初中数学华东师大版（2024）七年级下册（2024）与三角形有关的边和角精品学案

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▉题型1 三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
1．下列能表示△ABC的边BC上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图，
．
故选：B．
2．下列四个图形中，能用BE表示△ABC的高的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意；
B、图形中线段BE是△ABC的高，本选项符合题意；
C、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意；
D、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意．
故选：B．
3．在如图中，正确画出AC边上高的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：画出AC边上高就是过B作AC的垂线，
故选：C．
4．如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8，则AD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD=12AB，
∵AB＝8，
∴AD＝4，
故选：C．
▉题型2 三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，那么△ABC形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
6．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴可设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，
∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180°，
即6x＝180°，
解得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝30°×2＝60°，∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：B．
7．AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．100°B．20°C．50°或110°D．20°或100°
【答案】D
【解答】解：①如图1，当高AD在△ABC的内部时，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+40°＝100°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，
综上所述，∠BAC的度数为20°或100°．
故选：D．
8．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A'，若∠C＝120°，∠A＝25°，则∠A'DB的度数为（ ）
A．70°B．110°C．115°D．120°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝35°．
由题意知：DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°．
∵△A′DE是△ADE沿DE折叠成的三角形，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°．
∵∠ADE+∠A′DE+∠A′DB＝180°，
∴∠A'DB＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
故选：B．
9．在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．75°C．30°或75°D．30°或60°
【答案】D
【解答】解：如图1，
∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C=180°−60°2=60°，
如图2，
∵BD为AC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝30°，
综上所述：∠C的度数为：60°或30°．
故选：D．
10．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．55°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：连接BC．
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=12∠ABD+12∠ACD＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CM是∠ACB的角平分线，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠MCD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【解答】解：∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝60°．
∵CM是∠ACB的角平分线，
∴∠ACM=12∠ACB＝30°．
∴∠CMB＝∠CAB+∠ACM＝75°．
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°．
∵∠CDB＝∠MCD+∠CMB．
∴∠MCD＝∠CDB﹣∠CMB
＝90°﹣75°
＝15°．
故选：A．
12．如图，将三角形ABC沿平行于BC的直线折叠，折痕为DE，点A落在点M处，若∠C＝115°，则∠MEC的度数为 50 °．
【答案】50．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝115°，
∵将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，
∴∠AED＝∠MED＝115°，
∵∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠DEC＝65°，
∴∠MEC＝∠DEM﹣∠DEC＝115°﹣65°＝50°，
故答案为：50．
13．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为 20° ．
【答案】20°．
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCB＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝∠ACB﹣∠ACN﹣∠FCB＝20°，
故答案为：20°．
14．如图，若AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，∠BEF的平分线EP和∠EFD的平分线FP交于点P，则∠P的度数是 90° ．
【答案】90°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EP、FP分别平分∠BEF和∠DFE，
∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°．
∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
15．如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于点D．
（1）当∠B＝35°，∠C＝75°时，求∠EFD的度数；
（2）若∠B＝α，∠C＝β，请结合（1）的计算猜想∠EFD、∠B、∠C之间的数量关系，直接写出答案，不用说明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）
（3）如图2，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
【答案】（1）20°．
（2）12β−12α．
（3）12β−12α．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（35°+75°）＝70°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=35°．
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝35°+35°＝70°．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（α+β）．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE=12∠BAC=90°−12(α+β)．
∴∠FED＝∠B+∠BAE＝α+90°−12(α+β)=90°+12α−12β．
∵FD⊥BC，
∴∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣∠EDF﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°+12α−12β）=12β−12α．
（3）成立，理由如下：
由（2）知：∠FED＝∠B+∠BAE＝90°+12α−12β，∠EDF＝90°．
∴∠EFD＝180°﹣（∠FED+∠EDF）＝180°﹣（90°+12α−12β+90°）=12β−12α．
16．如图，直线DE经过点A，DE∥BC．
（1）若∠B＝46°，则∠DAB等于多少度？为什么？
（2）三角形ABC三个内角的和等于多少度？请你说明理由．
【答案】（1）46°，两直线平行，内错角相等；
（2）180°，理由见解析．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝46°（两直线平行，内错角相等）．
（2）△ABC的内角和等于180°．理由：
∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴△ABC的内角和等于180°．
17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点，连接CE．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若CE∥AB，求∠BEC的度数；
（3）若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
【答案】（1）∠ABC＝80°；（2）∠BEC＝40°；（3）∠BEC＝30°．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×80°=40°，
∵CE∥AB，
∠BEC＝∠ABE＝40°；
（3）∵∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∠CBE=12∠ABC=12×80°=40°，∠ECD=12∠ACD=12×140°=70°，
∵∠BEC＝∠ECD﹣∠CBE，
∴∠BEC＝70°﹣40°＝30°．
18．【学习新知】
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO1射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E，回答下列问题：
①当DO1∥EO2∠AO1D＝30°（即∠1＝30°）时，求∠O1O2E的度数；
②当∠B＝90°时，任何射到平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学知识及新知说明理由．
（提示：三角形的内角和等于180°）
（2）【拓展探究】
如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F已知∠1＝∠6＝35°，若要使EO1∥O3F，请直接写出∠B的度数 125° ；
【答案】（1）①60°；
②理由看解析；
（2）125°．
【解答】解：（1）①DO1∥EO2，
∴∠DO1O2+∠EO2O1＝180°，
∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠EO2O1＝180°+180°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝60°，
∵∠3+∠4+∠O1O2E＝180°，
∴∠O1O2E＝60°；
②∵∠B＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠4+∠EO1O2＝360°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DO1O2+∠EO1O2＝180°，
∴DO1∥EO2，
（2）如图所示，过点O2作O2G∥O1E，
∵O1E∥O3F，
∴O2G∥O3F，
∴∠9+∠10＝180°，
∵O1E∥O2G，
∴∠7+∠8＝180°，
∵∠1+∠7+∠2＝180°，∠3+∠8+∠9+∠4＝180°，∠5+∠10+∠6＝180°，
∴∠1+∠7+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5+∠10+∠6＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，
∵∠1＝∠6＝35°，
∴∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，∠5＝∠6＝35°，
∴∠3＝∠4＝20°，
∴∠2+∠3＝55°，
∵∠2+∠3+∠B＝180°，
∴∠B＝125°，
故答案为：125°．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B＝48°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）66°．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠C，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°，
∵∠B＝48°，
∴∠BAF＝180°﹣48°＝132°，
∵AC 平分∠BAF，
∴∠2=12∠BAF＝66°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝66°．
▉题型3 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
20．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACB外角与内角∠ABC平分线交点，E是∠ABC，∠ACB外角平分线交点，若∠BOC＝110°，则∠D＝（ ）度．
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【解答】解：∵CO平分∠ABC，CD平分∠ABC的外角，
∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，
∵∠ACB+∠ACF＝180°，
∴∠OCD＝∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACF）＝90°，
∴∠BOC＝∠OCD+∠D，
∴∠D＝110°﹣90°＝20°．
故选：B．
21．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝ 15 °．
【答案】15
【解答】解：∵AB∥CF，∠A＝60°，
∴∠ACM＝∠A＝60°，
∵∠BCA＝30°，
∴∠BCD＝30°，
∵∠EFD＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠E+∠EFD＝135°，
∴∠DBC＝180°﹣30°﹣135°＝15°，
故答案为：15．
题型1 三角形的角平分线、中线和高
题型2 三角形内角和定理
题型3 三角形的外角性质