第十八章 平行四边形-单元复习题 2024-2025学年 人教版八年级数学下册（含答案+解析）

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第十八章 平行四边形一、选择题： 1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是(    )A. ∠ABC=90​∘B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD2.如图，菱形ABCD中，∠D=150∘，则∠1=(    )A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘3.不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(    )A. AB // CD，AD=BCB. AB // CD，∠A=∠CC. AD // BC，AD=BCD. ∠A=∠C，∠B=∠D4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120​∘，则∠C的度数为(    )A. 60​∘B. 70​∘C. 80​∘D. 90​∘5.如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于(    )A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°6.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是(    )A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AFC的面积为(    )A. 6B. 8C. 10D. 128.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是(    )     A. 2.5B. 5C. 32 2D. 2二、填空题： 9.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则E到DF的距离是______．10.木工做一扇长方形的门，量得门的长为2m，宽为1.5m，对角线长为2.7m.这扇门______(填“合格”或“不合格”)．11.菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为______cm2．12.对于四边形ABCD，如果从条件：①AB/​/CD，②AD/​/BC，③AB=CD，④BC=AD中选出两个，那么能说明四边形ABCD是平行四边形的有______.(填序号对)13.如图，在▱ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，F分别是BM，CM的中点．若EF=6，则AM的长为______．14.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=5，BC=18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______．15.如图，菱形ABCD的面积为120cm ​2，正方形AECF的面积为50cm ​2，则菱形的边长为____cm．16.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处.若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为          ．三、解答题： 17. 如图所示，已知□ABCD和□EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE=CF．18.如图，A，B，C是三棵树，藏宝的地点与这三棵树构成一个平行四边形，作出所有可能是藏宝地点的位置．19.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.过点A作AE/​/BD，交CB的延长线于点E．(1)求证：AC=AE;(2)若∠AOB=120∘,AE=8，求BC的长．20.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB=6，求菱形的面积；21.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE．22.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，DE交边BC于点F．(1)求证：BF=CF；(2)若∠A=12∠EFC，求证：四边形BECD是矩形．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=12AC，OB=12BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误．故选D．2.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确得出∠DAB的度数是解题关键．直接利用菱形的性质得出DC/​/AB，∠DAC=∠1，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC/​/AB，∠DAC=∠1，∵∠D=150°，∴∠DAB=180°−150°=30°，∴∠1=12∠DAB=15°．故选D．3.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是正确使用平行四边形的判定．B项：由AB/​/CD得∠C+∠B=180∘，由∠A=∠C得∠B+∠A=180∘，∴AD/​/BC，根据“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形ABCD为平行四边形；C项：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形；D项：由两组对角分别相等可得出两组对边分别平行，根据平行四边形的定义可以判定该四边形为平行四边形．【解答】解：B项：由AB/​/CD得∠C+∠B=180∘，由∠A=∠C得∠B+∠A=180∘，∴AD/​/BC，根据“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形ABCD为平行四边形;C项：根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形;D项：由两组对角分别相等可得出两组对边分别平行，根据平行四边形的定义可以判定该四边形为平行四边形．故选A．4.【答案】A 【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，属于基础题.由AB=CD，BC=AD可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得∠C+∠D=180 ∘，即可求得∠C．【解答】解：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠C+∠D=180 ∘，∵∠D=120 ∘，∴∠C=60 ∘．故选A．5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是折叠与对称的性质，矩形的性质以及三角形的内角和定理．根据折叠的性质，结合三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AD/​/BC，∴∠DEF=∠EFB=65∘，∵折叠的性质，折叠前后角相等，∴∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°−65°−65°=50°，故选C．6.【答案】D 【解析】【分析】能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．【解答】解：要使四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，理由是：连接AC、BD交于点O，根据三角形的中位线定理得：EF/​/AC，EF=12AC，GH/​/AC，GH=12AC，∴EF/​/GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF/​/AC，EH/​/BD，BD⊥AC，∴EH⊥EF，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形．故选D．7.【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据矩形的性质得到∠DCA=∠BAC，由折叠的性质得到∠DCA=∠D′CA，得到∠CAF=∠D′CA，根据等腰三角形的判定定理得到FA=FC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB/​/CD，∴∠DCA=∠BAC，由折叠的性质可知，∠DCA=∠D′CA，∴∠CAF=∠D′CA，∴FA=FC，在Rt△BFC中，BF2+BC2=CF2，即42+(8−AF)2=AF2，解得，AF=5，则△AFC的面积=12×5×4=10，故选C．8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC= 2，CF=3 2，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF= AC2+CF2= 22+(3 2)2=2 5，∵H是AF的中点，∴CH=1212AF=1212×2 5= 5．故选B．9.【答案】2 217 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4，AB/​/CD，AB=CD=3，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∵∠B=60°，EF⊥AB，∴∠FEB=30°，∴BF=1，由勾股定理得：EF= 3，∵AB/​/CD，∴△BFE∽△CHE，∴EFEH=BECE=BFCH=1，∴EF=EH= 3，CH=BF=1，∵DF= 42+( 3)2= 19，∵S△DHF=12DH⋅FH=12×(1+3)×2 3=4 3，∴S△DEF=12S△DHF=2 3，设E到DF的距离是ℎ，∵DF2=AF2+AD2−2AF⋅ADcos120°=22+42+2×2×4×12=28，∴DF=2 7，∵S△DEF=12DF⋅ℎ，即2 3=12×2 7ℎ，∴ℎ=2 217，故答案为：2 217．