2023-2024学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
2．（2分）如图，AB∥CD∥EF，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径（ ）
A．5B．10C．8D．6
5．（2分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是（ ）
A．1B．C．D．
6．（2分）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第一、三象限
B．在各自的象限内，y随x的增大而增大
C．函数图象关于y轴对称
D．图象经过（﹣1，﹣3）
7．（2分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分对应点坐标如表，m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣5D．0
8．（2分）如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给出如下三个结论：
①∠AFE＝90°；
②△EFC∽△AEF；
③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中的自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 ，可使△ABC∽△ACD．
11．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果csA＝，AC＝2，那么AB的长为 ．
12．（2分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点．如果∠CDB＝27°，那么∠CBA的度数为 ．
13．（2分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
14．（2分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
15．（2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ ．
16．（2分）“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内．明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分 次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款 元，即可购买以上三件商品．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每题6分；第27、28题，每个小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣3|．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，延长BA到E，使，连接EC交AD于点F，BC＝4，AB＝2，求AF的长．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+2x﹣3的图象．
20．（5分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣1），C（﹣2，0）作过点A、B、C的圆．
（1）依题意补全图形；
（2）圆心M坐标为 ；
（3）劣弧的弧长为 ；
（4）若点P为圆上任意一点（不与B、C点重合），则∠BPC的度数为 ．
21．（5分）某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：
方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿DE的影长EF为1.2米，线段AB表示旗杆，旗杆的影长BC为8.28米；
方法二：如图2，用1.5米高的测角仪在距离旗杆8米的点C处测得旗杆顶端A的仰角为57°．（sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆AB的长约为多少米．（结果精确到0.1）
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）若直线y＝2x+b图象经过点A，求b的值；
（3）当x＞3时，都有一次函数y＝2x+b的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值，直接写出b的取值范围．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，，，求BC的长．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若，CD＝4，求AF长．
25．（6分）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设 为y， 为x，y是x的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有 ；
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在 至 千米/小时范围内．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），点A、B之间的部分（包含点A、点B）记作图象G，图象G上y的最大值与最小值的差记作yG．
（1）求这个二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1，x1＝0，x2＝3时，求yG的值；
（3）当x1＝2m﹣1，x2＝2m+1时，恒有yG＞y1﹣y2，求m的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F．
（1）依题意补全图形；
（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；
（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明．
28．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A、点B，连接AB，若点P为平面上一点，且△ABP为等边三角形，则称点P为线段AB的“关联点”．
（1）已知点A（1，0）和点，点P为线段AB的“关联点”，直接写出点P的坐标 ；
（2）若A（2，2），Q（4，0），点B是线段OQ上一点，点P为线段AB的“关联点”，当点P在AB右侧时，判断PQ与OA的位置关系，并证明；
（3）⊙O半径为2，点A是⊙O上一点，点B（5，0），若点P为线段AB的“关联点”，直接写出OP长度的最大值和最小值．
2023-2024学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x＝3y，即可判断．
【解答】解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
