八年级下册（2024）25.2 正比例函数同步训练题

这是一份八年级下册（2024）25.2 正比例函数同步训练题，文件包含252正比例函数原卷版docx、252正比例函数解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
一、正比例函数的概念
1.变量之间的正比例关系
举例：
（1）设某种水果的单价为25元/千克，售出的数量为x千克，销售金额为y元，于是y=25x或；
（2）一个正方形的周长随着边长的变化而变化.设正方形的边长为x(x>0),则其周长为y=4x, 也可表示为
变量y与变量x成正比例：
如果变量y与变量x 的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例.用数学式子表示为 或y=kx, 其中k是一个不等于0的常数.
2.正比例函数
变量y与变量x成正比例，说明y是x的一个函数.
形如y=kx(k是常数，k≠0) 的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数.
确定了比例系数k, 就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0).
3.待定系数法
例1：已知y 是 x 的正比例函数，当x=3 时函数值为24.
(1)求该函数的表达式；
(2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x
解：(1)因为y 是 x 的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0).
根据题意，3k=24, 解得 k=8.
所以该函数的表达式为y=8x.
( 2 ) 由y=8x, 知
当y=-5时，-5=8x, 解得；
当 y=0时，0=8x, 解得x=0；
当 y=3时，3=8x, 解得
这里求正比例函数 表达式的方法是待定系数法.表达式中k 是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值.
正比例函数的图像与性质
1.作正比例函数的图像
已知正比例函数y=2x.
列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表25-4.
(2)描点：分别以所取 x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-2-1(1)所示，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上.
(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-2-1(2)所示.
注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x; 同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x 、y, 以(x,y) 为坐标的点都在所画的直线上.因此，函数y=2x的图像就是这条直线.
2.正比例函数的特点
如图25-2-2所示为y=-2x的图像；
观察可见，函数y=2x与y=-2x的图像都经过原点.实际上，原点O的坐标(0,0)满足这两个函数的表达式.
我们知道，两点确定一条直线.例如，函数y=2x的图像，可以由原点 O(0,0) 和点(1,2)确定；函数 y=-2x 的图像可以由原点O(0,0) 和 点(1,—2)确定.
①正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y=kx.
②比例系数的符号决定正比例函数y=kx(k≠0)所经过的象限
当k＞0时，直线y=kx经过第一、三象限，；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限。
3.正比例函数的性质
通过观察，可以归纳正比例函数y=kx(k≠0) 有如下性质：
(1)当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大；
(2)当k”表示，，的大小关系 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
直接根据正比例函数的性质判断a、b、c的大小即可解答．
【详解】解：由图象可得，，
∴．
故答案为：．
题型10：根据正比例关系求函数表达式
36．已知y与成正比例，当时；当时， ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，求函数值等知识﹒根据题意设，根据当时求出，把代入即可求解﹒
【详解】解：∵y与成正比例，
∴设，
当时，，
∴，
解得，
∴函数关系式为，
当时，，
故答案为：﹒
37．已知与成正比例，比例系数是，则与的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
即与的函数关系式是，
故答案为：．
题型11：最值、取值范围问题
38．如图，已知正比例函数经过点P，若，则y的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质已经函数增减性的判断，属于基础题．
先根据正比例函数的性质求出函数表达式，再结合的取值范围求出的取值范围．
【详解】解：正比例函数的表达式为，
因为正比例函数经过点，
将点代入中，可得：，
解得，
所以，正比例函数的表达式为，
已知，因为，
所以随的增大而减小．
当时，；
当时，．
所以当时，．
故答案为：．
39．当时，函数的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据的，得出y随x的增大而减小，又结合，故把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，的，
∴y随x的增大而减小，
依题意，把代入得，
故答案为：4．
40．当时，函数的最大值与最小值的和为 ．
【答案】2
【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可．
【详解】解：，
y随x的增大而减小，
当时，函数有最大值，最大值为；
当时，函数有最小值，最小值为；
当时，函数的最大值与最小值的和为．
故答案为：2．
题型12：解答题
41．已知y与x成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点在这个函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值：
（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可；
（2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
∴．
42．已知y是x的正比例函数，且当时，．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可得；
（2）由正比例函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是，
∵当时，，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式是；
（2）解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
43．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质．可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案．
【详解】解：与成正比例，
设，
当时，，
，
解得：，
，
整理得：，
与之间的函数关系式为：．
44．已知函数是正比例函数．
(1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值；
（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值．
【详解】（1）解：∵函数是正比例函数，
∴，
解得：．
∵函数关系式中y随x的增大而减小，
∴，
∴，
∴．
（2）∵函数的图象过第一、三象限，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．
45．已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)当时，求y的值；
(3)若点，都在该函数的图象上，且，试判断，的大小关系．
【答案】(1)
(2)12
(3)
【分析】本题考查正比例函数的图象和性质：
（1）设，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式进行求解即可；
（3）根据正比例函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设：，
∵时，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴当时，；
（3）∵，，
∴随的增大而增大，
∵点，都在该函数的图象上，且，
∴．
46．已知与成正比例，并且时，．
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设与之间的函数关系式为：，当时，，代入求出的值，即可得到答案；
（2）将代入（1）中的函数解析式，即可得到的值；
（3）将代入（1）中的函数解析式，即可得到的值．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：，
当时，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，
；
（3）解：当时，，
解得：．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知待定系数法求函数解析式一般步骤是解答此题的关键．
47．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分别设出y1，y2，代入y＝y1＋y2，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出k与b的值，确定出解析式；
（2）将x＝－1代入计算即可求出值．
【详解】（1）设y1＝ax，y2＝k（x﹣2），
∴y＝ax+k（x﹣2）
由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得，
，
解得：，
∴y与x之间的关系式为：y＝2x﹣2；
（2）当x＝﹣1时,．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．
48．小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．
