2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣3
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（ ）
A．51°B．49°C．40°D．39°
6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（ ）
A．2B．C．D．4π
7．（2分）林业部门考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
下列说法正确的是（ ）
A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900
8．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．
10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是 （写出一个即可）．
12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：
则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）．
13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 cm．
14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 ．
16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为Pk．
（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝ ；
（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，Pk的最大值是 ．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2+x＝1．
18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．
21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．
小云的画法是：
①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；
②画出直线PB．
直线PB即为所求．
（1）根据小云的画法，补全图形；
（2）补全下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB，AB⊥PO，
∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．
∴PA＝① ．
∴∠PAB＝② ．
∴∠PAO＝∠PBO．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AP．
∴∠PAO＝90°．
∴∠PBO＝90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（③ ）（填推理的依据）．
22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．
24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．
（1）y关于x的函数表达式是 ，自变量x的取值范围是 ；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；
（3）当x＝ cm时，正方形EFGH面积有最小值 cm2．
25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．
（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC＝∠B．
（1）求证：ED＝EC；
（2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF．
①依题意补全图形；
②若AF⊥EF，求∠BAC的大小．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”．
（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，﹣2）．
①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，﹣1）中，正方形T的“伴随切点”是 ；
②若直线y＝x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；
（2）已知点T（t，t+1），正方形T的边长为2．若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转180°后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形，对所给选项进行判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形；故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键．
2．（2分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2分）若关于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣3
【分析】把x＝1代入一元二次方程得到2+1﹣m＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程2x2+x﹣m＝0得2+1﹣m＝0，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
【分析】依据题意，关于x的方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，据此即可求解．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点，且方程ax2+bx+c＝0的根就是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是没有实数根．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点．
5．（2分）如图，在⊙O中，AB为直径，C，D为圆上的点，若∠CDB＝51°，则∠CBA的大小为（ ）
A．51°B．49°C．40°D．39°
【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠CBA互余，欲求∠CBA需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
又∵∠A＝∠CDB＝51°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝39°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
6．（2分）如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（ ）
A．2B．C．D．4π
【分析】根据题意第一次与自身重合时旋转角是60°，然后根据弧长公式即可求得．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF绕中心O顺时针旋转第一次与自身重合时旋转角是60°，
∴点A运动的路径长＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转对称图形，也考查了学生的理解能力和计算能力，解此题的关键是求出第一次重合的旋转角．
7．（2分）林业部门考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：
下列说法正确的是（ ）
A．若移植10棵幼树，成活数将为8棵
B．若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵
C．移植的幼树越多，成活率越高
