北师大版八年级下册数学第五章单元测试（含答案含解析）

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第五章 分式与分式方程单元测试卷一、单选题1．下列各式：中，属于分式的有（    ）个．A．1B．2C．3D．42．若分式有意义，则x的取值范围是（    ）A．B．C．D．且3．解分式方程时，去分母可得（   ）A．B．C．D．4．下列分式是最简分式的是（    ）A．B．C．D．5．分式中，当时，下列结论正确的是（    ）A．分式的值为零B．分式无意义C．若时，分式的值为零D．若时，分式的值为零6．若关于的分式方程无解，则的值为（    ）A．B．0C．1D．7．市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　）A．B．C．D．8．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（   ）A．且B．C．且D．二、填空题9．当 = 时，式子的值为0．10．分式和的最简公分母是 ．11．若表示一个负整数，则整数 ．12．方程的解为 ．13．若，则代数式的值是 ．14．若解分式方程产生增根，则 ．15．一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是 （写出一个即可）．16．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ．17．若实数A、B使得恒成立，则 ， ．18．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 三、解答题19．不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数：(1)；(2)．20．计算：(1)(2)；(3)；(4)．21．解分式方程：(1)．(2)．22．先化简，再求值：，其中．23．观察下列等式．第1个等式：．第2个等式：． 第3个等式：．第4个等式：． …(1)按上面的规律，第6个等式为 ．(2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示， 为正整数），并运用分式的有关知识证明你的结论．24．小张在天猫购买某种商品若干件共花了120元，后来发现完全相同的产品在拼多多上购买，每件便宜2元，这样花120元在拼多多购买这种商品可以比在天猫买了3件．请问小张在天猫购买了多少件这种商品？25．已知关于的分式方程．(1)若这个分式方程的解是，求的值；(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．26．已知：．(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；(2)设．①代入，化简得________；②若是正整数，则整数的值为_______．27．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m为何值时，方程有增根．探究2：m为何值时，方程的根是．探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．参考答案1．B【分析】根据分式的定义对各选项进行分析即可．【详解】解：中，分母不含字母，不属于分式，中，分母含有字母，属于分式，共2个，故选：B．【点睛】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．2．A【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使分式有意义，则分母不等于零．3．B【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．【详解】解：去分母得：，故选：B．4．C【分析】化简结果中分子分母中没有公因式，这样的分式称为最简分式，根据概念，即可得到答案．【详解】A．，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．分子分母中没有公因式，因此是最简分式，故选项符合题意；D．，故选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了最简分式的概念，分子分母没有公因式是本题的关键点．5．D【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零．根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果．【详解】当时， ，即，解得： ，当，时，分式的值为零故选：D．6．D【分析】本题考查分式方程无解问题，将方程转化为整式方程，求出分式的分母为0时的的值，代入整式方程求出的值即可．【详解】解：方程去分母，得：，∵方程无解，∴整式方程无解或方程有增根，∴，∴，把代入，得：，∴；故选D．7．A【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务列出方程即可．【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意得，故选：A．【点睛】本题考查了列分式方程，读懂题意，找出对应的关系是解题的关键．8．A【分析】此题考查了分式方程的解法．解分式方程得到 ，根据解是非负数且分母不为零的条件，得到的取值范围即可．【详解】解：，且 ，∴ 方程化为 。两边同乘得到，，解得，∵ 解是非负数，∴ ，即 ，∴ ，又∵，∴，∴n的取值范围是且，故选： A9．【分析】根据分式值为0的条件、分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由题意得：，解得，又因为，即，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的值为0、分式的分母不能为0，熟练掌握分式值为0的条件是解题关键．10．【分析】根据最简公分母的定义进行解答即可．【详解】解：分式和的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是理解最简公分母的定义，先找分母系数的最小公倍数，再找分母所含公共字母的最高次幂，这些数字字母的乘积就是最简公分母．11．或或【分析】由表示一个负整数，m为整数，可得或或，进而可得答案．【详解】解：因为表示一个负整数，m为整数，所以或或，所以或或；故答案为：或或．【点睛】本题考查了分式为整数时相关参数的求解，正确理解题意，得出是4的负约数是解题关键．12．【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可得到答案．