2023-2024学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共39页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
2．（2分）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
4．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x1，1）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A．0＜x2＜x1B．0＜x1＜x2C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
6．（2分）如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（ ）
A．13cs40°海里B．13sin40°海里
C．海里D．海里
7．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（ ）
A．B．2C．D．
8．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①△ABD≌△CAE；
②∠BFE＝60°；
③△AFB∽△ADF；
④若，则．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式 ．
10．（2分）如图，M为反比例函数的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k的值为 ．
11．（2分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为 ．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则△CEF和△ADF的面积比为 ．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OC＝3，，则CD的长为 ．
14．（2分）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 cm．
15．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC＝1且∠BOC＝60°，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为 ．
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：sin30°•tan45°+tan30°﹣cs245．
18．（4分）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中：①∠E＝∠A；②，选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为 时，y＞﹣3．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，，BD＝1，求sin∠BCD及AC的长．
21．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求作：射线BP，使得．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②延长BA交⊙A于点D，以点D为圆心，BC长为半径画弧，与⊙A交于点P（点C，P在线段BD的同侧）；
③作射线BP．
射线BP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接AP，DP．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵，
∴（ ）（填推理依据）．
∵DP＝BC，
∴∠DAP＝ ．
∴．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）在双曲线上，点B在双曲线上，且满足OA⊥OB，连接AB．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求k2的值．
23．（6分）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为的中点，过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E．
（1）求证：四边形DECP是矩形；
（2）作射线AD交BC的延长线于点F，若，BC＝6，求DF的长．
25．（6分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．
（1）抛物线C1的最高点坐标为 ；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 ．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（0，3），（6，y1）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）当y1＝3时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣1），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）当a＞0时，点（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，请直接写出m的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE＝DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F．
（1）如图1，当点D为CM的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出BF和DE的数量关系为 ；
（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于在平面直角坐标系xOy中⊙T和⊙T外的点P，给出如下定义：已知⊙T的半径为1，若⊙T上存在点Q，满足PQ≤2，则称点P为⊙T的关联点．
（1）如图1，若点T的坐标为（0，0），
①在点P1（3，0），P2（3，﹣2），P3（﹣2，2）中，是⊙T的关联点的是 ；
②直线y＝2x+b分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在⊙T的关联点，求b的取值范围；
（2）已知点，D（1，0），T（m，1），△COD上的每一个点都是⊙T的关联点，直接写出m的取值范围．
2023-2024学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
【分析】根据直线和圆的位置关系定理可得出答案．
【解答】解：根据图形可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系定理是解决问题的关键．
2．（2分）如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵＝，
∴3m＝2n，
故A不符合题意；
B、∵＝，
∴2m＝3n，
故B符合题意；
C、∵＝，
∴3m＝2n，
故C不符合题意；
D、∵＝，
∴mn＝6，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3