D．随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900
【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：若移植10棵幼树，成活数不一定是8棵，因此选项A不符合题意；
若移植270棵幼树，成活数可能会超过235棵，因此选项B不符合题意；
移植的幼树越多，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，因此选项C不符合题意；
随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.900，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④．
【解答】解：如图，AB＝OA，即AB的长度等于半径，
以AB为边的圆的内接三角形有无数个，
∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点C在优弧AB上时，∠C＝30°，
当点C在劣弧AB上时，∠C＝150°，
当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，
∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知，∠C可以是30°或150°，
当AC＝AB，∠C＝30°时，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°，
∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；
过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HB＝AB＝1，
∴OH＝＝，
当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：×2×（2+）＝2+，故④结论错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为 y＝3x2﹣1 ．
【分析】根据二次函数图象平移规律：上加下减，进行求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝3x2﹣1，
故答案为：y＝3x2﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
10．（2分）如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB和EF剪开后重组可得到矩形ABCD，那么②可看作①通过一次 旋转 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
【分析】利用旋转变换的性质判断即可．
【解答】解：观察图形可知：②可看作①绕点A顺时针旋转90°得到．
故答案为：旋转．
【点评】本题考查几何变换的类型，正方形的性质，矩形的性质，剪纸问题等知识，解题的关键是读懂图象信息．
11．（2分）若关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，则整数a的值可以是 4（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据一元二次方程的定义得到a≠0，至少有一个整数根，则为完全平方数，即可求解．
【解答】解：由题意知，a≠0，
ax2＝16，
x2＝，
∵关于x的一元二次方程ax2＝16有整数根，
∴为完全平方数，
∴a＝1或4或16，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的整数根，得出为完全平方数是解题的关键．
12．（2分）已知y是x的二次函数，表中列出了部分y与x的对应值：
则该二次函数有 最大值 （填“最小值”或“最大值”）．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标判断即可．
【解答】解：由表格数据可知，函数值先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，
∴二次函数的图象开口向下，
∴该二次函数有最大值．
故答案为：最大值．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2分）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 18 cm．
【分析】连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，利用勾股定理求出OC即可解答．
【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝6cm，
由题意可知，OB＝10cm，
∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），
∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），
即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠P＝60°．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为 3π （结果保留π）．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式计算．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴图中阴影部分的面积＝＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形面积的计算．
15．（2分）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 ．
【分析】根据正方形的面积可得正方形ABCD的边长为5，再根据正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，可得AE＝5﹣a，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为25，
∴正方形ABCD的边长为5，
由题意得：DF＝a，AF＝5+a，
∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，
∴2（AE+AF）＝5×4，
∴AE＝5﹣a，
∵矩形AEGF的面积为22，
∴AE•AF＝22，即（5﹣a）（5+a）＝22，
解得：a1＝，a2＝﹣，
∵a＞0，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等，是常考的基础题．
16．（2分）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A，B两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k，这一事件的概率记为Pk．
（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，则P8＝ ；
（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k，Pk的最大值是 ．
【分析】（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
（2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A袋，其余扑克牌放入B袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k的所有等可能出现的结果如下：
共有14种等可能出现的结果，其中两张扑克牌的点数之和为8的有2种，
所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即P8＝＝，
故答案为：；
（2）当Pk的值最大时，A袋中、B袋中各含有4个数、5个数，此时共有20种等可能出现的结果，
两张扑克牌的点数之和为k出现的次数最多为4次，
因此Pk的最大值为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2+x＝1．
