2023-2024学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共32页。
2023-2024学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列交通标志图中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．（2分）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　）A．﹣15B．﹣3C．3D．153．（2分）关于二次函数y＝2（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）A．当x＝1时，有最小值为2B．当x＝1时，有最大值为2C．当x＝﹣1时，有最小值为2D．当x＝﹣1时，有最大值为24．（2分）在下列事件中，随机事件是（　　）A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C．通常情况下，自来水在10℃结冰D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为25．（2分）如图，正方形ABCD的边长AB＝6，则其外接圆⊙O的半径为（　　）A．3B．3C．6D．66．（2分）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）A．7000（1+x）2＝8470B．7000x2＝8470C．7000（1+2x）＝8470D．7000（1+x）3＝84707．（2分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）A．B．C．D．8．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　）A．B．24C．26D．52二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 　 　．10．（2分）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　 　．11．（2分）为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 　 　（结果保留两位小数）；（2）若在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有 　 　个能发芽．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 　 　．13．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+8x+3，当x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值可以是 　 　（写出一个即可）．14．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝40°，则∠OBA的大小是 　 　°．15．（2分）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为4m时，高度达到最大值3m．铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，该二次函数的解析式为，若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy，则该二次函数的解析式为 　 　．16．（2分）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序．施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 　 　天完成；（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 　 　万元．三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，23题5分，24-26题，每题6分，17．（5分）解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0．18．（5分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．求作：⊙O，使得△ACB的三个顶点都在⊙O上．作法：①作边AB的垂直平分线．交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O为所求作的圆．（1）利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC．由作图可知，OB＝OA＝AB．∴点B在⊙O上．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴ 　 　（ 　 　）（填推理依据）．∴OC＝OA．∴点C在⊙O上．∴△ACB的三个顶点都在⊙O上．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）用描点法画出该二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围．20．（5分）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，CD＝2，求⊙O的半径的长．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．23．（5分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），OA＝3，OB＝4，且∠AOB＝150°，线段OA关于直线OB对称的线段为OA'，将线段OB绕点O逆时针旋转45°得到线段OB'；（1）画出线段OA'，OB'；（2）将线段OB绕点O逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段OC'，连接A'C．若A'C'＝5，求∠B'OC'的度数．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，，求CD的长．25．（6分）食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题：（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1（%）与浸泡时间t（分）之间的关系，方式二中农药的去除率y2（%）与食用碱溶液的浓度x（%）之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为 　 　分钟；（3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x%中，x的取值范围可以是 　 　．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）求t的值；（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时（图2中BD＜CD，图3中BD＞CD），F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P和直线l1，l2．点P关于直线l1，l2“和距离”的定义如下：若点P到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则称d1+d2为点P关于直线l1，l2的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线l1上时，d1＝0；当点P在直线l2上时，d2＝0．