【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为y＝2（x+2）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
4．（2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．90°
【分析】由圆周角定理得到∠ABC＝90°，由∠BAC＝40°，求出∠C＝90°﹣40°＝50°，即可得到∠D＝∠C＝50°．
【解答】解：∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠D＝∠C＝50°．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x1，1）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（ ）
A．0＜x2＜x1B．0＜x1＜x2C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
【分析】结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再结合点A，B的坐标即可解答．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴反比例函数图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A（x1，1）和B（x2，4）都在第一象限，
∵4＞1＞0，
∴x1＞x2＞0．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．
6．（2分）如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（ ）
A．13cs40°海里B．13sin40°海里
C．海里D．海里
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝13海里，∠OAB＝40°，
∵cs∠OAB＝，
∴AB＝OA•cs∠OAB＝13cs40°（海里），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根据csA的值设出AD和AB，进而求出BD和CD，再利用勾股定理求出BC即可解答．
【解答】解：∵，
设AD＝3x，AB＝5x，
∵AB＝AC，
∴CD＝2x，
在Rt△ABD中，BD＝＝4x，
∴在Rt△BCD中，BC＝＝2x，
∴sin∠CBD＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系和勾股定理是解决本题的关键．
8．（2分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①△ABD≌△CAE；
②∠BFE＝60°；
③△AFB∽△ADF；
④若，则．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABD，由外角的性质可求∠BFE＝60°，通过证明△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD，可得，，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），故①正确；
∴∠DAF＝∠ABD，BD＝AE，
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，故②正确；
∵∠DAF＝∠ABD，∠ADF＝∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，故③错误；
∴，
∵，
∴设AD＝x＝CE，则AC＝AB＝3x＝BC，CD＝2x＝BE，
∴AF•BD＝3x2，
∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，
∴△BFE∽△BCD，
∴，
∴BF•BD＝6x2，
∴＝，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）写出一个开口向下且过（0，1）的抛物线的表达式 y＝﹣2x2+1（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．
【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣2x2+1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣2x2+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．
10．（2分）如图，M为反比例函数的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k的值为 6 ．
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△AOM＝|k|＝3，然后根据k＞0去绝对值得到k的值．
【解答】解：∵MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，
∴S△AOM＝|k|＝3，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
11．（2分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则长为 π ．
【分析】设正六边形ABCDEF的圆心为点O，易求∠BOC的度数，则△BOC为等边三角形，圆的半径也可求出，进而利用弧长公式计算即可．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的圆心为点O，
∵∠BOC＝＝60°，OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，弧长的计算公式，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则△CEF和△ADF的面积比为 1：4 ．
【分析】证明△ECF∽△DFA即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ECF∽△DFA，
∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∴EC：AD＝1：2，
∴△CEF和△ADF的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OC＝3，，则CD的长为 2 ．
【分析】连接OA，由垂径定理得到AD＝AB＝2，由勾股定理求出OD＝＝1，即可得到CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．
【解答】解：连接OA，
∵半径OC垂直弦AB于点D，
∴AD＝AB，
∵，
∴AD＝2，
∵OA＝OC＝3，
∴OD＝＝1，
∴CD＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理、垂径定理求出OD的长．
14．（2分）小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是 3 cm．