【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出方程的解．
【解答】解：x2+x＝1，
移项得：x2+x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴x＝，
则x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时首先将方程整理为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出解．
18．（5分）已知2a2﹣3a+1＝0，求代数式（a﹣3）2+a（a+3）的值．
【分析】直接利用完全平方公式化简，再利用已知代入得出答案．
【解答】解：（a﹣3）2+a（a+3）
＝a2﹣6a+9+a2+3a
＝2a2﹣3a+9，
∵2a2﹣3a+1＝0，
∴2a2﹣3a＝﹣1，
∴原式＝﹣1+9
＝8．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
【分析】首先根据旋转的性质可以得到AB＝AB′，然后利用等腰三角形的性质可以得到∠AB′B的度数，然后利用∠B＝45°即可证明．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′＝45°，
而点B'在BC的延长线上．∠B＝45°，
∴∠AB′B＝45°，
∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝90°，
∴BB'⊥C'B'．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20．（6分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；
（2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0，
∴n＞0；
（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，
∴n＝1，
∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0，
设该方程的根是a，2a，
∴a+2a＝2m，a•2a＝m2﹣1，
解得a＝2，m＝3或a＝﹣2，m＝﹣3（不合题意，舍去），
∴m的值为3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
21．（5分）如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切，切点为A．画出⊙O的另一条切线PB，切点为B．
小云的画法是：
①连接PO，过点A画出PO的垂线交⊙O于点B；
②画出直线PB．
直线PB即为所求．
（1）根据小云的画法，补全图形；
（2）补全下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB，AB⊥PO，
∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．
∴PA＝① PB ．
∴∠PAB＝② ∠PBA ．
∴∠PAO＝∠PBO．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AP．
∴∠PAO＝90°．
∴∠PBO＝90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（③ 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明OB⊥PB即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB，AB⊥PO，
∴PO垂直平分AB，∠OAB＝∠OBA．
∴PA＝PB．
∴∠PAB＝∠PBA．
∴∠PAO＝∠PBO．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AP．
∴∠PAO＝90°．
∴∠PBO＝90°．
∴OB⊥PB于点B．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．
故答案为：PB，PBA，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
22．（5分）不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为 ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为＝．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果有4种，
∴摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（3，﹣1）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点（0，t）与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，与直线AB交于点N（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）
【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+2．
（2）二次函数的图象如图所示，
当直线y＝t在点A和点B之间时满足x1＜x3＜x2，
所以t的取值范围是：﹣1＜t＜2．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
24．（6分）如图，在边长为4cm的正方形ABCD各边上取点E，F，G，H（可与A，B，C，D重合），使得四边形EFGH为正方形．设AE为x cm，正方形EFGH的面积为y cm2．
（1）y关于x的函数表达式是 y＝2x2﹣8x+16 ，自变量x的取值范围是 0≤x≤4 ；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中函数的图象；
（3）当x＝ 2 cm时，正方形EFGH面积有最小值 8 cm2．
【分析】（1）证明△BGF≌△CHG≌△DEH≌△AEF，利用正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4×三角形AEF的面积，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）结合（1）即可画出函数的图象；
（3）根据二次函数的性质即可求出最值，
【解答】解：（1）在边长为4cm的正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝4cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH，∠HEF＝90°，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，
∴∠AFE＝∠DEH，
在△AFE和△DEH中，
，
∴△AFE≌△DEH（AAS），
∴AF＝DE＝（4﹣x）cm，
同理，可证出：△BGF≌△CHG≌△DEH，
∴S正方形EFGH＝S正方形ABCD﹣4S△AEF＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16，
即y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）；
故答案为：y＝2x2﹣8x+16，0≤x≤4；
（2）如图，即为函数y＝2x2﹣8x+16（0≤x≤4）的图象；
（3）y＝2x2﹣8x+16＝2（x2﹣4x+4）+8＝2（x﹣2）2+8．
∴当x＝2cm时，正方形EFGH面积有最小值为8cm2．
故答案为：2，8．
【点评】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，二次函数最值，全等三角形的判定与性质，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
25．（6分）如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，CM∥AD．