2．（2分）如图，AB∥CD∥EF，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由AB∥CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出＝，结合，即可求出的值．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
又∵，
∴＝＝＝，
∴＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4．（2分）如图在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径（ ）
A．5B．10C．8D．6
【分析】连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OBC中，OB＝＝＝5．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．（2分）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】可过点B作AC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为D，
令小正方形的边长为1，
则AB＝．
在Rt△ABD中，
sin∠BAC＝．
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．
6．（2分）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第一、三象限
B．在各自的象限内，y随x的增大而增大
C．函数图象关于y轴对称
D．图象经过（﹣1，﹣3）
【分析】利用反比例函数的性质解答．
【解答】解：A．k＝﹣3＜0，图象分布在第二、四象限，不符合题意；
B．在各自的象限内，y随x的增大而增大，符合题意；
C．函数图象关于原点对称，不符合题意；
D．因为当x＝﹣1时，y＝3，所以图象经过（﹣1，3），不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，属于基础题．
7．（2分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分对应点坐标如表，m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣5D．0
【分析】利用二次函数的对称性求得即可．
【解答】解：∵x＝﹣0.5时，y＝﹣3.5；x＝2.5时，y＝﹣3.5，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝＝1，
∴点（﹣1，0）与（3，0）关于对称轴对称，
∴m＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
8．（2分）如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给出如下三个结论：
①∠AFE＝90°；
②△EFC∽△AEF；
③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15．
上述结论一定正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】连接DF，由矩形的性质得AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，由轴对称的性质昨AE垂直平分DF，则AD＝AF，DE＝FE，所以∠AFD＝∠ADF，∠EFD＝∠EDF，则∠AFE＝∠ADC＝90°，可判断①正确；假设△EFC∽△AEF成立，因为AE与BC不平行，所以∠EFC≠∠AEFM，则∠EFC＝∠AEF＝∠AED＝60°，可推导出∠FAE＝∠DAE＝∠FAB＝30°，则BF＝AF＝AD，所以AB＝＝AD，可知矩形ABCD是特殊矩形，与已知条件不符，可判断②错误；因为CD＝AB＝9，FE＝DE＝5，所以CE＝4，可求得FC＝3，再证明△AFB∽△FEC，得＝＝3，则AD＝AF＝3FE＝15，可判断③正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，
∵点D关于直线AE的对称点点F在BC边上，
∴AE垂直平分DF，
∴AD＝AF，DE＝FE，
∴∠AFD＝∠ADF，∠EFD＝∠EDF，
∴∠AFE＝∠AFD+∠EFD＝∠ADF+∠EDF＝∠ADC＝90°，
故①正确；
假设△EFC∽△AEF成立，
∵AE与BC不平行，
∴∠EFC≠∠AEFM，
∵∠C＝∠AFE＝90°，
∴∠EFC＝∠AEF＝∠AED＝×180°＝60°，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠FAB＝30°，
如图2，则BF＝AF＝AD，
∴AB＝＝＝AF＝AD，
显然，矩形ABCD是特殊矩形，与已知条件不符，
∴△EFC∽△AEF不成立，
故②错误；
∵AB＝9，DE＝5，
∴CD＝AB＝9，FE＝DE＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝9﹣5＝4，
∴FC＝＝＝3，
∵∠B＝∠C，∠AFB＝∠FEC＝90°﹣∠CFE，
∴△AFB∽△FEC，
∴＝＝＝3，
∴AD＝AF＝3FE＝3×5＝15，
故③正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AFB∽△FEC是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）函数y＝中的自变量x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x﹣1≠0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0
解得：x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．
10．（2分）如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 ∠ADC＝∠ACB ，可使△ABC∽△ACD．
【分析】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．
【解答】解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可，
所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD，
故答案为：∠ADC＝∠ACB．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确做出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣．
11．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果csA＝，AC＝2，那么AB的长为 6 ．
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴csA＝＝，
∵AC＝2，
