初中数学21.3 特殊的平行四边形教学课件ppt

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习题21.3人教·八年级数学下册四边形复习巩固1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交 于点 O，且 ∠1 = ∠2. 四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？解：四边形 ABCD 是矩形. 理由：∵∠1 = ∠2，∴OB = OC.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA = OC，OB = OD.∴OA = OC = OB = OD.∴AC = BD . ∴ □ ABCD 是矩形.【选自教材第78页 习题21.3 第1题】2. 如图，一个木匠要制作一块矩形的木板. 他在一块对边平行 的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到 矩形木板. 为什么？解：如图，∵AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，∴易得 AB∥CD，∠ABC = 90°.∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.又∠ABC = 90°，∴ □ ABCD 是矩形.因此，他能得到矩形木板.【选自教材第79页 习题21.3 第2题】3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 2AC . 利用本节所学的直角三角形的性质，求∠A，∠B 的度数.解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD.∵CD 是Rt△ABC 斜边上的中线，∴△ACD 是等边三角形. ∴∠A = 60°.又∠ACB = 90°，∴∠A + ∠B = 90°，∴∠B = 30°.【选自教材第79页 习题21.3 第3题】4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长.解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴CA 平分∠BCD，AD∥BC .∴∠BCD = 2∠ACD = 60°.∴∠BAD = ∠BCD = 60°.又AD∥BC，∴∠ABC = 180°－∠BAD = 120°.【选自教材第79页 习题21.3 第4题】（2）设 AC 与 BD 交于点 O .由（1）知∠BAD = 60°，AB = AD，∴△ABD 是等边三角形. ∴AB = BD = 6.在Rt△ABO 中，AB = 6，BO = BD = 3， 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6. 求： （1）∠BAD，∠ABC 的度数； （2）AB，AC 的长. 【选自教材第79页 习题21.3 第4题】5. 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分∠ABF，且交 AE 于点 D，连接 CD. 求证：四边形 ABCD 是菱形.证明：∵AE∥BF，∴∠DAC = ∠BCA，∠ADB = ∠CBD .∵AC 平分∠BAD，BD 平分∠ABC，∴∠BAC = ∠DAC，∠ABD = ∠CBD .∴∠BAC = ∠BCA，∠ABD = ∠ADB .∴AB = AD = BC.又AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵AB = BC，∴ □ ABCD 是菱形.【选自教材第79页 习题21.3 第5题】6. 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE = BC， 过点 E 且与 BD 垂直的直线交 CD 于点 F，连接 BF. DE 与 CF 相等吗？说一说你的理由.解：DE = CF. 理由：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠C = 90°，∠BDC = 45°.∵EF ⊥ BD，∴∠DEF = ∠BEF = 90°.∴∠DFE = 90°-∠BDC = 45°. ∴∠BDC = ∠DFE，∴DE = EF .在Rt△BEF 和Rt△BCF 中，BF = BF，BE = BC，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）. ∴EF = CF，∴DE = CF.【选自教材第79页 习题21.3 第6题】综合运用7. 如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角. 要得到一个正方形，裁剪线与折痕应成多少度的角？解：裁剪线与折痕应成 45°的角.【选自教材第79页 习题21.3 第7题】8. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′，AD 相交于点 E，AD = 8，AB = 4. DE 的长 是多少？△BDE 的面积呢？解：∵纸片ABCD是矩形，∴∠A = 90°，AD∥BC，∴∠ADB = ∠CBD.由折叠知∠C'BD = ∠CBD，∴∠C'BD = ∠ADB. ∴BE = DE.设 DE = BE = x，则 AE = AD－DE = 8－x .在Rt△ABE 中，由勾股定理，AE2 + AB2 = BE2，即 (8－x)2 + 42 = x2，解得 x = 5. ∴DE = 5.【选自教材第79页 习题21.3 第8题】9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD ⊥ AB，垂足为 D， ∠ACD = 3∠BCD，E 是边 AB 的中点. ∠ECD 是多少度？为什么？解：∠ECD = 45°. 理由：∵∠ACB = 90°，∴∠BCD + ∠ACD = 90°.∵∠ACD = 3∠BCD，∴∠BCD + 3∠BCD = 90°，∴∠BCD = 22.5°，∠ACD = 67.5°.∵CD ⊥ AB，∴∠A + ∠ACD = 90°. ∴∠A = 22.5°.在Rt△ABC中，E 是斜边 AB 的中点，∴CE = AB = AE . ∴∠ACE = ∠A = 22.5°. ∴∠ECD =∠ACD－∠ACE = 67.5°－22.5°= 45°.【选自教材第80页 习题21.3 第9题】10. 如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在 AB，AD 上，且 BM = DN，MG∥AD，NF∥AB；点 F，G 分别在 BC，CD 上，MG 与 NF 相交于点 E. 求证：四边形 AMEN，EFCG 都是菱形.证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB = DA = BC = CD，AB∥CD，AD∥BC.