第二章 一元二次方程（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级下册+答案

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第二章 一元二次方程（举一反三讲义）全章题型归纳【新教材浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32349" 【培优篇】 PAGEREF _Toc32349 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc19871" 【题型1 一元二次方程的相关概念】 PAGEREF _Toc19871 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14539" 【题型2 一元二次方程的一般解法】 PAGEREF _Toc14539 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc25499" 【题型3 配方法的应用】 PAGEREF _Toc25499 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc30879" 【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】 PAGEREF _Toc30879 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc10726" 【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】 PAGEREF _Toc10726 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc29450" 【题型6 一元二次方程的实际应用】 PAGEREF _Toc29450 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc14053" 【拔尖篇】 PAGEREF _Toc14053 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc10987" 【题型7 利用根与系数的关系求值】 PAGEREF _Toc10987 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc30663" 【题型8 利用一元二次方程的根求取值范围】 PAGEREF _Toc30663 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc8028" 【题型9 一元二次方程解决动点问题】 PAGEREF _Toc8028 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc9045" 【题型10 一元二次方程与几何图形】 PAGEREF _Toc9045 \h 36知识点1 一元二次方程的定义1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.例如：1x2+x=2，x2+1，x2+y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.知识点2 一元二次方程的一般形式1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.3.一元二次方程的特殊形式.（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).知识点3 一元二次方程的解（根）1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0).知识点4 直接开平方法解一元二次方程1. 非负数a的算术平方根为a，平方根为±a．例如：144的算术平方根为144=12，平方根为±144=±12．2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如x2=25，解得x=±5．一般地，对于方程x2=p．3. 直接降次解一元二次方程的步骤(1)将方程化为x2=p或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；（2)直接开平方化为两个一元一次方程；（3)解两个一元一次方程得到原方程的解．知识点5 配方法解一元二次方程1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+a)2=b的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例)归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根．3. 解题依据：(a±b)2=a2±2ab+b2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则(x±b)2=x2±2bx+b2．知识点6 一元二次方程根的判别式1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，通过配方可得(x+b2a)2=b2−4ac4a2，则方程根的情况由b2−4ac 的符号决定．一般地，式子b2−4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即∆=b2−4ac．2. 根的判别式∆的符号与一元二次方程根的情况（1）∆>0⟺一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）∆=0⟺一元二次方程有两个相等的实数根；（3）∆2对所有a>0成立．将2b=4−a代入a2+5a+2b得：a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2)2.可得(a+2)2>22=4， 再判断即可．【详解】解：由a+2b=4可得b=4−a2，∴ a+b=a+4−a2=2a+4−a2=a+42.∵a>0，∴a+4>4， ∴a+42>42=2， 即a+b>2对所有a>0成立．将2b=4−a代入a2+5a+2b得：a2+5a+2b=a2+5a+(4−a)=a2+4a+4=(a+2)2.∵a>0， ∴a+2>2， ∴(a+2)2>22=4， 即a2+5a+2b>4对所有a>0成立． 故选：C．【变式3-3】（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，−x2+qx+c（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：（说明：a，b，m，n，k1，k2均为常数）有学生探究得到以下四个结论：①若p+q=12，则2m+6=n；②若p=q=2，则c=−83；③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p−4q=0；④若m−n=2，则c的值不可能是−5．其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①④/④①【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得p=a+2b,c=ab,q=b−a,m=−p4,k1=c−p28,n=q2,k2=c+q24，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．【详解】解：∵2x2+px+c=2x2+p2x+c=2x+p42+c−p28，(2x+a)(x+b)=2x2+a+2bx+ab，−x2+qx+c=−x2−qx+c=−x−q22+c+q24，(x+a)(−x+b)=−x2+b−ax+ab，∴p=a+2b,c=ab,q=b−a,m=−p4,k1=c−p28,n=q2,k2=c+q24，①∵m=−p4,n=q2，∴2m+6=2×−p4+6=−p2+6，∵p+q=12，∴q=12−p，∴q2=6−p2，∴2m+6=n；故正确；②∵p=q=2，∴a+2b=2b−a=2，解得：a=−23b=43，∴c=ab=−23×43=−89；故错误；③由题意可知：当2x2+px+c=0时，方程有两个相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=p2−8c=a+2b2−8ab=a−2b2=0，∴a=2b，∴p=4b,q=−b，∴p−4q=4b−4×−b=8b≠0；故错误；④当m−n=2，即−p4−q2=2，∴p+2q=−8，∴a+2b+2b−a=4b−a=−8，∴a=4b+8，∴c=ab=b4b+8=4b2+8b=4b+12−4，∵4b+12≥0，∴c=4b+12−4≥−4，所以c的值不可能是−5，说法正确；综上所述：正确的结论有①④；故答案为①④．【题型4 根的判别式与一元二次方程根的情况】【例4】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的一元二次方程x2−k+2x+k−1=0．