∴AB＝3AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握余弦函数的定义csA＝∠A的邻边与斜边的比是解题的关键．
12．（2分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点．如果∠CDB＝27°，那么∠CBA的度数为 63° ．
【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠CBA＝90°，
又∵∠A＝∠CDB＝27°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝63°．
故答案为：63°．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．
13．（2分）若抛物线y＝x2﹣2x+k﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤2 ．
【分析】根据抛物线与x轴有交点，Δ≥0，列式计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+k﹣1与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k﹣1）≥0，
解得：k≤2；
故答案为：k≤2．
【点评】本题考查二次函数图象与x轴交点问题．熟练掌握抛物线与x轴有交点：Δ≥0，是解题的关键．
14．（2分）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系：S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，
∵AB∥x轴，
∴AE垂直于y轴，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴矩形ABCD的面积为3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．（2分）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝ 3cm ．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），ON＝11﹣7＝4（cm），
∴＝，
∴AB＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
16．（2分）“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内．明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分 二 次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款 305 元，即可购买以上三件商品．
【分析】分别计算分三次结账和一次性结账的优惠，再计算实际的付款并进行比较大小即可．
【解答】解：①当商品A、B、C单独结账时：
∵80÷50＝1.6，95÷50＝1.9，160÷50＝3.2，
∴当商品A、B、C单独结账时一共优惠5+5+3×5＝25（元），实际付款80+95+160﹣25＝310（元）；
②当商品A、B、C合并结账时：
∵80+95+160＝335（元），335＞200，335÷200＝1.675，
∴当商品A、B、C合并结账时一共优惠20元，实际付款335﹣20＝315（元）．
③当商品A和B合并结账、商品C单独结账时：
∵80+95＝175，175÷50＝3.5，160÷50＝3.2，
∴当商品A和B合并结账、商品C单独结账时一共优惠3×5+3×5＝30（元），实际付款80+95+160﹣30＝305（元）；
④当商品A和C合并结账、商品B单独结账时：
∵80+160＝240，240＞200，240÷200＝1.2，95÷50＝1.9，
∴当商品A和C合并结账、商品B单独结账时一共优惠20+5＝25（元），实际付款80+95+160﹣25＝310（元）；
⑤当商品B和C合并结账、商品A单独结账时：
∵95+160＝255，255＞200，255÷200＝1.275，80÷50＝1.6，
∴当商品B和C合并结账、商品A单独结账时一共优惠20+5＝25（元），实际付款80+95+160﹣25＝310（元）；
综上，∵305＜310＜315，
∴三件商品妈妈分二次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款305元，即可购买以上三件商品，
故答案为：二，305．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每题6分；第27、28题，每个小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣3|．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：|﹣3|
＝2×+2+3﹣2
＝+2+3﹣2
＝5﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（5分）如图，在▱ABCD中，延长BA到E，使，连接EC交AD于点F，BC＝4，AB＝2，求AF的长．
【分析】求出AE＝1，BE＝3，再由平行四边形的性质得AD∥BC，然后证△AEF∽△BEC，得＝，即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝2，
∴＝1，
∴BE＝AB+AE＝2+1＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：AF＝，
即AF的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+2x﹣3的图象．
【分析】（1）用配方法即可求解；
（2）当y＝0时，即﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，x＝0时求得y＝﹣3即可求解；
（3）由（1）（2）利用五点法画二次函数简图．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴该二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）；
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴该二次函数图象与x轴的交点为（﹣3，0）和（1，0）；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（﹣2，﹣3），
由五点法画函数简图，如图所示：
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20．（5分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1），B（3，﹣1），C（﹣2，0）作过点A、B、C的圆．
（1）依题意补全图形；
（2）圆心M坐标为 （1，2） ；
（3）劣弧的弧长为 π ；
（4）若点P为圆上任意一点（不与B、C点重合），则∠BPC的度数为 45°或135° ．
【分析】（1）线段AB，AC的垂直平分线的交点M，即为圆心；
（2）根据点M的位置写出坐标；
（3）利用弧长公式求解；