【分析】设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB，由切线的性质定理得到OB⊥AB，由切线长定理推出OA平分∠BAC，求出∠BAC＝180°﹣60°＝120°，得到∠OAB＝60°，由锐角的正切求出OB＝3tan60°＝3（cm），得到这个零件的半径是3cm．
【解答】解：设圆形零件的圆心是O，连接OA，OB，
∵⊙O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C，
∴OB⊥AB，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠OAB＝60°，
∵tan∠OAB＝tan60°＝，
∴OB＝3tan60°＝3（cm），
∴这个零件的半径是3cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，关键是由切线长定理推出∠OAB＝∠BAC．
15．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC＝1且∠BOC＝60°，点D是的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为 ．
【分析】过D作DM⊥AB交圆于M，连接MC交AB于P，连接PD，得到D和M关于AB对称，此时PC+PD最小，由垂径定理得到＝，由∠BOC＝60°，D是中点，求出∠MOB＝30°，得到∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°，由等腰直角三角形的性质求出MC＝OC＝，由线段垂直平分线的性质得到PD＝PM，得到PC+PD＝CM＝，即可得到CP+DP的最小值为．
【解答】解：过D作DM⊥AB交圆于M，连接MC交AB于P，连接PD，
∴直径AB垂直平分DM，
∴D和M关于AB对称，此时PC+PD最小，
由垂径定理得：＝，
∵∠BOC＝60°，D是中点，
∴∠MOB＝×60°＝30°，
∴∠MOC＝∠BOC+∠MOB＝90°，
∵OC＝OM＝1，
∴△OCM是等腰直角三角形，
∴MC＝OC＝，
∵直径AB垂直平分MD，
∴PD＝PM，
∴PC+PD＝PC+PM＝CM＝，
∴CP+DP的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，轴对称﹣最短路线问题，关键是作D关于AB的对称点M，连接MC交AB于P，得到P到C、D的距离和最小．
16．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；
②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；
③当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断；
④根据顶点坐标和b＝﹣2a，进而可以判断．
【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③由图象知，当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以③正确；
④∵c＞1，a＜0，
∴4a＞4ac，
∴4a+b2＞4ac，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）
17．（5分）计算：sin30°•tan45°+tan30°﹣cs245．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而得出答案．
【解答】解：原式＝×1+×﹣（）2
＝+1﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．
18．（4分）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中：①∠E＝∠A；②，选择一个作为添加的条件，求证：△EDB∽△ABC．
【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可．
【解答】证明：选择①∠E＝∠A时，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠ABC，
∵∠E＝∠A，
∴△EDB∽△ABC；
选择②时，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠ABC，
，
∴△EDB∽△ABC．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为 ﹣3＜x＜5 时，y＞﹣3．
【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）先利用对称性确定函数值为﹣3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解．
【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2），
解得a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+x+；
（2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1），
（3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5，
∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3．
故答案为：﹣3＜x＜5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，，BD＝1，求sin∠BCD及AC的长．
【分析】根据正切的定义求出∠BCD，根据特殊角的三角函数值求出sin∠BCD，直角三角形的性质求出∠A＝30°，根据正弦的定义计算，求出AC．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
在Rt△CDB中，BD＝1，CD＝，
则tan∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°，
∴sin∠BCD＝sin30°＝，
∵∠B+∠BCD＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝30°，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∴AC＝＝＝2．
【点评】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
21．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求作：射线BP，使得．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②延长BA交⊙A于点D，以点D为圆心，BC长为半径画弧，与⊙A交于点P（点C，P在线段BD的同侧）；
③作射线BP．
射线BP即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接AP，DP．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵，
∴（ 圆周角定理 ）（填推理依据）．
∵DP＝BC，
∴∠DAP＝ ∠BAC ．
∴．
【分析】（1）根据作法进行作图即可．
