阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析）

这是一份阅读理解（几何）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题练习（含解析），共6页。试卷主要包含了图形性质的阅读理解，图形变化的阅读理解，图形坐标的阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
2．阅读与思考：
下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务．
（1）任务一：按“方法1”求△ABC的面积．
（2）任务二：写出“方法2”的解答过程．
3．学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题：已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.
作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（II）分别以点M，N为圆心，大于0.5MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（III）画射线OC，则射线OC即为所求.
（1）如图1，射线OC就是∠AOB的角平分线的依据是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS.
（2）下面是小明同学给出的方法：
如图2，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB分别交于点E，F，连结CF，DE交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
你认为小明的这种作角平分线的方法（ ）
（3）在不限于尺规作图的条件下，小颖同学用三角板按下面方法画角平分线：
如图3，在已知∠AOB的边OA，OB上分别取OC=OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，两垂线相交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.
请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB.
4．阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|=(x1−x2)2+(y1−y2)2，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为x−a2+y−b2=r，变形可得：x−a2+y−b2=r2,我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆的标准方程x−12+y−22=25,则它的圆心是 ，半径是 .
（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为： ；
（3）若已知⊙C的标准方程为：x−22+y2=22,圆心为C，请判断点A（3，-1）与⊙C的位置关系并说明理由.
5．阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”.
例如：一个三角形三个内角的度数分别是 120°， 40°， 20°，这个三角形就是一个“3倍角三角形”.反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如图①，已知∠MON=60，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么?
（2）在(1)的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C(点C不与点O、点B重合)，若△AOC是“3倍角三角形"，求∠ACB的度数；
（3）如图②，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B，若△BCD是“3倍角三角形”，求∠B的度数.
6．阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务，
任务：
（1）问题1 中的∠ACB= °，
问题2中的依据是 .
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
7．阅读与思考
倍角三角形定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
【探究对象】倍角三角形的性质
【探究思路】从特殊到一般
【性质发现】
在△ABC中，若∠A=2∠B，则△ABC是倍角三角形，其中a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
如图1，当∠B=30°，b=1时，a2−b2=2，bc=________
若∠B=45°，b=1时，a2−b2=________，bc=________．
【性质猜想】如图2，a，b，c之间的数量关系是：________．
【证明猜想】如图3，延长CA到点D，使AD=AB，
……
任务1：请将“________”的内容补充完整；
任务2：结合图3，完成“证明猜想”；
【综合应用】
任务3：运用倍角三角形定义和性质，解决下面的问题：
如图4，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD=BD，若AC，AB，BC的长度恰好是三个连续的正整数，请求出BC的长．
8．【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
学习笔记：如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠ACB的对边分别记为a，b，c，锐角△ABC的面积记为S△ABC，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA=CDAC，
∴CD=AC⋅sinA，
∴S△ABC=AB⋅CD2=AB⋅AC⋅sinA2=cb⋅sinA2．
同理可得S△ABC=ac⋅sinB2，S△ABC=ab⋅sin∠ACB2，
即bc⋅sinA2=ac⋅sinB2=ab⋅sinC2．
由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半．
又∵abc≠0，根据等式的基本性质，将bc⋅sinA2=ac⋅sinB2=ab⋅sin∠ACB2，整理，得sinAa=sinBb=sin∠ACBc．
由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题．
如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距18海里．
（1）求△ADC的面积；
（2）求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号）
9．阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 ∠ABC,∠A+∠C=180∘,求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 ∠DAC=60∘时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ∠A+∠C=180∘,DA=DC,，过点D作 DE⟂BC,垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
10．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质.
（1）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系 .
（2）【探索延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=12BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
（3）【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为 海里.
11．【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则
点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。
（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.
（3）【拓展】如图（三），⊙O圆内接矩形ABCD内有一点P,PE⊥BC于点E，已知AD=2AB，且PA+PD+PE的最小值是52，求⊙O的半径。
12．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点A、点B，把河岸抽象为直线L，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B．
C． D．
（2）如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，AC=10米，BD=20米，CD=40米，牧童从A处把牛牵到河边L饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知a+b=8a>0,b>0，求a2+16+b2+4的最小值．（可结合图形）
13． 【阅读材料】
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. ∠B=90∘，点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， AB=8，AE=2，AECF=ABBC，当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为 ，CF 扫过的面积为 .
14．阅读理解：
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆．
（1）如图1，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=_____；
（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2，求AE的长；
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE=3，求EF的长．
二、图形变化的阅读理解
15．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究：
16．【问题提出】
已知正方形ABCD和正方形AEGF共顶点A，把正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定的度数，连接BG，探究BG的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形AEGF的边AF落在正方形ABCD的边AD上时，当AE=5,AB=7时，BG=_________；
（2）如图（2），当AE=2，正方形AEGF的边GF的中点刚好落在点D时，求BG的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在Rt△ACB中，设其中一个锐角∠A度数为α，
则sinα=ac,csα=bc，
∴sin2α+cs2α=a2c2+b2c2，
∵∠C=90°，根据勾股定理：在Rt△ACB中：a2+b2=c2，
∴sin2α+cs2α=a2+b2c2=c2c2=1
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为m45°d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P−3,5到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3