（4）分两种情形：当点P在优弧BC上时，∠BPC＝∠BMC＝45°，当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣45°＝135°求解．
【解答】解：（1）如图，⊙M即为所求；
（2）圆心M坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）；
（3）连接MC，MB，
∵MC＝MB＝＝，∠BMC＝90°，
∴劣弧的弧长＝＝π；
（4）当点P在优弧BC上时，∠BPC＝∠BMC＝45°，
当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣45°＝135°，
综上所述，∠BPC的度数为45°或135°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（5分）某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：
方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿DE的影长EF为1.2米，线段AB表示旗杆，旗杆的影长BC为8.28米；
方法二：如图2，用1.5米高的测角仪在距离旗杆8米的点C处测得旗杆顶端A的仰角为57°．（sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54）
请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆AB的长约为多少米．（结果精确到0.1）
【分析】方法一：根据平行投影列出比例式，求出AB；方法二：根据正切的定义求出AE，进而求出AB．
【解答】解：方法一：由题意得：＝，
解得：AB＝13.8，
则旗杆的高度为13.8米；
方法二：在Rt△ADE中，∠ADE＝57°，DE＝8米，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE•tan∠ADE≈8×1.54＝12.32（米），
∴AB＝AE+EB＝12.32+1.5≈13.8（米），
答：旗杆AB的长约为13.8米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、平行投影，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）若直线y＝2x+b图象经过点A，求b的值；
（3）当x＞3时，都有一次函数y＝2x+b的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）把A点的坐标代入y＝2x+b，即可求得b的值；
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（3，2），
∴k＝3×2＝6；
（2）∵直线y＝2x+b图象经过点A，
∴2＝2×3+b，
解得b＝﹣4；
（3）由（2）可知直线y＝2x+b图象经过点A，b的值为﹣4，
观察图象，当x＞3时，都有一次函数y＝2x+b的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值，则b的取值范围是b≥﹣4．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，，，求BC的长．
【分析】过点A作BC边的垂线，构造直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝45°．
在Rt△ABD中，
sin45°＝，
则AD＝，
同理可得，BD＝2．
在Rt△ACD中，
sin∠C＝，
则AC＝．
由勾股定理得，
CD＝．
∴BC＝CD﹣BD＝．
【点评】本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形是解题的关键．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，连接AC、AD，过点A作⊙O的切线与∠ADC的平分线相交于点E，DE交AC于点F，交AB于点G，交⊙O于点M，连接AM．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若，CD＝4，求AF长．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，根据垂径定理得CH＝DH，则AB垂直平分CD，所以AC＝AD；
（2）由CD＝4，得CH＝DH＝2，由∠AHC＝90°，∠ACD＝∠AMD，得＝tan∠ACD＝tan∠AMD＝2，则AH＝2CH＝4，根据勾股定理得AC＝AD＝＝6，由切线的性质得AE⊥AB，则AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，∠E＝∠CDE＝∠ADE，则AE＝AD＝6，所以＝＝，即可求得AF＝AC＝．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴CH＝DH，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD．
（2）解：∵CD＝4，
∴CH＝DH＝CD＝2，
∵∠AHC＝90°，∠ACD＝∠AMD，
∴＝tan∠ACD＝tan∠AMD＝2，
∴AH＝2CH＝2×2＝4，
∴AC＝AD＝＝＝6，
∴AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥AB，
∴AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，∠E＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠E＝∠ADE，
∴AE＝AD＝6，
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝AC＝×6＝，
∴AF的长是．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地求出AC的长，并且证明△AEF∽△CDF是解题的关键．
25．（6分）电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标．高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关．某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们的探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程与速度的有关数据：
则设 续航里程 为y， 速度 为x，y是x的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有 ②③ ；
①y随x的增大而减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程最大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在 34 至 100 千米/小时范围内．
【分析】（1）速度为自变量，续航里程为因变量，据此作答即可；