【详解】解：去分母得，解得，经检验是原方程的解，∴原方程的解为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．13．【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．【详解】原式=∵，∴，∴原式=．故答案为：．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．14．【分析】先将分式方程去分母得到整式方程，再根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【详解】解：分式方程去分母得：．由分式方程有增根，得到，解得：，把代入整式方程得：．故答案为：-3．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．（答案不唯一）【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．根据分式值为的条件，分子为且分母不为，因此分子需包含因式；再根据分式值为的条件，代入建立方程求解分母．【详解】解：设分式为 ，其中 和 是关于 的多项式，由 时分式值为，得 且 ，故 含有因式 ，令 ，由 时分式值为-2，得 ，即 ，解得 ，故可设 ，验证当 时，，满足条件，因此分式可为 ．故答案为：（答案不唯一）．16． 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案．【详解】解：方程为：，解为，故填：，．【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．17． 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据分式相等的条件即可求出A、B的值．【详解】解：∵，∴，．∴，．故答案为：，．【点睛】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．18．或或【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键．先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值．【详解】原式== = ==，设 （为整数），则，整理得：，∴，令（为整数且），则，由于为整数，需为整数，故为的因数：，，代入求：时，；时，；时，；时，（舍去，因分母为零）；时，（舍去，因分母为零）；时，（舍去，因分母为零）综上，的所有取值为：，，，故答案为：，，．19．(1)(2)【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可；（2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键．20．(1)0(2)(3)(4)【分析】（1）通分化成同分母分式进行加法运算即可；（2）先计算括号内的减法，再计算除法即可；（3）先计算除法，再计算减法即可；（4）按照先乘除后加减进行运算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．21．(1)；(2)分式方程无解．【分析】（1）去分母，解方程，检验得到方程的解；（2）去分母，解方程，检验得到方程无解．【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，当时，是方程的解；（2），，去分母得：，解得：，当时，原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程；解题的关键是正确检验．22．，【分析】本题考查分式的化简求值，将多项式进行因式分解，除法变乘法，进行约分化简，再代值计算即可．【详解】解：原式；当时，原式．23．(1)(2)，证明见解析【分析】此题考查分式的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第n个式子为．（2）由（1）的规律发现第n个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．【详解】（1）解：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；……由此规律可得，第6个等式为，即．故答案为：．（2）由（1）可得，第个等式为．证明：等式右边等式左边，∴等式成立．24．12件【分析】设小张在天猫购买了x件商品，根据题意列出方程，解之即可．【详解】解：设小张在天猫购买了x件商品，由题意得：，去分母得：，∴，∴，解得：，（舍去），，经检验是方程得解，且符合题意，答：小张在天猫购买了12件这种商品．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．25．(1)(2)且【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．（1）将代入方程中求解即可；（2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件．【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是，∴，解得；（2）解：去分母，得，解方程，得，∵分式方程的解是非负数，∴且，解得：且．26．(1)，理由见解析(2)①；0或1或3【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键．（1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可；（2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3．【详解】（1）当时，．理由如下：∵，∴．∵，∴，．∴．∴．∴．（2）①依题意，得：．故答案为：．②∵ ，且，x，y都是整数，∴y可以取1，2，3，4．当时，，解得，符合；当时，，解得，符合 ；当时，，解得，不合，舍去；当时，，解得，符合．综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．故答案为：0或1或327．探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．【详解】解：探究1：方程两边都乘，得∵原方程有增根，∴最简公分母，解得，当时，，故m的值是．探究2：方程两边都乘，得∵原方程的根为，，探究3：由（1）（2）得，方程的三个对应根为且，∴，=15-8b，探究4：，，整理得，故答案为．【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．