沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）第23章 四边形23.3 矩形、菱形与正方形随堂练习题

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一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
注意：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
证明：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
如图23-3-19,已知：四边形ABCD是一个正方形，对角线 AC 、BD相交于点0.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
∵ 四边形ABCD是一个正方形，
∴AC=BD (矩形的两条对角线相等),
OA=OC=AC,OB=OD=AD(平行四边形的对角线相互平分),
∴ OA=OC=OB=OD.
∵ 四边ABCD是一个正方形，
∴ AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直).
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°.
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形.
三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
题型1：正方形的性质辨析
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论．
【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等），
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：B．
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．对角线互相平分
C．对角线相等D．四条边相等
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，根据矩形的性质和正方形的性质即可求解．
【详解】解：矩形的性质：两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角；
正方形的性质：四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角，
正方形的四边都相等，是矩形不一定具有的，
故选：D．
3．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分内角
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、对角线相等，只有矩形和正方形共有的性质，该选项不合题意；
、对角线互相垂直，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意；
、对角线互相平分，平行四边形，矩形，菱形，正方形都共有的性质，该选项符合题意；
、对角线平分内角，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意；
故选：．
4．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质．
矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，而其他性质如相等、垂直或平分一组对角并非三者都具有．
【详解】解：∵矩形的对角线互相平分，菱形的对角线互相平分，正方形的对角线互相平分，
∴三者都具有对角线互相平分的性质．
故选：B．
5．如图，正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，利用正方形的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、根据正方形的性质可知，故A选项正确，不符合题意；
B、根据正方形的性质可知，故B选项不正确，符合题意；
C、根据正方形的性质可知，故C选项正确，不符合题意；
D、根据正方形的性质可知，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
题型2：根据正方形的性质求长度Ⅰ
6．若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（ ）
A．1B．3C．D．4
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据正方形的性质得出边长相等，四个内角都是直角，正方形的对角线长为，即可作答．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴该正方形的对角线长为，
故选：C．
7．正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解．
【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为，
∴另一条对角线长也为．
故选：C．
8．若一个正方形的对角线长为，则它的周长为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握利用勾股定理进行计算．根据对角线长求出边长即可求周长．
【详解】解：设正方形的边长为a，
由勾股定理知：，
∴，
则周长为，
故选：C．
9．正方形的对角线长度为2，则其边长为（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键．
根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
【详解】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线为2，
∴由勾股定理得：，
解得：（负值舍去），
故选：D．
题型3：根据正方形的性质求长度Ⅱ
10．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，由正方形的性质和勾股定理可求出的长，进而得到的长，再由线段的和差关系可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．

【答案】5
【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解．
【详解】解：由题意得：平分
∵点P到的距离，
∴点P到直线的距离为5 cm．
故答案为：5
12．如图，在正方形中，，对角线交于点，E是延长线上一点，且，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得，再根据勾股定理算出，因为，所以，再在中，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵正方形对角线互相平分且相等，
∴
∴，
∴，
则，
∵，
∴在中，，
故答案为：．
13．如图，点在正方形的对角线上，于点，于点，连接，若，则的长为
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明得到，再证明四边形是矩形即可求证．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
题型4：根据正方形的性质求角度Ⅰ
14．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用正方形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可．
【详解】解：∵是正方形，
∴，
∴，
故答案为：．
16．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ．
【答案】22.5°/22.5度
【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
题型5：根据正方形的性质求角度Ⅱ
17．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．如图，在正方形外侧，作等边，则为（ ）
A．75°B．55°C．15°D．25°
【答案】A
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
∴，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
19．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，由与为等腰三角形是解决本题的关键 ．
由四边形是正方形，是等边三角形，可得，，则可得与为等腰三角形，再根据三角形的内角和为即可求解 ．
【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，，
∴与为等腰三角形，且，
∴，
∴．
故答案为： ．
20．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解．本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
．
故选：B．
21．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键．
根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
22．如图，点E在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和定理，由正方形的性质并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
23．如图，正方形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过证明得出是等腰直角三角形是解题的关键．
由正方形的性质可得，进而可得再结合，利用可证得，于是可得，，进而可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由可得可得，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，，
，
，
又，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
题型6：与正方形有关的面积问题
24．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算．
【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积，
∴．
故选：A．
25．如图，在正方形中，，E，F分别为，边上的点，且，连接，交于点G，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、运用等积法求出的长是解题的关键．
先结合正方形的性质证明，得出，运用勾股定理算出，等面积法算出，运用勾股定理算出，最后把数值代入四边形的面积梯形的面积进行计算，即可作答．
【详解】解：四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
则，
∴，
则四边形的面积梯形的面积
．
故答案为：．
26．如图，正方形与正方形并排摆放（即、、三点共线），连接，．已知正方形的面积为4，正方形的面积为2，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形面积计算公式可得，再根据列式求解即可．
【详解】解；∵正方形的面积为4，正方形的面积为2，
∴正方形的边长为2，正方形的边长为，
∴，
∴
，
故答案为：．
27．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为 ．
【答案】49
【分析】延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】
如图，延长FE交AB于点M，则，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：49．
【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
28．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（ ）

