数学沪教版（五四制）（2024）24.2 两点间的距离公式课时训练

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补知识点:24.1.3物体位置的坐标表示
在实际生活中，我们还经常需要建立合适的平面直角坐标系，用坐标来描述物体的位置.
图24- 1- 13是学校与欢欢家位置的示意图，图中小方格的边长是100m.请在图中建立平面直角坐标系，并写出学校与欢欢家的坐标.
某游乐园的游览简图如图24-1-14所示，请建立一个平面直角坐标系，并用坐标表示各个主题园的位置.
①建系：如图24-1-15,现以“幻方桥”所在位置为原点，分别以正东、正北方向为 x轴、y轴正方向，规定简图中小方格的边长代表一个单位长度，建立平面直角坐标系.
②描点:“幻方桥”的坐标为(0,0),“冒险屋”的坐标为(9,3), “藏宝林”的坐标为(8,8),“寒暑院”的坐标为(-5,5),“乐游园”的坐标为 (-7,-3).
讨论：你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗?
两点间的距离公式
对于平面直角坐标系中的两点A(x₁,y₁) 、B(x₂,y2), 如何计算这两点间的距离呢?
1.先分析特殊情形：
当AB平行于x轴或y轴时，易得，
①当AB平行于x轴时，；
②当AB平行于y轴时，；
当A、B两点其中一点为原点时（即A为原点或B为原点）
③当A为原点时，
当B为为原点时，
由③可知，勾股定理在几何与平面直角坐标系中长度的有关运算中起着重要的桥梁作用，而如何构建直角三角形是我们需要考虑的问题，显然，在平面直角坐标系中任意一点分别向x轴与y轴作垂线，可以构建直角三角形，而且便于用坐标运算表示长度，那么即回到情形①②。
2.再分析一般情形
如图24-2-1,过点A 作平行于y轴的直线， 过点B作平行于x 轴的直线，两直线相交于点C. 所以点C的坐标是(x₁,y₂),AC=|y₁-y₂|, BC=|x₁—x₂|.
因为x轴、y轴互相垂直，所以∠ACB=90° .
在Rt△ABC中，因为AB²=AC²+BC², 所以
两点间的距离公式 对于平面直角坐标系中的两点A(x1,y₁)、B(x₂,y2), 其距离为
两点间的距离公式的应用
例：在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(-1,4)、(-4,-2)、(2,-5).
(1)△ABC的三条边长分别为多少?
(2)试判断△ABC的形状.
解：(1)因为点A 、B 、C 的坐标分别为(-1,4)、(-4,-2)、(2,-5), 由两点间的距离公式，可得
因为AB=,BC=,
所以AB=BC. 所以△ABC是等腰三角形.
由AB²+BC²=45+45=90,AC²=90,可得AB²+BC²=AC²,
所以△ABC是直角三角形.
所以△ABC是等腰直角三角形.
题型1：求两点间的距离
1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（ ）．
A．1B．C．D．2
2．点（3,-1）到原点的距离为（ ）
A．B．3C．1D．
3．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ．
4．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
题型2：根据两点间的距离求坐标或参数
5．在x轴上，且到原点的距离为2的点的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（-2，0）C．（2，0）或（-2，0）D．（0，2）
6．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ．
7．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ．
题型3：两点间的距离公式的应用
8．已知 三个顶点的坐标为 ，，，则三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
9．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ．
10．已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（ ）
A．是直角三角形的顶点B．在同一条直线上
C．是等边三角形的顶点D．以上都不对
题型4：几何问题
11．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ．
12．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为，到原点的距离为，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13．已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ．
题型5：满足条件的个数问题
14．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个．
15．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ．
16．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（ ）个．
A．4B．6C．8D．12
题型6：最值问题
17．代数式的最小值为 ．
18．已知、、，在内求一点．使最小，则点的坐标是 ．
题型7：解答题
19．已知点是轴上的一点，它与点之间的距离是15，求点的坐标．
20．在平面直角坐标平面内，已知点在轴上，它到点和点的距离相等，求点的坐标．
21．已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状．
22．点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标．
23．在下面的平面直角坐标系中先描出、、，然后顺次连接三点，判断的形状，并且求其面积．
24．如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．
25．在平面直角坐标系中，为原点．
（1）点的坐标为，求线段的长；
（2）点的坐标为，点的坐标为，求线段的长．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣x，2x）到原点O的距离等于5，则x的值是（ ）
A．±1B．1C．D．±
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．B．C．D．
3．P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“直角距离”，记作d（P1，P2）．比如：点P（2，﹣4），Q（1，0），则d（P，Q）=|2﹣1|+|﹣4﹣0|=5，已知Q（2，1），动点P（x，y）满足d（P，Q）=3，且x、y均为整数，则满足条件的点P有（ ）个．
A．4B．8C．10D．12
二、填空题
4．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ．
5．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点A（3，4）的距离等于5的点有 个．
6．一个机器人从点出发，向正东方向走3米到点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米，达到点．按如此规律走下去，若机器人走到点时，离起点的距离 米．
三、解答题
7．列方程解应用题：
如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？
8．在平面直角坐标系中，已知点，点，点是轴上一点，若是等腰三角形，试求点的坐标．
9．如图，已知点A的坐标为(－3，－4)，点B的坐标为(5，0)．

(1)求证：OA＝OB.
(2)求△AOB的面积．
(3)求原点O到AB的距离．