初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）25.3 一次函数课后复习题

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一、一次函数的概念
1.一次函数的概念
问题1 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长.弹簧的长度y(单位： cm) 是所挂重物质量x(单位：kg) 的函数.已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm. 在一定的弹性限度内，每挂1kg 重物弹簧伸长0.3 cm. 试写出y关于x的函数表达式.
分析 因为每挂1kg重物弹簧伸长0.3cm, 所以挂x kg重物时弹簧伸长0.3x cm.又因不挂重物时弹簧的长度为6cm, 所以挂x kg重物时弹簧的长度为(0.3x+6)cm, 从而相应函数的表达式为y=0.3x+6,
其中自变量x的取值范围由弹簧的“弹性限度”确定.
问题2 一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油60 L, 每行驶 10 km耗油1L, 当汽车行驶600km后油箱里的油就耗尽了.设汽车行驶的路程为xkm, 油箱里剩余的油量为yL, 试写出y关于x的函数表达式
分析 因为每行驶10km 耗油1L, 即每行驶1km耗油0.1L, 所以汽车行驶 x km需耗油0.1x L. 又因汽车油箱里原有汽油60L, 所以剩余的油量为 (60-0.1x)L, 从而相应函数的表达式为y=-0.1x+60,
其中自变量x的取值范围是0≤x≤600.
函数的表达式y=0.3x+6与y=-0.1x+60的一个共同点是：表达式的右边都是关于自变量x的一次式.
一次函数的概念：形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0) 的函数叫作一次函数. 一次函数自变量x的取值范围是一切实数.特别地，当b=0时，y =kx+b (k≠0) 即为正比例函数y=kx(k≠0), 即正比例函数是一种特殊的一次常值函数：当k=0时，y=b也是一个函数，称为常值函数.
注意：常值函数不是一次函数，一次函数必须满足k≠0.
2.用待定系数法求一次函数的表达式
例1 已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-1; 当x=5时，y=8.求这个一次函数的表达式.
解 设所求一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
因为当x=2时，y=-1, 当x=5时，y=8, 所以
解二元一次方程组，得
所以，这个一次函数的表达式为y=3x-7.
这里求一次函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k、b 是待定系数，利用两个已知条件列出关于k、b 的方程组再求解，可确定它们的值.
二、一次函数的图像
1.作正比例函数的图像
已知一次函数y=2x+2.
列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表25-5.
(2)描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图25-3-1(1)所示，可以发现上述所有点均落在同一条过点(0,2)的直线上.
(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来，如图25-3-1(2)所示.
注意到所画直线上任意一点的坐标都满足函数的表达式y=2x+2; 同时，对于任意一对满足这个函数表达式的x、y, 以 (x,y) 为坐标的点都在所画的直线上. 因此，函数y=2x+2的图像就是这条直线.
2.一次函数的平移
思考：如图25-3-2,比较函数y=2x与y=2x+2的图像，找出相同点与不同点.
这两个函数的图像是两条互相平行的直线.函数y=2x的图像经过原点，函数y=2x+2的图像与y轴交于点(0,2). 函数y=2x+2的图像可以看作将函数y=2x的图像向上平移2个单位长度得到.
一次函数的平移规律：
①一次函数的图像、直线、一次函数的表达式的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是什么形状?它与正比例函数y=kx(k≠0)的图像有什么关系?
一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，也称为直线y=kx+b.
一次函数的表达式y=kx+b(k≠0)称为这条直线的表达式.
②一次函数的平移规律
从函数的图像看，一次函数y=kx+b(k≠0) 的图像就是将正比例函数y=kx(k≠0)的图像沿y轴平移|b|个单位长度.若b>0, 则向上平移；若b＜0, 则向下平移.
3.直线y=kx+b(k≠0)的截距
例2 在平面直角坐标系xOy中，画出一次函数的图像
解 由,可知当x=0时，y=-2;当x=3时，y=0.
所以A(0,-2)、B(3,0)是函数的图像上的两点.
经过点A、B画直线AB,即为函数的图像，如图25-3-3所示.
画直线y=kx+b(k≠0)时，通常先描出该直线与x轴、y轴的交点.例2给出了求直线与坐标轴交点的方法.
一条直线与y轴交点的纵坐标称为这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.直线y=kx+b(k≠0)与y轴交点的坐标是(0,b), 故直线y=kx+b(k≠0)的截距b.
