第十八章 平行四边形 单元复习题 2024-2025学年人教版八年级数学下册（含答案+解析）

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第十八章 平行四边形 一、选择题： 1.下列说法中不正确的是(    ) A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连结OE.若OE=3，则菱形ABCD的周长是(    ) A. 6B. 12C. 18D. 24 3.如图，在四边形ABCD中，已知AB/​/CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是(    ) A. BC/​/AD B. BC=ADC. AB=CD D. ∠A+∠B=180° 4.将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1=40∘，则∠2的度数是(    ) A. 40∘ B. 50∘ C. 60∘ D. 70∘ 5.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为(    ) A. 4 B. 4 3 C. 3 D. 5 6.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有(    ) ①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当∠ABC=90°时，它是矩形：④当AC=BD时，它是正方形． A. 3个 B. 4个 C. 1个 D. 2个 7.如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为(    ) A. 4 5 B. 4 3 C. 10 D. 8 8.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为(    ) A. 29 B. 34 C. 5 2 D. 41 二、填空题： 9.如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN=4，则AC的长为          ． 10.在▱ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B= ______度． 11.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE/​/AC，CE/​/BD，若BD=10，则四边形DOCE的周长为______．  12.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=58°，则∠BAD=______．  13.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=4，AD=3.先将长方形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则FG的长为______． 14.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是______．  15.如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF=6，则AM的长为          ．  16.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值为           三、解答题： 17. 已知D，E，F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE//BD，DE//AC． (1)证明：四边形OCED为菱形；(2)若AC=4，求四边形CODE的周长． 如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE/​/AC，AE//BD.求证：四边形AODE是矩形． 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，延长BC到E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：(1)△ADF≌△ECF．(2)四边形ABCD是平行四边形． 23.用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法． (1)如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线． (2)如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与ΔABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．【解答】解：A.四边相等的四边形是菱形；正确；B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C.菱形的对角线互相垂直但不一定相等；不正确；D.菱形的邻边相等；正确；故选C． 2.【答案】D  【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故选：D．由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6.本题属于基础题，难度不大． 3.【答案】B  【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理得出即可．【解答】解：A.∵AB/​/CD，BC/​/AD，∴根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；B.添加条件AD=BC不能使四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；C.∵AB/​/CD，AB=CD，∴根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；D.∵∠A+∠B=180°，∴AD//BC，∵AB/​/CD，∴根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，此选项不符合题意；故选B． 4.【答案】D  【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．结合平行线的性质得出：∠1=∠3=∠4=40°，再利用翻折变换的性质得出答案．【解答】解：如图，由题意根据平行线的性质可得：∠1=∠3=∠4=40°(两直线平行，内错角相等)，则∠2=∠5=180°−40°2=70°．故选D． 5.【答案】A  【解析】【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD=4，AC=BD，∴OA=OB=4，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4．故选：A． 6.【答案】A  【解析】【分析】 此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理，根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误． 【解答】 解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；故正确的有3个．故选A． 7.【答案】A  【解析】【分析】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB= AE2−BE2=4，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AE，如图：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，AE=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD//BC，∴∠OAF=∠OCE，在△AOF和△COE中，∠AOF=∠COE OA=OC ∠OAF=∠OCE ，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF=CE=5，∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8，∴AB= AE2−BE2= 52−32=4，∴AC= AB2+BC2= 42+82=4 5；故选：A． 8.【答案】D  【解析】【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是ℎ．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD，∴ℎ=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= AB2+AE2= 52+42= 41，即PA+PB的最小值为 41．故选D． 9.【答案】16  【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍数关系．根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质AC=BD=2BO进行求解即可．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是三角形BOC的中位线，∴BO=2MN=8．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=2BO=16．故答案为16． 10.【答案】110  【解析】解：∵平行四边形ABCD，∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，∵∠A+∠C=140°，∴∠A=∠C=70°，∴∠B=110°．故答案为：110．根据平行四边形的性质，对角相等以及邻角互补，即可得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 11.【答案】20  【解析】【分析】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．首先由CE/​/BD，DE/​/AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=5，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【解答】解：∵CE/​/BD，DE/​/AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OC=OD=12BD=5，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20．故答案为：20． 12.【答案】122°  【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵∠EAF=58°，∴∠C=360°−58°−90°−90°=122°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C=122°．故答案为：122°．直接利用四边形内角和定理结合平行四边形的性质得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出∠C的度数是解题关键． 13.【答案】 2  【解析】解：由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，∴EB=AB−AE=1，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC=ED=1，∵AB/​/FC，∴∠GFC=∠A=45°，∴GC=FC=1，∴FG= CG2+FC2= 1+1= 2，故答案为： 2．根据折叠的性质得到∠DAF=∠BAF=45°，根据矩形的性质得到FC=ED=2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 14.【答案】8  【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到AC=AF，∠CAF=90°，证明△CAE≌△AFB，根据全等三角形的性质得到EC=AB=4，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠EAC+∠FAB=90°，∵∠ABF=90°，∴∠AFB+∠FAB=90°，∴∠EAC=∠AFB，在△CAE和△AFB中，{AEC=∠FBA∠CAE=∠AFBAC=AF,∴△CAE≌△AFB，∴EC=AB=4，∴阴影部分的面积=12×AB×CE=8，故答案为8． 15.【答案】8  【解析】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，∴EF是△BCM的中位线，∵EF=6，∴BC=2EF=12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=12，∵AM=2MD，∴AM=8，故答案为：8．根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 16.【答案】65  【解析】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵12AP·BC=12AB·AC，∴AP·BC=AB·AC．∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=125，∴AM=65；故答案为：65．先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键． 17.【答案】证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE/​/AC，DE=AF，EF/​/AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．  18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB/​/DC，∴AE//CF，又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．  【解析】由平行四边形的对边平行可得AE/​/CF，又因为AE=CF，所以四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的对边得出AF=CE．本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 19.【答案】(1)证明：∵CE/​/BD，DE/​/AC，∴四边形CODE为平行四边形，        又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC，                     ∴四边形CODE为菱形；(2)解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12AC，                  又∵AC=4，∴OC=2，                            由(1)知，四边形CODE为菱形，∴四边形CODE的周长为=4OC=2×4=8．  【解析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．(1)首先由CE/​/BD，DE/​/AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，(2)求出OC=OD=2，由菱形的性质即可得出答案． 20.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°，∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中∠BCE=∠ABFBC=AB∠CBE=∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴BE=AF．  【解析】直接利用已知得出∠BCE=∠ABF，进而利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE．此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△ABF是解题关键． 21.【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE/​/AC，AE/​/BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．  【解析】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形． 22.【答案】证明：(1)∵AD/​/BC，∴∠DAF=∠E，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，在△ADF与△ECF中，∠DAF=∠E∠AFD=∠EFCDF=CF,∴△ADF≌△ECF(AAS)；(2)∵△ADF≌△ECF，∴AD=EC，∵CE=BC，∴AD=BC，∵AD/​/BC，∴四边形ABCD是平行四边形．  【解析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质有关知识．(1)根据平行线的性质得到∠DAF=∠E，根据线段中点的定义得到DF=CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到AD=EC，等量代换得到AD=BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 23.【答案】解：(1)连接AB，EF，交点设为P，射线OP即为所求；(2)如图上图所示，平行四边形MBCN即为所求．  【解析】本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键．(1)连接AB，EF，交点设为P，射线OP即为所求；(2)根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答．