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)已知2是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)k=−1，方程的另一个根为−1【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出k和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）．（1） 根的判别式应用：通过计算得：Δ=k2+8，利用平方数非负性，证明无论k取何值，Δ>0，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解．（2）方程根的定义与求解：已知根x=2，代入方程可求出k的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路．【详解】（1）证明：由题意得：a=1，b=−k+2，c=k−1，则：Δ=b2−4ac=−k+22−4×1×k−1=k2+8，∵无论k取何值，k2≥0，则k2+8>0，∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：将x=2代入方程可得4−2k+2+k−1=0，解得k=−1，当k=−1时，原方程为x2−x−2=0，解得：x1=2，x2=−1，即方程的另一个根为−1．【变式4-1】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）若关于x的一元二次方程2x2−4x−1+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（   ）A．6B．4C．2D．3【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac=0，可得出−8k+24=0，解之即可得出k的值．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2−4x−1+k=0有两个相等的实数根，∴Δ=(−4)2−4×2×(−1+k)=−8k+24=0，解得：k=3，故选：D．【变式4-2】（2025·河南焦作·二模）定义运算：a※b=a2+ab−2b2，例如4※3=42+4×3−2×32，则不解方程，判断方程x+1※2=0的根的情况是 ．【答案】有两个不等实数根【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键．先利用新定义得到x+12+2x+1−2×22=0，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可．【详解】解：∵x+1※2=0，∴x+12+2x+1−2×22=0，即x2+4x−5=0，∵a=1,b=4,c=−5∴Δ=b2−4ac=16+20=36>0∴方程x+1※2=0有两个不等实数根，故答案为：有两个不等实数根．【变式4-3】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=2ax0+b2，其中正确的（　　）A．只有①②B．只有①②④C．只有②③④D．只有②③【答案】B【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．【详解】解：若a+b+c=0，则方程有一个根为x=1，则b2−4ac≥0；故①正确；若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则：−4ac>0，则：ax2+bx+c=0的判别式为b2−4ac>0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；故②正确；若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，当c≠0时，ac+b+1=0，故③错误；若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则：x0=−b±b2−4ac2a，∴2ax0+b=±b2−4ac，∴b2−4ac=2ax0+b2；故④正确；故选B．【题型5 根的判别式与根与系数关系的综合】【例5】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x−m2−m=0(m>0)．（1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）；（2）当m=1，2，3，⋯，2025时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2，β2，α3，β3，⋯，α2025，β2025，则1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+⋯+1α2025+1β2025的值为 ．【答案】 两个不相等实根 20251013【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等．熟记相关结论是解题关键．（1）根据根的判别式即可进行判断；（2）根据根与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=ca，可得：1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m2+m，进一步可寻找1α2025+1β2025的规律，即可求解．【详解】解：（1）∵Δ=22−4×1×(−m2−m)=(2m+1)2+3>0，∴故该方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．（2）设方程x2+2x−m2−m=0(m>0)的两个根为：x1,x2，则x1+x2=−ba=−2，x1x2=ca=−m2−m，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m2+m=2m(m+1)，∴1α1+1β1=21×2,1α2+1β2=22×3,1α3+1β3=23×4⋯∴1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+⋯+1α2025+1β2025=21×2+22×3+23×4+⋯+22025×2026=2×(11×2+12×3+13×4+⋯+12025×2026)=2×(1−12+12−13+13−14+⋯+12025−12026)=2×20252026=20251013故答案为20251013．【变式5-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根x1，x2，且满足x1x2+x1+x2=m2+6，则m=（）A．−3或1B．1C．3或−1D．−1【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．根据一元二次方程根与系数的关系得到m2+2m−3=0，解得m1=−3，m2=1，结合根的判别式作答即可．【详解】解：由根与系数关系可得x1+x2=4，x1x2=−2m+5，代入x1x2+x1+x2=m2+6得−2m+5+4=m2+6，即m2+2m−3=0解得：m1=−3，m2=1∵原方程有实数根，∴Δ=(−4)2−4⋅1⋅−2m+5=8m−4≥0，解得m≥0.5因此m=−3不满足，舍去，综上，m=1，故选：B．【变式5-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1，x2，若x2=2x1，则4b−3ac的最大值是（   ）A．1B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=−ba，根据x2=2x1得到3x1=−ba，推出x1=−b3a，根据x1x2=ca推出3ac=2b23，代入4b−3ac，推出4b−3ac的最大值是6．此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=−ba，x1x2=ca，∵x2=2x1，∴3x1=−ba，2x12=ca，∴x1=−b3a，∴2−b3a2=ca，∴2b29a2=ca，∴3ac=2b23，∴4b−3ac=4b−2b23=−23(b−3)2+6，∵−232或m=1/m=1或m>2【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．分1−m2=0、1−m2≠0两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可．【详解】解：当1−m2=0时，m=±1．当m=1时，可得2x−1=0，解得：x=12，符合题意；当m=−1时，可得−2x−1=0，解得：x=−12，不符合题意；当1−m2≠0时， 1−m2x2+2mx−1=0，则1+mx−11−mx+1=0，∴x1=11+m,x2=−11−m．∵关于x的方程1−m2x2+2mx−1=0的所有根都是比1小的正实数，∴02或m=1．故答案为：m>2或m=1．【变式8-1】（2025·福建三明·一模）已知方程x−2x2−4x+a=0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数a的取值范围是（   ）A．1