（2）根据圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系可得答案．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接AP，DP．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵，
∴（圆周角定理）．
∵DP＝BC，
∴∠DAP＝∠BAC．
∴．
故答案为：圆周角定理；∠BAC．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）在双曲线上，点B在双曲线上，且满足OA⊥OB，连接AB．
（1）求双曲线的表达式；
（2）若，求k2的值．
【分析】（1）将点A代入双曲线 之中求出k1＝2，进而可得双曲线的表达式；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，先证△BOD和△OAC相似，从而得 ，再根据点A的坐标得OC＝1，AC＝2，，，进而得，，由此可得点B的坐标为，然后再将点B的坐标代入双曲线之中即可求出k2的值．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在双曲线 上，
∴k1＝1×2＝2，
∴；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如下图所示：
∴∠AOC+∠OAC＝90°，∠BDO＝∠OCA＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝∠OAC，
∴△BOD∽△OAC，
∴，
∵A的坐标为（1，2），
∴OC＝1，AC＝2．
∵Rt△AOB 中，
∴，
∴，，
∴B的坐标为 ，
∴将 代入 ，得：k2＝＝﹣4．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，正确地作出辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
23．（6分）某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈．）
【分析】根据题意可得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，然后在Rt△AGE中，利用锐角三角函数的定义可得AG＝GE，从而可设AG＝GE＝x m，则GD＝（x+7）m，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义可得4AG≈3GD，从而可得4x≈3（x+7），最后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：BG＝CD＝EF＝1.5m，DE＝CF＝7m，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴AG＝GE，
设AG＝GE＝x m，
∵DE＝7m，
∴GD＝EG+DE＝（x+7）m，
在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，
∴tan37°＝≈，
∴4AG≈3GD，
4x≈3（x+7），
解得：x＝21，
∴AB＝AG+GB＝21+1.5＝22.5（m），
答：塔高AB的长约为22.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为的中点，过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E．
（1）求证：四边形DECP是矩形；
（2）作射线AD交BC的延长线于点F，若，BC＝6，求DF的长．
【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理、切线的性质求出∠ACP＝90°，∠DEC＝90°，∠PDE＝90°，根据“三个角是直角的四边形是矩形”即可得解；
（2）解直角三角形及根据垂径定理求出AC＝8，AB＝10，AE＝EC＝4，OE＝3，DE＝OD﹣OE＝2，AD＝2，根据矩形的性质得出OD∥BF，根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵点D为 的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵DP是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DP，
∴∠PDE＝90°，
∴四边形DECP是矩形；
（2）解：如图补全图形，
在Rt△ABC中，BC＝6，，
∴AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝AC＝4，
在Rt△AEO中，OA＝5，AE＝4，
∴OE＝＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝2，
在Rt△AED中，DE＝2，AE＝4，
∴AD＝＝2，
∵四边形DECP是矩形，
∴OD∥BF，
∴，
∴．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、切线的性质、解直角三角形等知识，熟练运用矩形的判定与性质、垂径定理是解题的关键．
25．（6分）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分．
（1）抛物线C1的最高点坐标为 （3，2） ；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 4或5 ．
【分析】（1）依据题意，由抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2可得最高点坐标，进而可以得解；
（2）依据题意，可得B（6，1），将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，从而得解析式，再令x＝0，可得c的值；
（3）依据题意，根据点B的取值范围代入解析式可求解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）．
故答案为：（3，2）．
（2）由题得，B（6，1）．
将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2，
∴．
∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2．
∴当x＝0时，y＝c＝1．
（3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1），
当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+1+1，
解得：n＝．
当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1，
解得：n＝，
∴≤n≤，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
故答案为：4或5．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（0，3），（6，y1）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上．
