人教版（2024）21.3 特殊的平行四边形当堂检测题

这是一份人教版（2024）21.3 特殊的平行四边形当堂检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.矩形不一定具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 四个角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A. ∠A+∠B=180°B. ∠B+∠C=180°
C. ∠A=∠BD. ∠B=∠D
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长度为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1=35°，则∠2的度数为( )
A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°
5.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有( )
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC=90°时，它是矩形：④当AC=BD时，它是正方形．
A. 3个B. 4个C. 1个D. 2个
6.如图，在矩形ABCD中，AO=5，CD=6，则AD的长为 ( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E为线段AD上一点，且DE=2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF.则GF的最小值是( )
A. 3B. 6C. 6 2D. 3 5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
8.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，AD=2，则AC的长为______．
9.如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为8，则图中四边形的周长为 ．
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．
11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=116∘，则∠ACD的度数为 ．
12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，则ABBC= ．
13.如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE=30°，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，连接CF，DF.若CF平分∠BCD，AB=2，则DF的长为 ．
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点.若EF=2，则AC的长为 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠1=∠2.求证：▱ABCD是矩形．
16.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB // CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．
求证：四边形ABCD是矩形．
17.(本小题8分)
如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，求证：△CDE≌△EAF．
18.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF=DC，DF⊥AE于F．
(1)求证：AE=BC；
(2)如果AB=3，AF=4，求EC的长．
19.(本小题8分)
已知：如图，在□ABCD中，BA=BD，M，N分别是AD和BC的中点．求证：四边形BNDM是矩形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，
∴选项A、B、D正确，
故选：C．
根据矩形的性质即可判断；
本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定.注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OA，BD=AC，
又∵OA=2，
∴AC=2OA=4，
∴BD=AC=4，
故选：A．
本题考查矩形的对角线相等的性质．因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．
根据矩形的性质，可得∠ABD=35°，∠DBC=55°，根据折叠可得∠DBC′=∠DBC=55°，最后根据∠2=∠DBC′−∠DBA进行计算即可．
【解答】
解：∵∠1=35°，CD//AB，∠C=90°，
∴∠ABD=35°，∠DBC=55°，
由折叠可得∠DBC′=∠DBC=55°，
∴∠2=∠DBC′−∠DBA=55°−35°=20°，
故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理，根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
【解答】
解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；
故正确的有3个．
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质和勾股定理，能求出∠ADC=90°和AC=2AO是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分．根据矩形的性质得出∠ADC=90°，AC=2AO=10，根据勾股定理求出AD即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，AO=5，
∴∠ADC=90°，AC=2AO=10，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD= AC2−CD2= 102−62=8，
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质和勾股定理．
当EG和FE最短时，GF有最小值，此时点G与A重合，则四边形EABF是矩形，得出FE=AB=6，由矩形的性质得出BC=AD=9，CD=AB=6，由勾股定理求出FG即可．
【解答】
解：当EG和EF最短时，FG有最小值，此时点G与A重合，如图所示：
∵EF⊥EG，四边形ABCD是矩形，
∴四边形EABF是矩形，
∴FE=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=9，CD=AB=6，
∵DE=2AE，
∴EA=3，
由勾股定理得：FG= AE2+EF2= 32+62=3 5，
即GF的最小值为3 5．
8.【答案】4
【解析】解：在矩形ABCD中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD=12∠AOD=12×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×2=4．
故答案为4．
利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=4．
本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键
9.【答案】16
【解析】由题图中有三个直角，可得到此四边形是矩形，那么易得其周长为16．
10.【答案】2.5
11.【答案】58∘
12.【答案】 33
13.【答案】 2
14.【答案】8
【解析】∵点E，F分别是AO，AD的中点，EF=2，
∴OD=2EF=4，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，BO=DO=4，
∴AC=BD=8.故答案为8．
15.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
即AC=BD，
∴▱ABCD是矩形．
【解析】此题考查了矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行四边形的性质．注意证得AC=BD是关键．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD，又由∠1=∠2，易证得AC=BD，继而证得结论．
16.【答案】证明：四边形ABCD中，AB/​/CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°，
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【解析】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．
利用平行线的性质得出∠ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，进而得出答案．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△EAF和△CDE中，
∠A=∠D∠AFE=∠DECEF=CE,
∴△EAF≌△CDE(AAS)．
即△CDE≌△EAF．
【解析】此题考查了三角形全等的判定与矩形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握三角形全等的方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL(直角三角形)，注意数形结合思想的应用.由四边形ABCD是矩形，∠A=∠D=90°，又由EF⊥EC，根据直角三角形中两个锐角互余，即可得∠AFE=∠DEC，然后利用AAS即可证得：△CDE≌△EAF．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB=DC，AD=BC，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∵DF=DC，
∴AB=DF，
在△ABE和△DFA中，∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAB=DF，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，
∴AE=AD，
∴AE=BC；
(2)解：由(1)得：△ABE≌△DFA，
∴BE=AF=4，AE=BC，
∵∠B=90°，
∴AE= AB2+BE2= 32+42=5，
∴BC=5，
∴EC=BC−BE=5−4=1．
【解析】(1)证出∠AFD=∠B，AB=DF，由AAS证明△ABE≌△DFA，得出对应边相等即可．
(2)由全等三角形的性质得出BE=AF=4，AE=BC，由勾股定理求出AE=5，得出BC=5，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，BA=DC，
∵BA=BD，
∴BA=BD=DC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴BM⊥AD，DM=12AD，BN=12BC，
∴DM=BN，
又∵DM//BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵BM⊥AD，
∴∠BMD=90°，
∴四边形BMDN是矩形．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定及平行四边形的判定与性质的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质，矩形四边形的判定方法.先判定四边形BNDM是平行四边形，然后根据等腰三角形的性质证得一个内角为直角，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可．