A．0.5B．1C．2D．无法确定
【答案】B
【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，
∴∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△COF和△DOE中，
，
∴△COF≌△DOE（ASA），
∴S△COF＝S△DOE，
∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换．
29．如图，点A在上，点G在上，矩形的边长分别是4和6，则正方形的面积为 ．

【答案】24
【分析】本题主要考查特殊四边形面积的求解，根据同底同高判断正方形的面积等于的面积的2倍，矩形的面积等于的面积的2倍，从而得出正方形的面积等于矩形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：24．
30．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵小正方形面积为4，
∴，
∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，
∴，
∴阴影部分面积为，
故选：D．
题型7：正方形的判定；添加一个条件成为正方形
31．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是正方形
B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意；
故选：D．
32．如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．根据正方形的判定定理即可解答．
【详解】解：在平行四边形中，，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形是正方形．
A．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
B．当时，四边形一定不是正方形，选项错误，不符合题意；
C．当时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形是正方形，选项正确，符合题意；
D．当时，四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意；
故选：C．
33．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．，，B．，
C．，D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，故本选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意．
故选：C．
34．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形和正方形的判定，解题的关键是先判定四边形为矩形，再根据正方形的判定条件添加合适条件．
先根据已知角的条件判定四边形是矩形，再分析各选项能否使矩形变为正方形即可．
【详解】解：
∴四边形是矩形，
∴当时，四边形是正方形，
故选：D．
35．菱形的对角线、相交于，下列条件能判断菱形是正方形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，据此结合菱形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，则，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意；
B、，可得，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意；
C、，本身是菱形具有的性质，此时并不能证明菱形是正方形，不符合题意；
D、，由菱形的性质可得，则，则，能证明菱形是正方形，符合题意；
故选：D．
题型8：特殊平行四边形的判定
36．下列说法正确的是（ ）．
A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
【答案】C
【分析】本题考查特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定．熟悉特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的判定定理是解题的关键．
根据菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，但有一组邻边相等的四边形不一定为菱形，所以不符合题意；
选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，所以不符合题意；
选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，所以不符合题意．
故选：．
37．下列判断错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的矩形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定定理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法是不正确的，符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法是正确的，不符合题意；
C、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法是正确的，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是正确的，不符合题意；
故选：A．
38．如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）．
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是正方形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，掌握好特殊平行四边形的判定定理是解题关键．
根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：对于A，对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不满足题意；
对于B，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，满足题意；
对于C，邻边相等的平行四边形是菱形，故C正确，不满足题意；
对于D，一个角为直角的平行四边形是矩形，故D正确，不满足题意．
故选：B．
39．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当时，它是菱形；
②时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的判定定理，熟练掌握其判定定理是解题的关键．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断各结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
①当时，邻边相等，∴它是菱形，正确；
②当时，对角线互相垂直，∴它是菱形，正确；
③当时，有一个角是直角，∴它是矩形，正确；
④当时，对角线相等，∴它是矩形，但不一定是正方形，错误。
∴正确的有①②③，共3个
故选：B．
题型9：特殊平行四边形的关系图的应用
40．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①，对角相等B．②，对角线互相垂直
C．③，有一组邻边相等D．④，有一个角是直角
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果．
【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意；
B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；
故选：A．
41．我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线垂直且相等D．对角线互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的判定方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
故选：．
42．如图的知识结构图中①、②、③、④表示需要添加的条件，则下列描述正确的是（ ）
A．①可表示一个角是直角
B．②可表示对角线互相平分、垂直
C．③可表示一组邻边相等
D．①可表示对角线互相平分
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形和正方形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B不符合题意；
C、有一个角是直角的菱形是正方形，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
题型10：解答证明题
43．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且为的平分线，求证：平行四边形为正方形．

【答案】详见解析
【分析】先证明，则平行四边形为矩形，再证明，即可得到结论．
【详解】证明：四边形为平行四边行，
，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
平行四边形为矩形，
为的平分线，
，
∴，
，
∴平行四边形为正方形
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
44．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:．
【答案】证明见解析．
【分析】由正方形的性质结合，，证明即可得到答案．
【详解】解：是正方形，


，，



在与中，


【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
45．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，

∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
46．如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据四边形是正方形，得，，又因为，故，得，即可作答．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴．
47．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形．
(2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形．
(3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
（1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形；
（2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形；
（3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形．
【详解】（1）解：四边形即为所求作；
（2）解：四边形即为所求作；
（3）解：四边形即为所求作．
48．如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，，连接，，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，进而证明结论；
（2）设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得．
．
49．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且．
(1)请你判断的形状，并说明理由．
(2)若此正方形的面积为16，求的长．
【答案】(1)为直角三角形．理由见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力．
（1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定；
（2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长．
【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下：
设正方形的边长为，则．
是的中点，
．
在正方形中，
在中，；
在中，；
在中，，
，
为直角三角形；
（2）因为正方形的面积为16，
，
，
（负值已舍去）．
50．综合与实践
如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿折叠得到，点的对应点落在正方形内，射线交边于点．射线交正方形的边于点．
【特例感知】
（1）如图1，当，两点重合时，的长为_____．
【问题探究】
（2）如图2，当为线段的中点时．
①求证：．
②求的长．
【拓展延伸】
（3）当为线段的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②的长为．（3）的长为2或．
【分析】此题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
（1）根据勾股定理求出 ，由折叠得 ，即可求出 的长；
（2）①连接，由折叠得，证明，即可证得．
②连接，证明，得到，设，则，由勾股定理得到，代入得，求出，即可；
（3）分两种情况，①当点E为邻近点B的三等分点时，②当点E为邻近点C的三等分点时，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
当，两点重合时，，
由折叠得，
∴，
故答案为：；
（2）①连接，
由折叠得，
∴，
∴，
∴．
②连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴
解得，
∴的长为．
（3）①当点E为邻近点B的三等分点时，则，
连接，
由（2）②得，
∴，
设，则，
∵，
∴
解得，
即；
②当点E为邻近点C的三等分点时，则，
可得，
设，则，
∵，
∴
解得，
即；
综上，的长为2或．
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．对角线互相平分
C．对角相等D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
【详解】解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形、正方形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．
2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对边平行
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意；
B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意；
C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相
D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意；
故选：D．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．22.5°B．25°C．23°D．20°
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，
则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
【点睛】考点：正方形的性质．
4．如图，已知四边形是平行四边形，添加以下条件，不能判定四边形是正方形的是（ ）
A．，B．，
C． ，D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据正方形的判定方法逐一判断即可求解．
【详解】∵是平行四边形，∴添加以下条件，
A. ，，能判定四边形是正方形；
B. ，，能判定四边形是正方形；
C. ，，能判定四边形是正方形；
D. ，，只能判定四边形是菱形，不能判定四边形是正方形．
故选：D．
5．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴．
故选：C．
6．如图，为正方形的对角线上一点，四边形为矩形，若正方形的边长为，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，先根据矩形的性质可得，再根据正方形的性质可得，从而得出，进一步可求出的值．
【详解】解：为正方形的对角线上一点，
．
四边形为矩形，
，
．
．
∴，
．
故选A．
二、填空题
7．如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度．
【答案】
【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键．
根据正方形的性质得，由，得，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
故答案为：．
8．如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，由正方形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：于点，于点，
∴，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴在和中，
，
，
， ，
，
故答案为：．
9．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
同理可得，
∴，
故答案为：．
10．如图，边长为4和8的两个正方形和并排放在一起，连接并延长交于点T，交于点P，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定；
先根据正方形的性质证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】∵四边形和是边长为4和8的两个正方形
∴，
∴，
∴，
在中，，解得：
故答案为：．
11．如图，在正方形中，，是边上一点，，且，则的长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用．延长至F，使，连接，由条件可以得出，就可以得出，就有，通过证明就可以得出，在中，由勾股定理就可以得出的长．
【详解】解：延长至F，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴．
设，则．
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
故答案为：10．
12．如图，四边形为正方形，射线上有一动点（不与点重合），点，关于直线对称，连接．当是等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当；第二种情况是当；第三种情况是当，画出图形，利用对称的性质，等边三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：①如图，当，且点E在线段上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，

由对称的性质知，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当，且点E在线段的延长线上时，过点F作的垂线，分别交于点M，N，

同理，为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
③如图3，当，则点F在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，

同理，为等边三角形，
∴，
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．
三、解答题
13．如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定．
先根据正方形的性质推得，，，由此证明后即可根据全等三角形的性质得证．
【详解】证：正方形中，，，
又，分别是正方形的边，的中点，
，
在和中，
，
，
．
14．如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
【答案】的长为．
【分析】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
由正方形的性质，得出线段的长度，根据勾股定理可得线段之间的数量关系，再由线段垂直平分线的性质建立等量关系，即可求得的长．
【详解】解：∵在边长为的正方形中，点为边的中点，
∴，，，
如图，连接，，设，则，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
答：的长为．
15．正方形中，为上一点，为延伸线上一点，且．
(1)求证：；
(2)你认为与有怎样的位置关系？说明原因．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据正方形得出，，进而得到，证明，即可得到结论；
（2），延长交于点，证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下，
延长交于点，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
．
16．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA=CB，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE=2CD；
（2）当∠ACB=90°时，求证：四边形ACED是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是菱形．求得BC=CD．得到BE=2BC，于是得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BE，求得AD=CE，AD∥CE，推出平行四边形ACED是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=CD．
又∵CE=BC，
∴BE=2BC，
∴BE=2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BE，
又∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB=90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA=CB，
∴CA=CE，
∴矩形ACED是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
17．如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．

(1)当时，求的面积；
(2)求证：；
(3)连接，当时，求的长．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题；
（2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论；
（3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
如图1，作于点，延长，延长线交于点，
，
四边形是矩形，
，
是的外角的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积；

（2）证明：如图2，延长，交于点，
是的外角的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
作交于M，
则四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
；

（3）解：如图3，由（2）知：，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
设，则，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
整理得，
，，
（舍去）或．
的长为．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键．