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy= ．
4． 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．
5．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1011)2就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当a≠0时，a0=1．如：3721=3×103+7×102+2×101+1×100；(421)7=4×72+2×71+1×70．
【解决问题】
（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：4×71+2=30），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天
（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如110112+11012=1010002；
写出110112−11012=________________
（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．
二、图形与几何探究主题
6． 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
7．赵老师在七年级“综合与实践——探寻传统益智玩具中的数学”主题活动中，带领同学们认识了中国古代益智玩具“七巧板”．活动过程中，同学们不仅动手拼图，还发现了部分图形之间的面积关系，如④和⑦的面积相等，①的面积是④的2倍等．图1 是完整的七巧板分割示意图，小华同学根据历史故事“昭陵六骏”创作的“人物骑马”拼图作品如图2所示，该作品中“人”由④⑦两小块拼成，且面积为32cm2，剩余部分拼成“马”，则“马”的面积为( )
A．64cm2B．80cm2C．96cm2D．112cm2
8．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积S3=2，则图中标有5的正方形的面积S5的值为 ．
9．综合与实践
七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱.下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题．
（1）“巧手”小组的同学准备了一张边长为a的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为b的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面ABCD中，边AB= ，边BC= （用含a、b的式子表示）．
（2）“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为x，宽为y，且宽y小于长x．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况）
（3）“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，如图4，由于摆放位置的不同，使得表面积不一样．他们发现乙种方式摆放的表面积更大，请计算乙种方式摆放的表面积比甲方式大多少？（用含x和y的式子表示）
10．综合与实践
【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为xcm的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积Vcm3有最大值？
【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示：
（1）【操作·分析】
①上表中，a=______，b=______；
②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）；
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
（2）【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3：
（3）【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到0.1cm3）．
三、统计概率探究主题
11．【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是x，y，z．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：x+y+z=1，x+y>z，x−y