初中数学人教版（2024）八年级下册正方形课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册正方形课后测评，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是( )
A. 平行四边形B. 正方形C. 菱形D. 矩形
2.若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是( )
A. 8B. 4 2C. 8 2D. 16
3.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD
4.▱ABCD如图所示，从下列四个条件：①AB=BC；②AC⊥BD；③∠ABC=90∘；④AC=BD中选择两个作为补充条件，使▱ABCD成为正方形．下列四种选法中错误的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①④
5.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
6.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )
A. 15°B. 35°C. 45°D. 55°
二、填空题：
7.一个正方形的面积为5，那么这个正方形的一条对角线的长为 ．
8.如图，正方形ABCD的内部有一个等边三角形ABE，则∠DAE= ．
9.在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，如果AB=5 2cm，那么EF+EG的长为________．
10.如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为 ．
11.如图，在▵ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E，F分别是边AB，AC的中点，则四边形AEDF是 ；当▵ABC满足条件 (仅填写一个条件即可)时，四边形AEDF是正方形．
三、解答题：
12.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，求证：四边形ABCD是正方形．
13.如图，ABCD是一块正方形场地．小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30 m，EB=10 m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
14.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
(1)求证：△ABE≌△CBE；
(2)若∠AEC=140°，求∠DFE的度数．
15.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．
16.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN．
(1)求证：四边形EFMN是正方形；
(2)若AB=7，AE=3，求四边形EFMN的周长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形，平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理是解决此类问题的关键．
利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．
【解答】
解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质．解题关键是知道正方形的面积除了用“边长乘以边长”外，还有一种重要的计算方法，即：对角线乘积的一半．解题时，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半，列式计算即可得求解．
【解答】
解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积=12×4×4=8．
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查正方形的判定，首先根据三个角为90度角的四边形为矩形，再根据矩形中有一组邻边相等即为正方形进行作答即可．
【解答】
解：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，
因此再添加条件：
一组邻边相等，
即可判定为正方形，
本题四个选项中只有选项D符合邻边相等．
4.【答案】A
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
由正方形的性质和平行线的性质得出∠A=90°，∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，从而得出∠AB′E=30°，得出B′E=2AE，设BE=x，得出B′E=x，AE=3−x，从而得出2(3−x)=x，解方程求出x，即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB/​/CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，
∴∠AB′E=30°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，
∴2(3−x)=x，
解得x=2，
∴BE=2．
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°求出AD=AE，∠DAE的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出∠AED，然后根据∠BED=∠AEB−∠AED列式计算即可得解．
【解答】
解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
在等边△ABE中，AB=AE，∠BAE=∠AEB=60°，
在△ADE中，AD=AE，∠DAE=∠BAD+∠BAE=90°+60°=150°，
所以，∠AED=12(180°−150°)=15°，
所以∠BED=∠AEB−∠AED=60°−15°=45°．
故选：C．
7.【答案】 10
8.【答案】30°
9.【答案】5cm
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用正方形的性质解决问题．
根据条件可以得到四边形GEOF是矩形，因而EG=OF，同时易证是等腰直角三角形，因而FE=FC，则FE+OF=OA，根据勾股定理即可求解．
【解答】
解：如图，
∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴∠OGE=∠OFE=90°；
又∵AC⊥BD，
∴四边形OGEF是矩形；
∴EG=OF，
又∵∠DAO=∠FCE=45°，
∴EF=CF，
∴OF+CF=OC=12AC，
∵AC= AB2+BC2= 5 22+5 22=10(cm)，
∴GE+EF=12×10=5(cm)．
故答案为5cm．
10.【答案】1
11.【答案】菱形
∠BAC=90∘/∠B=45∘
12.【答案】证明：∵∠AED=∠CED，
∴∠AEB=∠CEB，
在△BAE和△BCE中，∠BAE=∠BCE∠AEB=∠CEB,BE=BE
∴△BAE≌△BCE(AAS)，
∴BA=BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
13.【答案】解：在Rt△BEC中，
BC= EC2−BE2= 302−102=20 2m，
故面积=BC2=800(m2)，
对角线长= BC2+CD2= 800+800=40m．

14.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=12×90°=45°，
在△ABE和△CBE中，
AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE(公共边)，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵∠AEC=140°，
∴∠CEB=70°，
∵∠DEC+∠CEB=180°，
∴∠DEC=180°−∠CEB=110°，
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC，
∴∠DFE=∠DEC−∠ADB=110°−45°=65°．
【解析】(1)由“SAS”可证△ABE≌△CBE；
(2)由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
15.【答案】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E为AB边的中点，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE= 1×2= 2，GE= 1+2= 3，EF= 2+4= 6，GF= 3+6=3．
另法：取GF的中点H，连接EH，
∵GA//BF，GF和BA不平行，
∴四边形GABF是梯形，
∴EH=GA+BF2(梯形中位线定理)，
∵GA=1，BF=2，
∴EH=32，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2×32=3(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
【解析】求GF的长，可以先求GE、FE的长，E为AB边的中点，得出AE的长是解决此问题的途径，通过证明△AEG∽△BFE可以得出．
本题考查正方形的特殊性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用．
16.【答案】【小题1】
证明：∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90 ∘，
∴▵AEN≌▵BFE≌▵CMF≌▵DNMSAS，
∴NE=EF=FM=MN，∠ENA=∠NMD，
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠NMD+∠DNM=90 ∘，
∴∠ENA+∠DNM=90 ∘，
∴∠ENM=90 ∘，
∴四边形EFMN是正方形；
【小题2】
解：∵AB=7，AE=3，
∴AN=BE=AB−AE=7−3=4，
∴EN= AN2+AE2= 42+32=5，
∴正方形EFMN的周长为：4×5=20．

【解析】1.
结合题意易证▵AEN≌▵BFE≌▵CMF≌▵DNMSAS，得到NE=EF=FM=MN，∠ENA=∠NMD，由∠NMD+∠DNM=90 ∘易证∠ENA+∠DNM=90 ∘即∠ENM=90 ∘，从而证明结论；
2.
由(1)和题意求得AN，利用勾股定理求得正方形边长，从而求得正方形周长．