题型1：一次函数的概念
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D． （m，n是常数）
2．在下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A．（k、b是常数） B． C．D．
3．下列函数是一次函数的是（ ）
A．（c为常数）B．（k，b为常数）
C．D．
4．在下列函数中，不属于y关于x的一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列函数关系式中①；②；③；④；⑤；是一次函数的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（ ）
A．正比例函数B．一次函数C．其他函数D．不是函数关系
题型2：根据一次函数的概念求参数
8．当 时，函数是一次函数．
9．若关于x的函数是正比例函数，则该函数的表达式为 ．
10．若函数是一次函数，则的值为 ．
11．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．m为任意实数
12．是一次函数，则m的取值范围为 ．
题型3：求一次函数的值或自变量的值；一次函数的表达式
13．已知一次函数，当时，的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
14．在一次函数中，当时，y= ；当x= 时，.
15．当为（ ）时，的值为0．
A．2B．C．D．1
16．函数中，若自变量增加2，则函数值就（ ）
A．增加4B．减少4C．增加8D．减少8
17．对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．5B．8C．12D．14
18．若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为 ．
题型4：一次函数的截距
19．一次函数的截距是 ．
20．直线在y轴上的截距 ．
21．一次函数的截距是 ．
题型5：一次函数与坐标轴的交点
22．一次函数在y轴上的截距 ，它与y轴的交点坐标是 ．
23．一次函数与轴的交点坐标是 ．
24．已知直线在轴上的截距为3，那么该直线与轴的交点坐标为 ．
题型6：一次函数的上下平移问题
25．将直线向上平移5个单位长度后得到，则的表达式是 ．
26．将一次函数的图象向下平移4个单位后，所得到的图象对应的函数表达式为 ．
27．将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．
*题型7：一次函数的左右平移问题
28．将直线向右平移4个单位，所得直线的表达式是 ．
29．把直线向左平移3个单位后，新的直线的解析式为 ．
30．直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为 ．
31．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．则的值为（ ）．
A．B．C．D．
题型8：平行问题
32．已知，直线与直线平行，那么 ．
33．已知直线与直线平行，那么 ．
34．已知直线与直线平行，则＝ ．
35．已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，那么该直线的解析式是 ．
题型9：根据一次函数的图像求参数
36．已知直线不经过第三象限，则m的取值范围是 ．
37．如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是 ．
38．正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限．
39．已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为 ．
题型10：一次函数与坐标轴围成的面积问题
40．一次函数与坐标轴围成的三角形面积是 ．
41．已知直线经过点，那么该直线与坐标轴围成的三角形的面积为
42．直线与坐标轴围成的三角形面积为8，则 ．
43．函数和的图象与坐标轴围成的图形的面积为，则的值为 ．
题型11：解答题
44．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？
，，，，．
45．函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；如果不是，试说明理由．
46．写出下列各题中y与x之间的函数式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)圆珠笔每支元，购买圆珠笔的总价（元）与购买支数x之间的关系．
(2)甲、乙两地之间的距离为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的平均速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系．
47．写出下列各题中y关于x的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)长方形的面积为3，长方形的长y与宽x之间的关系；
(2)刚上市时西瓜每千克元，买西瓜的总价y元与所买西瓜x千克之间的关系；
(3)仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数y与星期数x之间的关系；
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10000元，以后每个月存入500元，存入总数y元与月数x之间的关系．
48．分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题：
（1）两个图象各经过哪些象限？
（2）判断点、是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？
49．已知一次函数
(1)若函数图象在轴上的截距为，求的值
(2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围．
50．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线
(1)求这两条直线的解析式；
(2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积．
一、单选题
1．下列函数不是一次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知函数，若函数图象经过原点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．关于一次函数，下列说法正确的是( )
A．图象与轴交于点
B．其图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．图象与坐标轴围成的三角形面积为
D．图象经过第一、二、四象限
5．一次函数一定经过（ ）
A．B．C．D．
6．同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．函数的图象在轴的截距是 ．
8．一次函数的图像经过一、二、三象限，则n的取值范围是 ．
9．若直线与直线的交点在第三象限，则的取值范围是 ．
10．与直线平行且在轴上的截距为2的直线一定不经过第 象限．
11．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ．
12．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称．
(1)求点的坐标；
(2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式．
14．在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线
(1)求这两条直线的解析式；
(2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积．
15．已知：直线与轴交于点，与轴交于点，将绕着坐标原点逆时针旋转，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求、两点的坐标；
(2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．
16．已知：如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，在直线上有一点（点在第一象限内），的面积与的面积相等．
(1)求点A和的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)直线与轴交于点，点在线段上，且，求点坐标．