（1）在点P1（3，0），P2（﹣1，2），P3（4，﹣1）中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是 　 　；（2）若P是直线y＝﹣x+3上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为 　 　；（3）已知点A（0，3），⊙A的半径为1．若P是⊙A上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围．2023-2024学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列交通标志图中，是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】结合中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2分）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　）A．﹣15B．﹣3C．3D．15【分析】直接把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣2x﹣m＝0得9﹣6﹣m＝0，解得m＝3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（2分）关于二次函数y＝2（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）A．当x＝1时，有最小值为2B．当x＝1时，有最大值为2C．当x＝﹣1时，有最小值为2D．当x＝﹣1时，有最大值为2【分析】根据二次函数解析式得出函数最值即可解答．【解答】解：∵a＝2＞0，∴当x＝1时有最小值为2，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值的知识，根据开口方向确定最值是解答本题的关键．4．（2分）在下列事件中，随机事件是（　　）A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球C．通常情况下，自来水在10℃结冰D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，不符合题意；B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，不符合题意；C、通常情况下，自来水在10℃结冰，是不可能事件，不符合题意；D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（2分）如图，正方形ABCD的边长AB＝6，则其外接圆⊙O的半径为（　　）A．3B．3C．6D．6【分析】连接BD．由题意，△ABD是等腰直角三角形，故可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．由题意，△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝AD＝6，∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD＝AB＝6，∴OB＝BD＝3．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6．（2分）北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）A．7000（1+x）2＝8470B．7000x2＝8470C．7000（1+2x）＝8470D．7000（1+x）3＝8470【分析】利用第三周接待游客人数＝第一周接待游客人数×（1+这两个月的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得7000（1+x）2＝8470，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2分）如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）A．B．C．D．【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可．【解答】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形，其中扇形的半径为1m，圆心角最大角度为72°，∴扇形的最大面积为：＝（m2），故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形的面积公式．8．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　）A．B．24C．26D．52【分析】连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，由切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，而OD＝OE＝OF＝2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，即可由S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC求得S△ABC＝26，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵OD＝OE＝OF＝2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×6×2+×12×2+×8×2＝26，故选：C．【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是 　y＝2x2﹣3　．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是y＝2x2﹣3．故答案为：y＝2x2﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．（2分）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 　10　．【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值．【解答】解：方程x2+6x﹣1＝0，移项得：x2+6x＝1，配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，则n＝10．故答案为：10．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2分）为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：（1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 　0.95　（结果保留两位小数）；（2）若在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有 　9500　个能发芽．【分析】（1）用大量重复实验后的频率估计概率即可；（2）根据概率求得答案即可．【解答】解：（1）观察表格发现：随着实验次数的增加，发芽的频率逐渐稳定在0.95左右，、所以估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为0.95，故答案为：0.95；（2）根据题意得10000×0.95＝9500，所以在相同条件下播种该品种小麦10000个，则约有9500个能发芽．