∵MG∥AD，NF∥AB，∴AB∥NF∥CD，AD∥BC∥MG.∴四边形 AMEN，BCGM，CDNF，EFCG 都是平行四边形.∴BM = CG，DN = CF.∵BM = DN，∴CG = CF，AB－BM = DA－DN，即AM = AN.∴ □ AMEN， □ EFCG 都是菱形.【选自教材第80页 习题21.3 第10题】11. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O， AC = 8，DB = 6，DH ⊥ AB，垂足为 H. 求 DH 的长.解：∵四边形 ABCD 是菱形， 【选自教材第80页 习题21.3 第11题】12.（1）如图（1），四边形 OBCD 是矩形，O，B，D 三点 的坐标分别是 (0，0)，(b，0)，(0，d). 求点 C 的坐标.解：（1）∵四边形 OBCD 是矩形，∴OD = BC，OB = DC，且 CD ⊥ OD，CB ⊥ OB.∵D(0，d)，B(b，0)，∴C(b，d) .【选自教材第80页 习题21.3 第12题】（2）如图（2），四边形 ABCD 是菱形，C，D 两点的坐标 分别是 (c，0)，(0，d)，点 A，B 在坐标轴上. 求 A，B 两点的坐标.（2）∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO = CO，BO = DO .∵C (c，0)，∴A (－c，0).∵D (0，d)，∴B (0，－d).【选自教材第80页 习题21.3 第12题】（3）如图（3），四边形 OBCD 是正方形，O，D 两点的 坐标分别是 (0，0)，(0，d). 求 B，C 两点的坐标.（3）∵四边形 OBCD 为正方形，∴OD = CD = CB = OB，且 CB ⊥ OB，CD ⊥ OD.又D (0，d)，∴B (d，0)，C (d，d).【选自教材第80页 习题21.3 第12题】13. 如图，将等腰三角形纸片 ABC 沿底边 BC 上的高 AD 剪成 两个三角形. 用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？ 试一试，分别求出它们的对角线的长. 【选自教材第80页 习题21.3 第13题】14. 如图，矩形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E， F，G，H. 试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论.【选自教材第81页 习题21.3 第14题】解：四边形 EFGH 是正方形.证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠ABC =∠CDA = ∠DCB = 90°.∵AF，BH，CH，DF 分别是四个内角的平分线，∴∠BAF = ∠DAF = ∠ADF = ∠ABE = ∠CBH = ∠BCH = 45°.∴AE = BE，∠HEF = ∠AEB = 180°－45°－45°= 90°，∠F = ∠H = 180°－45°－45°= 90°.∴四边形 EFGH 是矩形.易证△ADF≌△BCH（ASA）. ∴AF = BH.∴AF-AE = BH－BE，即 EF = EH .∴矩形 EFGH 是正方形.15. 如图，一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的笔直 小路，使这两条小路将草地分成面积相等的四部分， 你有多少种方法？与同学交流一下.有多种方法，两条小路均经过正方形对角线的交点且两条小路互相垂直即可.【选自教材第81页 习题21.3 第15题】拓广探索16. 如图，四边形 ABCD 是正方形. G 是边 BC 上任意一点， DE ⊥ AG，垂足为 E；BF∥DE，交 AG 于点 F. 求证：AF－BF = EF.分析：由图易知AF－AE = EF，所以只需证明 BF = AE 即可.通过证明 BF，AE 各自所在的△ABF 与△DAE 全等可得到 BF = AE.【选自教材第81页 习题21.3 第16题】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB = AD，∠BAD = 90°. ∴∠BAF + ∠DAE = 90°.∵DE ⊥ AG，∴∠DEA = ∠DEF = 90°.∵BF∥DE，∴∠AFB = ∠DEF = 90°= ∠DEA.∴∠ABF + ∠BAF = 90°. ∴∠ABF = ∠DAE.∴△ABF≌△DAE（AAS）. ∴AE = BF.∴AF－BF = AF－AE = EF.17. 如图，在△ABC 中，BD，CE 分别是边 AC，AB 上的中线，BD 与 CE 相交于点 O. BO 与 OD 的长度有什么关系？BC 边上的中线是否 一定过点 O？为什么？（提示：分别作 BO，CO 的中点 M，N， 连接 ED，EM，MN，ND.）解：（1）BO = 2OD.（2）BC 边上的中线一定过点 O.【选自教材第81页 习题21.3 第17题】证明：（1）∵E，D 分别是 AB，AC 的中点，∴ED 是△ABC 的中位线，∴ED∥BC，且 ED = BC.∵M，N 分别是 BO，CO 的中点，∴MN 是△OBC 的中位线，OM = BM = BO.  ∴MN∥BC，且 MN = BC . ∴ED MN. ∴四边形 EMND 是平行四边形. ∴OM = OD.又OM = BO，∴BO = 2OD. （2）作三角形 BC 边上的中线，与 BD 相交于点 O′. 同（1）中过程可证 BO′ = 2O′D .∴点 O 与点 O′ 重合，即 BC 边上的中线一定过点 O.18. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 24 cm， BC = 26 cm. 点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动； 同时点 Q 从点 C 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中 一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 从运动开始， 需经过多长时间，才能使 PQ = CD？为什么？分析：由题意可知，需分两种情况讨论：①四边形 PQCD 为平行四边形；②四边形 PQCD 为等腰梯形.【选自教材第81页 习题21.3 第14题】解：经过 6 s或7 s，才能使 PQ = CD.理由：设经过 t s 使 PQ = CD，则 DP = (24－t) cm，QC = 3t cm，分以下两种情况讨论：①四边形 PQCD 为平行四边形，由平行四边形的性质可得 DP = QC，即 24－t = 3t，解得 t = 6；②四边形 PQCD 是等腰梯形，则此时下底 QC 比上底 PD 长2×(26－24) = 4（cm），即 3t－(24－t) = 4，解得 t = 7.综上所述，经过 6 s 或 7 s，才能使 PQ = CD.