（1）若∠MCD＝α，求∠COA的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点O作OE⊥CD交CM于点E，交CD于点F，若CD∥AB，AB＝6，求CE的长．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠ADC＝∠MCD＝α，然后根据圆周角定理得到∠COA＝2α；
（2）先根据切线的性质得到OC⊥CM，再根据平行线的性质得到CM∥AD，接着证明∠AOC＝2∠COE，则计算出∠COE＝30°，然后在Rt△COE中利用含30度角的直角三角形三边的关系可求出CE的长．
【解答】解：（1）∵CM∥AD，
∴∠ADC＝∠MCD＝α，
∴∠COA＝2∠ADC＝2α；
（2）∵直线CM与半圆O相切于点C，
∴OC⊥CM，
∴∠OCE＝90°，
∵CM∥AD，
∴OC⊥AD，
∵OE⊥CD，CD∥AB，
∴CE⊥AB，∠ADC＝∠OAD，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC+∠OAD＝90°，∠AOC+∠COE＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠AOC＝2∠COE，
∴2∠COE+∠COE＝90°，
解得∠COE＝30°，
∵直线CM与半圆O相切于点C，
∴OC⊥CM，
∴∠OCE＝90°，
∵AB＝6，
∴OC＝3，
在Rt△COE中，∵∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当t＝2时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②比较m，n的大小，并说明理由；
（2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，求t的取值范围．
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的性质判断即可；
（2）由题意可知点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得≤t≤3．
【解答】解：（1）①∵t＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵点A（﹣1，m），点B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2，
∴点A（﹣1，m）到对称轴的距离大于点B（3，n）到对称轴的距离，
∴m＞n；
（2）由题意可知，点A（﹣1，m）在对称轴的左侧，点B（3，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，
∵3＜x0＜4，都有m＞p＞n，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴，解得≤t≤3，
∴t的取值范围是≤t≤3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接DE，∠EDC＝∠B．
（1）求证：ED＝EC；
（2）连接BD，点F为BD的中点，连接AF，EF．
①依题意补全图形；
②若AF⊥EF，求∠BAC的大小．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明即可；
（2）①根据要求作出图形；
②延长EF到T，使得FT＝EF，连接AT，BT，AE．证明△FTB≌△FED（SAS），推出BT＝DE，∠FTB＝∠FED，推出BT∥DE，证明△ABT≌△ACE（SSS），推出∠ABT＝∠C，再证明∠C＝45°可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ACB，
∴ED＝EC；
（2）解：①图形如图所示；
②延长EF到T，使得FT＝EF，连接AT，BT，AE．
在△FTB和△FED中，
，
∴△FTB≌△FED（SAS），
∴BT＝DE，∠FTB＝∠FED，
∴BT∥DE，
∴∠CED＝∠TBC，
∵DE＝EC，
∴BT＝EC，
∵AF⊥ET，FT＝FE，
∴AT＝AE，
在△ATB和△AEC中，
，
∴△ABT≌△ACE（SSS），
∴∠ABT＝∠C，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠TBC＝2∠C，
∵∠C＝∠CDE，
∵∠C+∠CED+∠CDE＝180°，
∴2∠C+∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”．
（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，﹣2）．
①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，﹣1）中，正方形T的“伴随切点”是 P2，P3 ；
②若直线y＝x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；
（2）已知点T（t，t+1），正方形T的边长为2．若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据新定义，可知≤PT≤2，再结合所给的点判定即可；
②点P在以OT为直径的⊙D上，且≤TP≤2，D（1，0），符合条件的点P组成的图形为EOF（除O点外），其中E（1，1），F（1，﹣1），当直线y＝x+b与⊙D相切时，设切点为G，与x轴交于点H，求出H（1﹣，0），将点H代入y＝x+b，可得b＝﹣1，当直线y＝x+b经过点（0，0）时，b＝0，此时直线经过（1，1），当直线y＝x+b经过点（1，﹣1）时，b＝﹣2，从而得到b的取值范围为﹣2≤b≤﹣1；
（2）由定义可知1≤TN≤，当NT＝，OT＝2时，t2+（t+1）2＝8，解得t＝；当NT＝1，OT＝2时，t2+（t+1）2＝4，解得t＝；从而得到≤t≤或≤t≤．
【解答】解：（1）①∵P1在半径为的最小圆的内部，
∴P1不是正方形T的“伴随切点”，
∵OP2和OP3与半径为的圆T相切，
∴P2和P3是正方形T的“伴随切点”，
故答案为：P2，P3；
②如图2，由题意可知，点T（2，0），点Q为正方形边上的点，
∴≤TQ≤2，
∵OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，
∴OP⊥TP，TP＝TQ，
∴∠OPT＝90°，
∴点P在以OT为直径的⊙D上，且≤TP≤2，D（1，0），
∴符合条件的点P组成的图形为EOF（除O点外），其中E（1，1），F（1，﹣1），
当直线y＝x+b与⊙D相切时，设切点为G，与x轴交于点H，
∴DG与直线y＝x+b垂直，∠GHD＝45°，
∵DG＝1，
∴DH＝，
∴H（1﹣，0），
将点H代入y＝x+b，可得b＝﹣1，
当直线y＝x+b经过点（0，0）时，b＝0，此时直线经过（1，1），
当直线y＝x+b经过点（1，﹣1）时，b＝﹣2，
∵直线y＝x+b上存在伴随切点，
∴b的取值范围为﹣2≤b≤﹣1；
（2）∵正方形T的边长为2，
∴1≤TN≤，
由题可得∠OTN＝∠OTM＝60°，
∵TN⊥ON，
∴OT＝2NT，
当NT＝，OT＝2时，t2+（t+1）2＝8，
解得t＝；
当NT＝1，OT＝2时，t2+（t+1）2＝4，
解得t＝；
∴≤t≤或≤t≤．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄清新定义，当正方形边长为a时，a≤PT≤a，∠TPO＝90°是解题的关键．移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率（结果保留小数点后三位）
0.800
0.870
0.883
0.890
0.909
0.899
0.902
x
0
1
2
y
0
1
﹣1
移植总数m
10
270
750
1500
3500
7000
14000
成活数n
8
235
662
1335
3180
6292
12628
成活的频率（结果保留小数点后三位）
0.800
0.870
0.883
0.890
0.909
0.899
0.902
x
0
1
2
y
0
1
﹣1
红
绿
黄
黄
红
（红，绿）
（红，黄）
（红，黄）
绿
（绿，红）
（绿，黄）
（绿，黄）
黄
（黄，红）
（黄，绿）
（黄，黄）
黄
（黄，红）
（黄，绿）
（黄，黄）