（2）建立平面直角坐标系，根据表格中的数据描点，并将这些点用平滑的曲线连接起来；
（3）根据图象分别判断正误即可；
（4）当y值大于500时，确定x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y是x的函数，
∴x是自变量，y是因变量，
∴设速度为x，续航里程为y，
故答案为：续航里程，速度．
（2）该函数的图象如图所示：
（3）由图象可知，y随x先增大后减小，
∴①不正确；
当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程最大，
∴②正确；
由图象可知，x的值过大或过小，对应的y值都会变小，即汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小，
∴③正确；
故答案为：②③．
（4）根据图象可知，当x的值大约在34至100之间时，y的值大于500，
故答案为：34，100．
【点评】本题考查函数的图象，用描点法作出函数的图象是本题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），点A、B之间的部分（包含点A、点B）记作图象G，图象G上y的最大值与最小值的差记作yG．
（1）求这个二次函数的对称轴（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝1，x1＝0，x2＝3时，求yG的值；
（3）当x1＝2m﹣1，x2＝2m+1时，恒有yG＞y1﹣y2，求m的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）利用二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征求得图象G上y的最大值是3，最小值是﹣1，即可求得yG＝3﹣（﹣1）＝4；
（3）分三种情况，借助图象即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2mx，
∴这个二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝m；
（2）当m＝1，x1＝0，x2＝3时，则二次函数为y＝x2﹣2x，A（0，y1），B（3，y2），
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴顶点为（1，﹣1），
∵x＝3时，y＝9﹣6＝3，
∴图象G上y的最大值是3，最小值是﹣1，
∴yG＝3﹣（﹣1）＝4；
（3）当2m+1≤m，即m≤﹣1时，yG＝y1﹣y2，不合题意；
当2m﹣1≥m，即m≥1时，yG＞y1﹣y2；
当2m﹣1＜m＜2m+1，即﹣1＜m＜1时，恒有yG＞y1﹣y2，
∴m取值范围是m＞﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．
27．（7分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F．
（1）依题意补全图形；
（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；
（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）结论：∠EAD＝∠FCD．利用“8字型”三角形内角和定理证明；
（3）取AC的中点O，连接OF，OD．证明A，C，D，F四点共圆，利用圆周角定理证明．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：∠EAD＝∠FCD．
理由：设CF交AD于点T．
∵CA＝CB．AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∵CF⊥AE，
∴∠AFT＝∠CDT＝90°，
∵∠ATF＝∠CTD，
∴∠EAD＝∠DCF；
（3）猜想：∠CFD＝45°．
理由：取AC的中点O，连接OF，OD．
∵∠AFC＝∠ADC＝90°，AO＝OC，
∴OF＝OA＝OD＝OC，
∴A，C，D，F四点共圆，
∴∠CFD＝∠CAB，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠CFD＝45°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，再利用四点共圆解决问题．
28．（7分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A、点B，连接AB，若点P为平面上一点，且△ABP为等边三角形，则称点P为线段AB的“关联点”．
（1）已知点A（1，0）和点，点P为线段AB的“关联点”，直接写出点P的坐标 （﹣1，0）或（2，） ；
（2）若A（2，2），Q（4，0），点B是线段OQ上一点，点P为线段AB的“关联点”，当点P在AB右侧时，判断PQ与OA的位置关系，并证明；
（3）⊙O半径为2，点A是⊙O上一点，点B（5，0），若点P为线段AB的“关联点”，直接写出OP长度的最大值和最小值．
【分析】（1）由对称性可得出结果；
（2）在x轴上截取BC＝OA，连接PC，AD⊥OQ于D，可证明△ABO≌△BPC，从而得出PC＝OB，∠PCQ＝∠AOB＝60°，BC＝OA＝4，进而证明△PCQ是等边三角形，进一步得出结果；
（3）作∠OBI＝60°，并截取BI＝OB，连接PI，可证明△AOB≌△PIB，从而PI＝OA＝2，进而得出点P在以I为圆心，2为半径的圆上运动，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴OP2＝OA＝1，
∴P2（﹣1，0），
同理可得：P1（2，），
故答案为：（﹣1，0）或（2，）；
（2）如图2，
PQ∥OA，理由如下：
在x轴上截取BC＝OA，连接PC，AD⊥OQ于D，
∵A（2，2），
∴OA＝4，∠ABQ＝60°，
∵∠ABQ＝∠ABP＝60°，
∴∠BAO+∠ABO＝120°，∠ABO+∠PBC＝120°，
∴∠BAO＝∠PBC，
∵AB＝PB，
∴△ABO≌△BPC（SAS），
∴PC＝OB，∠PCQ＝∠AOB＝60°，BC＝OA＝4，
∴BC＝OQ＝4，
∴BC＝OQ，
∴CQ＝OB，
∴PC＝CQ，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠PQC＝60°，
∴∠AOB＝∠PQC，
∴PQ∥OA；
（3）如图3，
作∠OBI＝60°，并截取BI＝OB，连接PI，
∴∠ABP＝∠OBI＝60°，△BOI是等边三角形，
∴∠ABO＝∠PBI，OI＝OB＝5，
∵AB＝AP，
∴△AOB≌△PIB（SAS），
∴PI＝OA＝2，
∴点P在以I为圆心，2为半径的圆上运动，
∴OP最大＝5+2＝7，OP最小＝5﹣2＝3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．x
…
﹣1
﹣0.5
2.5
3
5
…
y
…
0
﹣3.5
﹣3.5
m
24
…
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310
x
…
﹣1
﹣0.5
2.5
3
5
…
y
…
0
﹣3.5
﹣3.5
m
24
…
速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310