人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形说课ppt课件

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21.3.1 矩形（第2课时）1. 理解并掌握矩形的判定方法．2. 通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，培养分析问题和解决问题的能力．学习目标3. 能应用矩形的判定方法进行证明和计算．问题1 矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.问题2 矩形有哪些性质？回顾 我们在研究平行四边形的判定时，用了什么判定方法？定义法、性质定理的逆命题.问题 类比平行四边形的判定，如何研究矩形的判定？定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质定理的逆命题：性质1 矩形的四个角都是直角.性质2 矩形的对角线相等. 你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？ 同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？ 我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？等腰梯形的两条对角线也相等.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，∴ △ABC≌△DCB .∴∠ABC=∠DCB .∵ AB∥CD，∴∠ABC +∠DCB = 180°.∴ ∠ABC=90°.∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).尝试证明对角线相等的平行四边形是矩形.几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， 且 AC = BD.∴四边形 ABCD 是矩形.矩形的判定定理1：数学来源于生活 工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？对角线相等的平行四边形是矩形. 如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.提示：（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.（方法二）S▱ABCD = 4 S△OAB .【选自教材第71页 练习 第2题】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，又△OAB 是等边三角形，AB = 2，∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.   我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.成立.至少有几个角是直角的四边形是矩形？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD .∴四边形 ABCD 是平行四边形.又∠B = 90°，∴四边形ABCD是矩形.尝试证明有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定理2：几何语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形 ABCD 是矩形.练 习1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）B2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.求证：四边形ABCD是矩形.证明：由四边形的内角和为360°，得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∴四边形 ABCD 是矩形.【选自教材第71页 练习 第1题】 如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.例 2证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD .∴∠BAD + ∠ADC = 180°.又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，∴∠F = 90°.同理∠H = ∠AEB = 90°.∴∠FEH = ∠AEB = 90°.∴四边形 EFGH 是矩形.练 习 如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.【选自教材第71页 练习 第3题】证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.∵AB = AC，D 是 BC 的中点，又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC. 判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.四边形有三个角是直角矩形对角线互相平分且相等矩形平行四边形对角线相等矩形有一个角是直角矩形 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB=60°，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，CE，CF，AF.（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB=3，求矩形AECF的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵E，F分别是OB，OD的中点，∴OE= OB，OF= OD．∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥AB，∠AOB=60°，∴∠BAO=90°，∠ABO=30°，∴OA= OB=OE．∴AC=EF，∴□AECF为矩形．   （2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF，∠AOB=60°，∠ABO=30°，∴△OAE是等边三角形，∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．∴AE=OA，AF=AB=3．在Rt△OAB中，由勾股定理易得OA= ，∴AE=OA= ．∴矩形AECF的面积=AF·AE= ．    判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.