根据平行四边形的性质得到AB=CD=3，AD=BC=4，求出BE、BF、EF，根据相似得出CH=1，EH= 3，根据三角形的面积公式求△DFH的面积，由余弦定理求得DF，再根据三角形面积公式即可求出答案．本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．10.【答案】不合格 【解析】解：∵22+1.52=6.25，2.72=7.29，∴22+1.52≠2.72，∴这扇门形状不是长方形，∴这扇门不合格，故答案为：不合格．根据勾股定理的逆定理可判断这扇门形状不是长方形，即可得到答案．本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．11.【答案】18 3 【解析】解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E∵菱形ABCD中，其周长为24cm，∴AB=AD=6cm，∴BE=AB⋅sin60°=3 3cm，∴菱形ABCD的面积S=AD⋅BE=18 3cm2．故答案为：18 3．根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出AE的长是解题关键．12.【答案】①②，①③，②④，③④ 【解析】解：能判断四边形ABCD的条件有①②，①③，②④，③④共4对，故答案为：①②，①③，②④，③④．根据平行四边形的判定(①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)得出即可．本题考查了对平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：(①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④有两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．13.【答案】8 【解析】【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，∴EF是△BCM的中位线，∵EF=6，∴BC=2EF=12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=12，∵AM=2MD，∴AM=8，故答案为：8．【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．14.【答案】2秒或3.5秒 【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键．由AD//BC，则PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t=5−t，解方程即可，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t−9=5−t，解方程即可．【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE=CE=12BC=9，∵AD/​/BC，∴PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t=5−t，解得：t=2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t−9=5−t，解得：t=3.5；∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：2秒或3.5秒．15.【答案】13 【解析】【分析】此题考查菱形和正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答，根据菱形和正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC= 2×50=10cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=2×12010=24cm，所以菱形的边长= 1022+2422=13cm．故答案为13．16.【答案】16或4 5 【解析】【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论有关知识，根据翻折的性质，分(i)B′D=B′C，(ii)DB′=CD，(iii)CB′=CD，三种情况进行讨论即可解答．【解答】解：(i)如图1所示：当B′D=B′C时，过B′点作GH/​/AD，则∠B′GE=90°．当B′C=B′D时，AG=DH=12DC=8．由AE=3，AB=16，得BE=13．由翻折的性质，得B′E=BE=13．∴EG=AG−AE=8−3=5，∴B′G= B′E2−EG2= 132−52=12，∴B′H=GH−B′G=16−12=4，∴DB′= B′H2+DH2= 42+82=4 5；(ii)当DB′=CD时，如图2所示：则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C、B重合)；(iii)当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E、C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．综上所述，DB′的长为16或4 5．故答案为16或4 5．17.【答案】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB/​/CD．∴∠BAE=∠DCF，又∵∠DF/​/BE，∴∠BEF=∠DFE，∴∠AEB=∠CFD，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE=CF． 【解析】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由E、F是▱ABCD的对角线AC上两点，DF/​/BE.易证得AB=CD，∠BAE=∠CDF，∠AEB=∠CFD，则可证得△ABE≌△CDF，继而证得结论．18.【答案】如图：∴M1，M2，M3为可能的藏宝地点． 【解析】本题考查了平行四边形的画法，根据平行四边形的性质解决此题，19.【答案】解：(1)证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD//BC，又∵AE/​/BD，∴四边形AEBD是平行四边形．∴BD=AE，∴AC=AE；(2)∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OC=12AC=12AE=4． 【解析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，了解矩形的特殊性质是解答本题的关键，本题难度不大，但综合性较强．(1)由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=AE，证BD=AE即可．可通过证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；(2)只要证明△OBC是等边三角形，即可解决问题．20.【答案】(1)证明：∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，AD=BC，又∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=12AD，CE=12BC，∴AF=CE，∵AF/​/CE，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，又∵∠AEC=90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)；(2)解：∵AB=BC=6，∴BE=3，在Rt△ABE中，AE= 62−32=3 3，∴S菱形ABCD=6×3 3=18 3． 【解析】此题主要考查了矩形的判定以及菱形的性质与面积求法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．(1)首先利用等腰三角形的性质得到AE⊥BC，进而得出∠AEC=90°，再根据菱形的性质得到AD//BC，AD=BC，结合E、F分别是BC、AD的中点，进而可证得四边形AECF是平行四边形，即可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出答案；(2)利用勾股定理得出AE的长，进而求出菱形的面积．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/CD，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE． 【解析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出AB/​/CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，即可得出结论．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB/​/CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形；∴BF=CF；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠A=∠EBC，∵∠EFC=∠EBC+∠FEB，∠A=12∠EFC，∴∠EBC=∠FEB，∴BF=EF，∴BC=DE，∴四边形BECD是矩形． 【解析】此题主要考查的是矩形的判定及平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等；对角线互相平分．(1)先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB/​/CD，再证明四边形BECD是平行四边形，进而可得出结论；(2)根据平行四边形的性质结合三角形外角性质和已知条件可得∠EBC=∠FEB，然后得到BF=EF，进而得到BC=DE，即可得到四边形BECD是矩形．