初中沪教版（五四制）（2024）23.2 平行四边形一课一练

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平行四边形的判定
1.定义判定（即由定义得到的判定）
定义判定：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
2.平行四边形的判定定理1
引入：“平行四边形的对边相等”的逆命题是“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.
这个逆命题是真命题，由此得到平行四边形的一个判定定理：
定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理证明
如图23-2-13,已知：在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD.
求证：四边形ABCD 是一个平行四边形.
如图23-2-14,连接AC.
在△ABC 和△CDA 中，因为AB=CD,BC=AD,AC=CA,
所以△ABC≌△CDA. 由此推出∠1=∠2,∠3=∠4 .
所以AB//CD,BC//AD.
由平行四边形的定义，得四边形 ABCD是一个平行四边形.
问题：如果将平行四边形的判定定理1中的“两组对边”改成“一组对边”, 这一组对边还需要满足什么条件，才可以保证这个四边形一定是平行四边形呢?为什么?
易知“平行四边形的任意一组对边平行且相等”,可以证明其逆命题也是真命题.
由此，又得到平行四边形的一个判定定理：
定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
定理证明
如图23-2-15,已知：在四边形ABCD中，AB//CD, 且 AB=CD.
求证：四边形ABCD是一个平行四边形.
如图23-2-16,连接AC.
在△ABC 和△CDA 中，因为AB//CD,
所以∠1=∠2.又因为AB=CD,AC=CA,
所以△ABC≌△CDA.
由此推出BC=DA.
由平行四边形的判定定理1,得四边形ABCD是一个平行四边形.
问题：“平行四边形的对角线互相平分”,它的逆命题是真命题还是假命题?
这个逆命题是真命题.由此，又得到平行四边形的一个判定定理：
定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理证明
如图23-2-19,已知：四边形 ABCD的对角线 AC 、BD 相交于点O, 且AO=CO,BO=DO.
求证：四边形ABCD是一个平行四边形.
在△AOB和△COD中，因为AO=CO, ∠AOB=∠COD,BO=DO,
所以△AOB≌△COD.
由此推出AB=CD,∠ABO=∠CDO,
所以AB//CD.
由平行四边形的判定定理2,得四边形ABCD是一个平行四边形.
判定方法5 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
判定方法证明
如图23-2-18,已知：在四边形 ABCD 中，∠A=∠C,∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是一个平行四边形.
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+ ∠D=360° (多边形的内角和定理).
又∵∠A=∠C,∠B=∠D,
∴ ∠A+∠B=180°,∠A+∠D=180° .
∴ AD//BC,AB//CD.
∴ 四边形ABCD 是一个平行四边形.
综上所述，平行四边形共有5种判定方法。
题型1：平行四边形的判定的辨析
1．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等B．一组对边平行且另一组对边相等
C．两组对边分别平行D．一组对边平行且相等
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可．
【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形；
而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）．
∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B．
故选B．
2．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形
B．两条对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形
D．一组对边平行且相等的四边形
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键．
根据平行四边形的判定条件逐一分析选项，找出不符合判定条件的选项．
【详解】解：选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此选项A能判定；
选项B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B能判定；
选项C：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，这种情况不一定是平行四边形，
例如等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，因此选项C不能判定；
选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此选项D能判定．
故选：C ．
3．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意．
故选：D ．
4．如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定．
根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断．
【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合；
，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合；
，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合；
，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合，
故选：D．
题型2：添加一个条件成为平行四边形Ⅰ
5．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案．
【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意；
B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意；
D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意．
故选D．
6．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键．
根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可．
【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形，
选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误；
选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误；
选项：，
，
在和中，
,
，
，
四边形为平行四边形．
故正确．
故选：．
7．如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键．
根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可；
【详解】，
当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断；
故答案是：（答案不唯一）．
8．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定方法作答即可．
【详解】解：添加条件：，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）．
题型3：添加一个条件成为平行四边形Ⅱ
9．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件： 使四边形ABCD是平行四边形
【答案】AB=BF
【详解】∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵∠CED=∠BEF，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴BF=CD，
∵当AB=BF时，则AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案是：AB=BF．
10．如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形．
【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）．
理由如下：，，
，即，
又，
∴四边形为平行四边形，符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
11．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．
连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答．
【详解】解：连接，交于点O，如图
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意；
②当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故②符合题意；
③当时，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形，故③符合题意；
当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故④符合题意；
综上所述，②③④符合题意，
故选：D．
题型4：求平行四边形的个数问题
12．如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；

【答案】2
【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形．
【详解】解：∵、、都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
13．如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．

