初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线精品课件ppt

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线精品课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了第1题，第3题等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题； 3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
16.2.2线段的垂直平分线的性质定理逆定理是人教版八年级数学上册的内容，它和原定理互为逆定理，是判定点在线段垂直平分线上的关键依据。下面依旧以幻灯片形式呈现，适配课堂教学需求：## 第1页：复习导入——逆向思维引出新知1. **回顾原定理** - 提问：线段垂直平分线的性质定理是什么？（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）； - 符号语言回顾：∵直线l垂直平分AB，点P在l上，∴PA=PB。2. **逆向设问导入** - 思考：把原定理的题设和结论互换，得到的命题是否成立？即“若一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？” - 引出课题：今天我们就来验证这个命题，探究线段垂直平分线性质定理的逆定理。## 第2页：核心探究——逆定理的证明1. **明确命题要素** - 已知：如图，点P是平面内一点，且PA=PB； - 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。2. **分情况严谨证明** - 情况1：点P不在线段AB上。作PC⊥AB于点C，则∠PCA=∠PCB=90°。在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=CB。又∵PC⊥AB，∴PC是线段AB的垂直平分线，故点P在AB的垂直平分线上。 - 情况2：点P在线段AB上。∵PA=PB，∴点P是线段AB的中点，而线段的中点必然在其垂直平分线上，因此点P在AB的垂直平分线上。3. **逆定理最终确立** 综上，得出逆定理：**与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上**。## 第3页：定理表述与互逆关系1. **逆定理的符号语言** 简洁表达：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上。2. **原定理与逆定理的互逆关系** |维度|线段垂直平分线的性质定理|线段垂直平分线性质定理的逆定理| | ---- | ---- | ---- | |核心作用|已知点在垂直平分线上，推导距离相等|已知点到两端距离相等，推导点在垂直平分线上| |逻辑关系|题设和结论互为颠倒|题设和结论互为颠倒| |属性|二者互为逆定理，均为真命题|二者互为逆定理，均为真命题|## 第4页：逆定理的核心应用1. **确定线段垂直平分线** 若能找到两个到线段AB两端距离相等的点P、Q，根据逆定理可知P、Q均在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，故直线PQ即为线段AB的垂直平分线。2. **证明三角形外心性质** 三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心）。证明：设△ABC中，AB、BC的垂直平分线交于点O，由原定理得OA=OB，OB=OC，故OA=OC，再由逆定理可知O在AC的垂直平分线上，即三点的垂直平分线交于O点，且O到三个顶点距离相等。3. **解决实际选址问题** 例：要建一个超市，使其到A、B两个小区的距离相等，超市应建在何处？答案：线段AB垂直平分线上的任意一点。## 第5页：例题精讲——逆定理的实战运用1. **基础例题** 例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE。求证：点A在DE的垂直平分线上。 证明：∵AB=AC，BD=CE，∴AB - BD=AC - CE，即AD=AE。根据逆定理，点A在线段DE的垂直平分线上。2. **进阶例题** 例2：如图，△ABC的外角∠CAM的平分线与BC的垂直平分线交于点P，求证：PB=PC。 证明：过P作PD⊥AM于D，PE⊥AC于E。∵AP平分∠CAM，∴PD=PE。又∵P在BC的垂直平分线上，∴PB=PC。## 第6页：易错点警示与分层练习1. **常见易错点** - 混淆定理应用：误将逆定理当作原定理使用，比如未证明距离相等就直接说点在垂直平分线上； - 忽略特殊情况：证明逆定理时，遗漏点P在线段AB上的情况，导致证明不完整。2. **分层练习** - 基础题：若点P满足PA=PB，QA=QB，且PQ交AB于点O，求证：AO=BO（提示：利用逆定理可知P、Q在AB的垂直平分线上，故PQ是垂直平分线，进而得AO=BO）； - 提高题：在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC=100°，求∠BAC的度数（答案：50°，利用外心性质和三角形内角和推导）。## 第7页：课堂小结1. **知识梳理** 逆定理的内容是到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上，它与原定理互为逆定理，二者共同构建了线段与点的位置和距离关系的完整逻辑；2. **能力提升** 学会用逆向思维推导定理，掌握“证明全等→推导结论”的几何逻辑，能运用逆定理解决作图、证明、实际应用等三类问题，为后续三角形综合证明奠定基础。
反过来，到线段两端相等的点在这条线段的垂直平分线上吗？
请写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题，并且写出这个逆命题的已知和求证，猜想这个命题的真假，并试着说明理由.
已知：如图，点P为线段AB外一点，且PA =PB．求证：点P 在l AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线性质定理逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
符号语言：∵PA =PB∴点P在AB的垂直平分线上
作用：这是判断一条直线是某线段的垂直平分线的方法！注意：两点确定一条直线！
判断线段垂直平分线的方法：1.定义法（垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.）2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理（推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线.）
证明:如图所示,连接PA,PB,PC. ∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线，∴PA=PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上.
三角形三边的中垂线交于一点，这点到三角形的三个顶点距离相等.
1.河边有两个村庄A、B，要在河岸CD上建一自来水厂P，使水厂到A、B两村的距离相等，请找出P的位置.
2.如图所示，点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在(　　)的垂直平分线上. A.AB B.AC C.BC D.不能确定
2. 有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的( )
A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点