（1）当y1＝3时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣1），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）当a＞0时，点（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上．若y2＜y1＜c，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）当y1＝3时，（0，3），（6，3）为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把（0，3），（﹣1，﹣1）代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分a＞0和a＜0，由函数的增减性求出a的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据y2＜y1＜c确定m的取值范围．
【解答】解：（1）当y1＝3时，（0，3），（6，3）为抛物线上的对称点，
∴x＝＝3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3；
（2）∵y＝ax2+bx+c（a≠0）过（0，3），（﹣1，﹣1），
∴c＝3，a﹣b+3＝﹣1，
b＝a+4，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
①当a＞0时，
∵﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴，
解得a≤4，
∴0＜a≤4；
②当a＜0时，
∵﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
∴，
综上：a的取值范围是 或0＜a≤4；
（3）∵点（0，3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴c＝3，
∵点（m﹣4，y2），（m，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
∴对称轴为直线x＝＝m﹣2，
①如图所示：
∵y2＜y1＜c，
∴m＜6且m﹣2＞＝3，
∴5＜m＜6；
②如图所示：
∵y2＜y1＜c，
∴m﹣4＞6，
∴m＞10，
综上所述，m的取值范围为5＜m＜6或m＞10．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE＝DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F．
（1）如图1，当点D为CM的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出BF和DE的数量关系为 BF＝2DE ；
（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF与DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①依题意补全图形即可；
②由等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，BM＝CM，再证△CDE是等腰直角三角形，得DE＝CD，即可得出结论；
（2）设AM与EF交于点N，连接EM、EC，由等腰直角三角形的性质得，∠AMC＝∠AMB＝90°，再证∠EMC＝∠EMA，进而证△AME≌△CME（SAS），得∠EAM＝∠ECM，则∠EFC＝∠ECM，得EF＝EC，然后由等腰三角形的性质得CF＝2DC，即可解决问题．
【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1，．
②BF＝2DE，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵DE＝DM，
∴DE＝CD＝DM＝CM，
∴BM＝2DE，
即BF＝2DE，
故答案为：BF＝2DE；
（2）BF＝2DE，证明如下：
如图2，设AM与EF交于点N，连接EM、EC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，M为BC中点，
∴，∠AMC＝∠AMB＝90°，
∴BC＝2BM＝2CM，
∵DE＝DM，DE⊥BC，
∴△EDM是等腰直角三角形，
∴∠EMC＝45°，
∴∠EMA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EMC＝∠EMA，
∵EM＝EM，
∴△AME≌△CME（SAS），
∴∠EAM＝∠ECM，
在△ANE和△FNM中，EF⊥AE，∠AMB＝90°，∠ANE＝∠FNM，
∴∠NAE＝∠NFM（即∠EFC），
∴∠EFC＝∠ECM，
∴EF＝EC，
∵DE⊥BC，
∴CF＝2DC，
∵BC＝2CM，
∴BF＝BC﹣CF＝2CM﹣2DC＝2（CM﹣DC）＝2DM＝2DE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（7分）对于在平面直角坐标系xOy中⊙T和⊙T外的点P，给出如下定义：已知⊙T的半径为1，若⊙T上存在点Q，满足PQ≤2，则称点P为⊙T的关联点．
（1）如图1，若点T的坐标为（0，0），
①在点P1（3，0），P2（3，﹣2），P3（﹣2，2）中，是⊙T的关联点的是 P1，P3 ；
②直线y＝2x+b分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在⊙T的关联点，求b的取值范围；
（2）已知点，D（1，0），T（m，1），△COD上的每一个点都是⊙T的关联点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①求出三点到圆心的距离，通过关联点定义判断；
②分类讨论，画出临界点，求出临界点是b的值，从而求出b的取值范围；
（2）分类讨论，通过画图发现数量关系，通过解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：（1）①由关联点的定义可知，当OP≤3时，点P为⊙T的关联点，
∵P1（3，0），P2（3，﹣2），P3（﹣2，2），
∴OP1＝3，，，
∵，
∴点P1和点P3是⊙T的关联点；
故答案为：P1，P3；
②如图所示，点P在直线AB上，OP⊥AB，且OP＝3，
由直线y＝2x+b分别交x轴，y轴于点A，B，得，B（0，b），
当线段AB在第二象限时，则OA＝，OB＝b，AB＝，
∵∠APO＝∠AOB＝90°，∠PAO＝∠OAB，
∴△AOP∽△ABO，
∴，即，解得，
另外当0＜b≤1时，线段AB在⊙T内部，此时线段AB上没有⊙T的关联点，则得，
当线段AB在第四象限时，同理可得 ；
综上所示，当得或 ，时，线段AB存在⊙T的关联点；
（2）如图所示，
由△COD上的每一个点都是⊙T的关联点，可知△COD需在以T为圆心1和3为半径，所构成的圆环中，
①若点T在第二象限，可得DT≤3，点T到OC距离大于1方能保证△COD在圆环内，
得，解得，
②若点T在第一象限，可得OT≤3，点T到线段CD的距离大于1方能保证△COD在圆环内，
得，解得，
设直线CD解析式为y＝kx+b，代入点，D（1，0），得直线CD解析式为，
∵T（m，1），
∴E，
∴ET＝，
过点T作ET∥x轴，交CD于点E，作FT⊥CD，交CD于点F，
∵∠TEF＝∠CDO，∠TFE＝∠COD＝90°，
∴△COD∽△TFE，
∴，得，由FT≥1，
得，
解得，
得，
综上所述， 或．
【点评】本题考查新定义概念的判断，相似的性质和判断，待定系数法求函数解析式，难点在于分类讨论画图图象并通过图象得到不等式，从而解出取值范围．x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
…
x
…
﹣3
﹣1
1
3
…
y
…
﹣3
0
1
0
…