【答案】3
【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
∴有个平行四边形
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（ ）个平行四边形．
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定；
首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
∴
∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个．
故选：C．
题型5：格点问题
15．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示：
当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示：
∴符合要求的点有个，
故选：．
16．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
根据选项所给的点D的位置，正确作出以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，再利用平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】对于A，如图，
此时，四边形不是平行四边形，故A不符合题意；
对于B，如图，
此时，，且，
∴四边形是平行四边形，故B符合题意；
对于C，如图，
此时，四边形不是平行四边形，故C不符合题意；
对于D，如图，
此时，四边形不是平行四边形，故D不符合题意．
故选：B．
17．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（ ）个
A．B．C．D．无数
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形．
【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个，
故选：B．
题型6：平行四边形的判定与性质
18．在四边形中，，，若，那么 度， 度．
【答案】 70
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，即，结合，则，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
19．如图，，，，，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平行四边形的周长是16，
故答案为：16．
20．如图，梯形中，，，，，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形．
作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：作交于点E，则，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：11．
题型7：平行四边形的判定与性质的应用
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为10，则平移距离为 ．
【答案】2
【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=2，即得平移距离．
【详解】在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE， ，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于10，
∴AC•BE=10，即5BE=10，
∴BE=2，即平移距离等于2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质、熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
22．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是 ．
【答案】5
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长．
故答案为：5．
23．如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若，则重叠部分四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，然后确定四边形ABCD为平行四边形，从而根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，
由题意，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
由题意，AE=AF=4，
∴AB=4，
∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法，理解题中的实际意义是解题关键．
题型8：动点，方程问题
24．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 秒．
【答案】或
【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】设点P运动了t秒，
∴，，，，
①当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴；
②当时，且，则四边形是平行四边形，
即，
∴，
综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
25．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为，则当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】本题考查了平行四边形的判定、一元一次方程的应用，分两种情况：当点在的右侧时；当点在的左侧时；由当时，四边形是平行四边形，建立一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：当点在的右侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
当点在的左侧时，
由题意得：，，则，
，
当时，四边形是平行四边形，即，
解得：；
综上所述，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
26．如图所示，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动，当运动时间为时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．
由平行四边形的判定定理，结合，可知，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，按照点和点的位置关系进行分类讨论，列方程求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵，
∴时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图所示：
当运动到点和点之间时，
则，
解得，，
当运动到点和点之间时，
则，
解得，，
∴当运动时间为或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或．
题型9：解答证明题
27．如图，在四边形中，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识．根据勾股定理求出，得到，又由即可证明四边形为平行四边形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴
又，
∴四边形为平行四边形．
28．如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明过程见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键．
首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可．
【详解】证明：在和中，
∵，
．
，．
四边形是平行四边形．
29．已知平行四边形，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质得到，结合，得到，即可得证．
【详解】证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴四边形为平行四边形．
30．如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
31．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，在格点上找一点D，使四边形是平行四边形，请画出这个四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识．
利用勾股定理求出各边长度，根据平行四边形的判定定理即可求解；
【详解】解：如图所示：
∵，，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形即为所求；
32．如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定，是解题的关键：证明，得到，即可得证．
【详解】解：∵的对角线相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
33．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且．
(1)尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形；
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查尺规作图—作已知角的角平分线，平行四边形的性质与判定定理，角平分线的定义，平行四边形的判定等知识点，掌握作图方法是解题关键．
（1）按要求作出的角平分线（保留作图痕迹）即可；
（2）由角平分线的定义和平行四边形的性质得到，进而得到，再由边的和差关系得到，最后由一组对边平行且相等即可判定四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，即
，
四边形是平行四边形．
34．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质可得，结合已知可得，根据平行线的性质与判定证明，进而根据两组对边分别平行的是四边形是平行四边形，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，即，且
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形
∴
∵，
∴，即
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形．
35．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)当时，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及勾股定理，
（1）连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论；
熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
36．如图，在四边形中，，交于点O，，，，，动点P从点A出发，沿射线方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动，当运动到点D时停止运动，设运动的时间为．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当运动到以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，
对于，要证明四边形是平行四边形，根据已知条件，通过证明对角线互相平分来得出结论；
对于，根据平行四边形的对边相等这一性质，分情况列出关于时间t的方程求解．
【详解】（1）证明：，
.
，
≌，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：∵，，，
.
四边形是平行四边形，
，，
由题意可知，，，
①当点P在线段上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得；
②当点P在线段的延长线上时，此时，，
四边形是平行四边形，
，
，
解得
综上，当t的值为或时，以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．
37．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，过点作于点，连接．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，继而得到，证明，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案；
（2）由（1）知四边形为平行四边形，得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
∴AB=FC，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
．
38．综合与实践
折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形；
(2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：；
(3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论；
（3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：由折叠的性质可得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点在同一条直线上
是等腰三角形，
；
（3）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
一、单选题
1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形，
故A选项错误；
一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形，
故B选项错误；
根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形，
故C符合题意；
根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形，
故D不符合题意；
故选：C．
2．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：如图：