(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；
(2)当时，与之间的函数关系式是________；
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米；
（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
（3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．
【详解】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟．
故答案为 ，；
（2）设函数关系式为，图像过
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故答案为；
（3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟，
妈妈到达缆车终点的时间：分，
此时爸爸比妈妈迟到分，
妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，
故答案为；．
【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．
一、单选题
1．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数，叫做正比例函数，据此进行解答即可．
【详解】解：A．是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意；
B．不是整式，故该选项错误，不符合题意；
C．a的指数是2，不属于正比例函数，故该选项错误，不符合题意；
D．是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
2．若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，对于正比例函数，当时，函数图像经过第一、三象限，当时，函数图像经过第二、四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，
故选：D．
3．下列各图像中，表示函数的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限．
【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限．
∴正比例函数的大致图象是A．
故选：A．
【点睛】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．
4．正比例函数的自变量增加，函数值相应减少，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】正比例函数中为比例系数，用函数值的变化量除以自变量的变化量即可．
【详解】解：∵自变量增加，函数值相应减少，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查比例系数的定义，熟知的含义是解题关键．
5．已知正比例函数y=kx的图象经过点（2，﹣4），（1，），（﹣1，），那么与的大小关系是（ ）
A．＜B．＝C．＞D．无法确定
【答案】A
【分析】利用待定系数法求得k=-2＜0，则该正比例函数经过第二、四象限，且y随x的增大而减小，据此可以比较与的大小．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（2，-4），
∴k==-2．则k＜0，
∴正比例函数y=-2x的图象经过第二、四象限，且y随x的增大而减小．
又∵1＞-1，
∴＜．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特点．熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
6．已知正比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线B．图象必经过点
C．y随x的增大而减小D．图象经过第一、三象限
【答案】D
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．掌握正比例函数的性质是解题关键．
根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，A选项错误；
B、把代入，得，B选项错误；
C、因为，所以y随x的增大而增大，C选项错误；
D、 因为，所以图象经过第一、三象限， D选项正确．
故选D．
二、填空题
7．若与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例，根据与成正比例可设，再代入求值即可．
【详解】∵与成正比例，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴关于的函数解析式为，
故答案为：．
8．已知与成正比例，且当时，，那么当时， ．
【答案】3
【分析】根据正比例函数的定义设出函数解析式，再把当时，代入求出的值，最后把代入计算即可．本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，关键是根据正比例函数的定义列出函数解析式．
【详解】解：设，
把，代入，得，
解得，
则与之间的函数关系式是，
当时，．
故答案为：3．
9．正比例函数的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数时，图象在第一、三象限，呈上升趋势，当时，图象在第二、四象限，呈下降趋势．根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、第四象限，
∴，
∴
故答案为：．
10．正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且，
∴，
∴，
故答案为：．
11．已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由当时，有，可得出随的增大而增大，结合函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：∵正比例函数的图象上的两点，当时，有，
∴随的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
12． 如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn．如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…，四边形An-1AnBnBn-1的面积记作Sn，那么S2019= ．

【答案】
【分析】先结合图形确定的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得．
【详解】解：由题意可得：当时，，
∴
∴，
∵直线l1⊥x轴，直线l2⊥x轴，直线l3⊥x轴，，直线ln⊥x轴
∴l1∥l2∥l3∥∥ln
∴当时四边形An-1AnBnBn-1是梯形
∵平行线间距离处处相等，所以梯形An-1AnBnBn-1的高为1
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题是规律题，考查了一次函数求点的坐标及平行线间距离处处相等，根据特殊情况找出一般规律是解题关键．
三、解答题
13．已知与成正比例，当时，
(1)求与的函数表达式；
(2)当时，求函数值；
(3)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案；
（2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案；
（3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案．
【详解】（1）解：∵与成正比例，
∴．
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴与的函数表达式为；
（2）当时，；
（3）当时，．
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键．
14．已知与成正比例，且当时，．
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)若点在这个函数的图象上，求的值；
(3)若的取值范围为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
（1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可；
（2）将点代入求解即可；
（3）根据正比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，设，
将代入，得，
解得，
所以，即．
（2）解：将点代入，
得，
解得．
（3）在中，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当取最小值时，值最小．
当时，，
解得，
所以的最小值为．
15．已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
设点的坐标为，则，
的面积是，
，即，
解得或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．
16．如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上．
(1)如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标；
(2)如果点A在直线上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式；
(3)当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用点A的横坐标代入求出点A的坐标即可求出答案．
（2）由图，根据正方形性质可知点横坐标与点横坐标相等，点纵坐标与点纵坐标相等，根据函数解析式可设，表示出点，求出，即可得出答案．
（3）由（2）中可得的坐标，再利用已知正方形的面积即可求出答案．
【详解】（1）解：把代入中得，
，即点的坐标为，
又，
∴点的坐标为．
（2）由题意可设点B所在直线的解析式为,, ,
则点的坐标为，
由，
得，整理得，
∴，代入解析式得，，
解得，
∴点B所在直线的正比例函数解析式为．
（3）由（2）可得，，
∴，
解得或（舍去），
∴点C的坐标为．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象及性质、正方形的性质，解题关键在于熟练掌握正比例函数图象上的点的特征及正方形的性质．