故答案为：9500．【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率能估计概率，难度不大．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 　（﹣1，﹣2）　．【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．【解答】解：∵点A的坐标为（1，2），点B与点A关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+8x+3，当x＞m时，y随x的增大而减小，则m的值可以是 　4（答案不唯一）　（写出一个即可）．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当x＜1时，y随着x的增大而减小可得m的取值范围．【解答】解：∵y＝﹣x2+8x+3＝﹣（x﹣4）2+19，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝4，∴x＞4时，y随x增大而减小，∵当x＞m时，y随x的增大而减小，∴m≥4，故答案为：4（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．14．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝40°，则∠OBA的大小是 　50　°．【分析】根据圆周角定理求出∠AOB＝80°，再根据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝40°，∴∠AOB＝80°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝×（180°﹣80°）＝50°，故答案为：50．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．15．（2分）如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为，当铅球行进的水平距离为4m时，高度达到最大值3m．铅球的行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系满足二次函数．若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，该二次函数的解析式为，若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系xOy，则该二次函数的解析式为 　y＝﹣（x﹣4）2+3　．【分析】根据抛物线的性质得出结论．【解答】解：根据图1解析式得a＝﹣，∵铅球行进的水平距离为4m时，高度达到最大值3m，∴抛物线的顶点坐标为（4，3），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+3，故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+3．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出相关数据，本题属于基础题型．16．（2分）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序．施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少 　86　天完成；（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是 　38　万元．【分析】（1）根据施工要求以及完成各道工序所需时间如列式解答即可；（2）根据题意列式解答即可．【解答】解：（1）由题意得：28+17+16+25＝86（天），即在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少86天完成；故答案为：86；（2）由题意可知，工序A缩短2天，工序C缩短4天，工序D缩短2天时增加的投入最少，所增加的投入最少为：2×5+4×4+6×2＝10+16+12＝38（万元），即所增加的投入最少是38万元．故答案为：38．【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确列出算式是解答本题的关键．三、解答题（共68分，17-21题，每题5分，22题6分，23题5分，24-26题，每题6分，17．（5分）解方程：3x（x+1）﹣2（x+1）＝0．【分析】将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【解答】解：（x+1）（3x﹣2）＝0，∴x+1＝0或3x﹣2＝0．∴x1＝﹣1，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（5分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°．求作：⊙O，使得△ACB的三个顶点都在⊙O上．作法：①作边AB的垂直平分线．交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O为所求作的圆．（1）利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC．由作图可知，OB＝OA＝AB．∴点B在⊙O上．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴ 　AB　（ 　直角三角形斜边上的中线等于斜边一半　）（填推理依据）．∴OC＝OA．∴点C在⊙O上．∴△ACB的三个顶点都在⊙O上．【分析】（1）按照所给作图步骤作图即可．（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得答案．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：连接OC．由作图可知，OB＝OA＝AB，∴点B在⊙O上．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）．∴OC＝OA．∴点C在⊙O上．∴△ACB的三个顶点都在⊙O上．故答案为：AB；直角三角形斜边上的中线等于斜边一半．【点评】本题考查作图—复杂作图、直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）用描点法画出该二次函数的图象；（3）当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用描点法画出所给函数的图象即可；（3）由于当直线y＝kx经过点（3，3）时，k＝1，利用一次函数和二次函数的性质，当0＜x＜3时，函数y＝kx的值大于二次函数y＝x2+bx的值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象过点A（3，3），∴3＝9+3b，解得b＝﹣2，∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x；（2）利用描点法画出所给函数的图象；；（2）当直线kx经过点（3，3）时，3＝3k，解得k＝1，此时函数y＝kx与二次函数y＝x2+bx的交点为（0，0）和（3，3），观察图象，当0＜x＜3时，函数y＝kx的值大于二次函数y＝x2+bx的值，所以当0＜x＜3时，对于x的每一个值，都有kx＞x2+bx，k的取值范围是k≥1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与不等式（组），数形结合是解题的关键．20．（5分）某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．