A、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的；
B、∵，，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；故该选项是正确的；
C、∵，，不是夹角，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形；
D、∵，，，∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的；
故选：B
3．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知判定四边形是平行四边形，得到，再根据三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是根据平行四边形得到．
4．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（ ）．
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选B．
5．如图，在中，E和F分别是边和上的点，，连接和，已知，，四边形的面积是3，则四边形的面积是（ ）

A．4.5B．5C．6D．6.5
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为h，，由，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
设与之间的距离为h，
∵四边形的面积是3，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键．
6．如图，在中，是对角线上的两点，且．给出下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有（ ）
A．①②③④⑥B．②④③⑤⑥C．①②④⑤⑥D．①③④⑤⑥
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，理解相关知识是解答关键．
连接交于，过作于，过作于，推出得出平行四边形，可判断①②④；无法判断③正确；证明得出可判断⑤正确；根据可判断⑥正确．
【详解】解：连接交于，过作于，过作于，
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
．
，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出，
∴③错误；
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴⑤正确；
∵，
∴，
∴，
∴⑥正确．
综上，正确的序号为：①②④⑤⑥．
故选：C．
二、填空题
7．“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ．
【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可．
【详解】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
8．一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是 ．
【答案】平行四边形
【解析】略
9．如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件 ．使四边形是平行四边形．
【答案】（符合题意即可）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形．
【详解】解：添加，
如图，连接，，，与交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
当添加时，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：．
10．在四边形中，，，，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
证明四边形是平行四边形，再利用其性质即可解决问题
【详解】
解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
11．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）．
【答案】③⑥/⑥③
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可．
【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形；
由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形；
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形；
由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形；
一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形；
故答案为：③⑥．
12．如图，在中，D是AB上任意一点，E是BC的中点，过C作,交DE的延长线于F，连BF,CD，若，，，则 ．
【答案】4
【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD．
∴四边形CDBF是平行四边形．
作EM⊥DB于点M，
∵四边形CDBF是平行四边形，，
∴BE=，DF=2DE，
在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt△EMD中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
三、解答题
13．求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
已知：如图， ．
求证： ．

【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求证．
【详解】已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
14．如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形．
【详解】∵AD//BC
（两直线平行，内错角相等）
又∵AE//CF
（两直线平行，内错角相等）
在与中，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
15．已知：如图，等边三角形与等边三角形的一边重合．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若的边长为，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平行四边形各组对边之间的距离为．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，，进一步可知：，，即可证明四边形是平行四边形；
（2）作，，求出，利用所对的直角边等于斜边的一半即可求出，再利用勾股定理求出，同理可求出．
【详解】（1）证明：∵等边三角形与等边三角形的一边重合．
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：作，，
∵等边的边长为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即平行四边形各组对边之间的距离为．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，等边三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理并能够灵活运用．
16．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)判断四边形的形状；
(2)在图1中，先在上画点，使，再在上画点，使；
(3)在图2中的上画点，使．
【答案】(1)四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可；
（2）取格点T，连接，，交于点E，点E即为所求．连接，交于点O，连接，延长交于点F，点F即为所求；
（3）取格点R，连接，取的中点Q，连接，延长交于点G，点G即为所求．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图1中，点E，点F即为所求；
根据格点特点可知，，，
∴，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：如图2中，点G即为所求．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，过点的动直线分别交于点，交于点．
(1)线段 （填“”、“”或“”）；
(2)如图，若动直线分别与的延长线相交于点时，则（）的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
(3)在（）的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)（）的结论还成立，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（）利用平行四边形的性质证明即可求解；
（）同理（）证明即可求证；
（）连接，再证明四边形是平行四边形即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：（）的结论还成立，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图，连接，
由（）知，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
19．如图1，四边形是平行四边形，延长至点E，使得，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，将沿直线翻折点E刚好落在线段的中点F处，延长与的延长线相交于点H，并且和交于点G，试求线段之间的数量关系．
(3)如图3，将沿直线翻折，点E刚好落在线段上的点F处，若，，且，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论；
（2）根据平行四边形性质可得进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答；
（3）如图3中，过点作于点．求出，可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵F是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由翻折性质可得：
由（1）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：解：如图中，过点作于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由翻折变换的性质可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．