【分析】（1）根据题意直接列表即可．（2）由表格可得所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：由表格可知，共有12种等可能的结果．（2）由表格可知，小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种，∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．（5分）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB＝16，CD＝2，求⊙O的半径的长．【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，再连接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的弦AB＝8，半径OD⊥AB，∴AC＝AB＝×16＝8，设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+82，解得r＝17．故⊙O的半径的长为17．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．（2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范围是m＞﹣．（2）根据题意得2m+1＝0，解得m＝﹣，故m的值为﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．23．（5分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O，B为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），OA＝3，OB＝4，且∠AOB＝150°，线段OA关于直线OB对称的线段为OA'，将线段OB绕点O逆时针旋转45°得到线段OB'；（1）画出线段OA'，OB'；（2）将线段OB绕点O逆时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段OC'，连接A'C．若A'C'＝5，求∠B'OC'的度数．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）利用勾股定理的逆定理证明∠A′OC′＝90°，可得结论．【解答】解：（1）如图，线段OA′，OB′即为所求；（2）∵OA＝OA′＝3，OB＝OC′＝4，A′C′＝5，∴OA′2+OC′2＝A′C′2，∴∠A′OC′＝90°，∵OA，OA′关于OB对称，∴∠AOB＝∠A′OB＝150°，∴∠B′OC′＝∠A′OB﹣∠A′OC′﹣∠BOB′＝150°﹣90°﹣45°＝15°．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB．交CB的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，，求CD的长．【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质求出圆的之间，利用等腰直角三角形的性质求得BD，过点B作BF⊥CD于点F，利用30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∵AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝∠BOD＝180°＝90°，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵∠BAC＝30°，，∴AB＝2BC＝4．∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴，∴AD＝BD＝AB＝4，过点B作BF⊥CD于点F，∵∠CDB＝∠CAB＝30°，∴BF＝BD＝2，∴DF＝＝2，∵△BFC为等腰直角三角形，∴CF＝BF＝2，∴CD＝CF+DF＝2+2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．25．（6分）食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t分钟，农药的去除率为y1%，部分实验数据记录如下：方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x%，农药的去除率为y2%，部分实验数据记录如下：结合实验数据和结果，解决下列问题：（1）通过分析以上实验数据，发现可以用函数刻画方式一中农药的去除率y1（%）与浸泡时间t（分）之间的关系，方式二中农药的去除率y2（%）与食用碱溶液的浓度x（%）之间的关系，请分别在下面的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；（2）利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为 　10　分钟；（3）利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度x%中，x的取值范围可以是 　7≤x≤12　．【分析】（1）分别将方式一和方式二表格中的数据在对应平面直角坐标系中描点，并将它们连接起来即可；（2）根据方式一的函数图象，y1最大时对应的t的值即为答案；（3）确定y1的最大值，当y2不小于这个值时对应的x的取值范围即为答案．【解答】解：（1）方式一和方式二的函数图象如图所示：（2）由方式一的函数图象可知，当t＝10时，农药的去除率最高，故答案为：10．（3）∵清水浸泡的最大去除率为57%，∴由方式二的函数图象可知，当7≤x≤12时，食用碱溶液浸泡的去除率不小于57%，故答案为：7≤x≤12．【点评】本题考查一次函数的应用，用描点法作函数的图象是解题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）求t的值；（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的对称性即可求解．（2）求得点A（m，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称时的m的值，结合图象即可求解．【解答】解：（1）由题意，∵点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，∴4a+2b+c＝c．∴4a+2b＝0，即b＝﹣2a．∴抛物线的对称轴是直线x＝t＝﹣＝﹣＝1．故t＝1．（2）如图，若点A（m，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，可得＝1，解得m＝，∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，∴m≥．故m的取值范围是m≥．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性，数形结合是解题的关键．27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；（2）当BD≠CD时（图2中BD＜CD，图3中BD＞CD），F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形；②猜想∠AFE的大小，并证明．【分析】（1）当点D与点B重合时，记重合的点为B，由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠ABC＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，根据将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，有∠ABE＝60°，AB＝BE，即可得∠ABC＝∠EBH＝30°，BH是∠ABE的平分线，故BH⊥AE，即AE⊥BC；（2）选图2：①根据题意补全图形即可；②连接AE，过A作AG⊥BC于G，由SAS可证△ADG≌△AEF，故∠AGD＝∠AFE，即可得∠AFE＝90°；选图3：①根据题意补全图形即可；②连接AE，过A作AG⊥BC于G，由SAS可证△ADG≌△AEF，故∠AGD＝∠AFE，即可得∠AFE＝90°．【解答】（1）证明：当点D与点B重合时，记重合的点为B，如图：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∴∠EBH＝∠ABE﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABC＝∠EBH＝30°，∴BH是∠ABE的平分线，∵AB＝BE，∴BH⊥AE，即AE⊥BC；（2）解：选图2：①补全图形如下：②∠AFE＝90°，证明如下：连接AE，过A作AG⊥BC于G，如图2：∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴AD＝ED，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AG⊥BC，∴∠GAC＝60°，∠C＝30°，∴∠DAE＝∠GAC，AG＝AC，∴∠DAE﹣∠GAE＝∠GAC﹣∠GAE，即∠DAG＝∠EAF，∵F是AC中点，∴AF＝AC，∴AF＝AG，在△ADG和△AEF中，，∴△ADG≌△AEF（SAS），∴∠AGD＝∠AFE，∵AG⊥BC，∴∠AGD＝90°，∴∠AFE＝90°；选图3：①补全图形如下：②∠AFE＝90°，证明如下：连接AE，过A作AG⊥BC于G，如图3：∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴AD＝ED，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AG⊥BC，∴∠GAC＝60°，∠C＝30°，∴∠DAE＝∠GAC，AG＝AC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠GAC﹣∠DAC，即∠DAG＝∠EAF，∵F是AC中点，∴AF＝AC，∴AF＝AG，在△ADG和△AEF中，，∴△ADG≌△AEF（SAS），∴∠AGD＝∠AFE，∵AG⊥BC，∴∠AGD＝90°，∴∠AFE＝90°．【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P和直线l1，l2．点P关于直线l1，l2“和距离”的定义如下：若点P到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则称d1+d2为点P关于直线l1，l2的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线l1上时，d1＝0；当点P在直线l2上时，d2＝0．（1）在点P1（3，0），P2（﹣1，2），P3（4，﹣1）中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是 　点P1和点P2　；（2）若P是直线y＝﹣x+3上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为 　3　；（3）已知点A（0，3），⊙A的半径为1．若P是⊙A上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围．【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）设点P的坐标为（m，﹣m+3），得点P到x轴的距离为|m|，到y轴的距离为|﹣m+3|，则d＝|m|+|﹣m+3|，分三种情况讨论：当m≤0时，d＝3﹣2m，此时d的最小值为3，当0＜m＜3时，d＝m+（﹣m+3）＝3，当m≥3时，d＝2m﹣3，此时d的最小值为3；（3）作直线y＝x+6关于y轴对称的直线l，则直线l的解析式为y＝﹣x+6，作直线QN平行于直线l，交直线y＝x+6于点Q，交x轴于点N，可得△MNQ为等边三角形，过P点作PE⊥x轴交于E点，过P点作PF垂直直线y＝x+6交于F点，则d＝PF+PE＝（PQ+PN）＝QN，所以d的取值由QN的取值决定，分别求出直线QN与圆A相切时，QN的最大值和最小值即可确定d的取值范围．【解答】解：（1）当P1（3，0）时，d1+d2＝3+0＝3，∴点P1关于x轴和y轴的“和距离”为3；当P2（﹣1，2）时，d1+d2＝1+2＝3，∴点P2关于x轴和y轴的“和距离”为3；当P3（4，﹣1）时，d1+d2＝4+1＝5，∴点P3关于x轴和y轴的“和距离”为5；故答案为：点P1和点P2；（2）设点P的坐标为（m，﹣m+3），得点P到x轴的距离为|m|，到y轴的距离为|﹣m+3|，∴点P关于x轴和y轴的“和距离”d为|m|+|﹣m+3|，当m≤0时，d＝3﹣2m，此时d的最小值为3，当0＜m＜3时，d＝m+（﹣m+3）＝3，当m≥3时，d＝2m﹣3，此时d的最小值为3，综上所述，点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3；故答案为：3；（3）作直线y＝x+6关于y轴对称的直线l，则直线l的解析式为y＝﹣x+6，作直线QN平行于直线l，交直线y＝x+6于点Q，交x轴于点N，直线y＝x+6与x轴的夹角为60°，∴∠QNM＝60°，∴△MNQ为等边三角形，过P点作PE⊥x轴交于E点，过P点作PF垂直直线y＝x+6交于F点，∴d＝PE+PF，∵∠MQP＝∠PNE＝60°，∴PF+PE＝（PQ+PN）＝QN，∴d的取值由QN的取值决定，设直线NQ的解析式为y＝﹣x+m，当直线NQ与圆A相切，P点在A点右侧时，QN有最大值，连接AP，过P点作PH⊥y轴交于H点，∵∠APH＝30°，AP＝1，∴HA＝，PH＝，∴P（，），将P点代入y＝﹣x+m，可得m＝5，∴直线QN的解析式为y＝﹣x+5，当﹣x+5＝x+6时，x＝﹣，∴Q（﹣，），直线y＝x+6与x轴的交点M（﹣2，0），∴MQ＝，∴d＝PF+PE＝，此时d的值最大；当直线NQ与圆A相切，P点在A点左侧时，QN有最小值，同理可得P（﹣，），∴直线QN的解析式为y＝﹣x+1，当﹣x+1＝x+6时，x＝﹣，∴Q（﹣，），∴MQ＝，∴d＝PF+PE＝，此时d的值最小；∴≤d≤．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆与直线相切的性质，弄懂定义是解题的关键．种子个数n55010020050010002000300发芽种子个数m4449218947695118982851发芽种子频率0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950工序ABCDEFG所需时间/天11152817163125t（分）5810121520y1（%）305057523733x（%）257101215y2（%）435257765725种子个数n55010020050010002000300发芽种子个数m4449218947695118982851发芽种子频率0.8000.8800.9200.9450.9520.9510.9490.950工序ABCDEFG所需时间/天11152817163125x…﹣10123…y…30﹣103…ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）t（分）5810121520y1（%）305057523733x（%）257101215y2（%）435257765725