2025-2026学年北京市平谷区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市平谷区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在中，，则的值是（ ）
A.B.C.D.
2.将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（ ）
A.y=3（x+2）2B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2D.y=3x2-2
3.如图，中，，，，则的值是（ ）
A B.3C.D.
4.如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（ ）
A.B.C.D.2π
5.在中，，于点，，，则的长为（ ）
A.B.C.D.
6.已知点，，在反比例函数的图象上，当时，那么，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
7.掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，正方形的边长为4，点E在边上，，点M在的延长线上．平分，点F在上，，过点F作于点H，连接交于点N，连接．下列结论：①；②的面积为；③的周长为8；④．其中正确结论的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.函数y＝的自变量x的取值范围为____________．
10 若，则______．
11.请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式_______．
12.如图，四边形内接于，为的直径．若，．则_____．
13.如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为____cm．
14.如图，点在反比例函数图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点，交轴于点，则的面积为 _____ ．
15.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，平谷区某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处．又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为_____（结果保留根号）．
16.二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是_______ ．
三、解答题（本题共68分，第17、18、19、20、21、22题，每题5分；第23、24、25、26题，每题6分；第27、28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.计算：．
18.如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：．
19.已知二次函数几组x与y的对应值如表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
20.已知：，是直线上的两点．
求作：，使得点在直线上方，且，．
作法：
分别以，为圆心，大于长为半径画弧，在直线上方交于点，在直线下方交于点；
作直线、交直线于点；
以点为圆心，长为半径画圆，在直线上方交直线于点；
以点圆心，长为半径画圆．在直线上方交直线于点；
连接，．
就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
为的直径，
．（ ）（填推理的依据）．
，，在上，
．（ ）（填推理的依据）．
．
由作图可知直线是线段的垂直平分线，
．（ ）（填推理的依据）．
就是所求作的三角形．
21.某山区公路修建工程中，需要开凿一条半圆形截面的隧道（横截面是以点O为圆心的圆的一部分）．施工人员在隧道底部测得底面宽度米．M是弦的中点，从M点竖直向上到隧道顶部E点的距离米（经过圆心O，E在上）．请计算该隧道横截面所在的半径．
22.为进一步优化区域交通网络，提升京平高速的通行效率与承载能力，满足日益增长的出行需求，京平高速路段启动扩建升级工程．施工过程中，需使用起重机将钢筋、水泥等修路建材精准吊装至指定作业区域．当货物M被吊起并在空中保持静止时．货物M与吊臂转轴点O的连线恰好平行于地面（水平方向）．如图1，吊臂末端B到货物M的竖直距离米，，（参考数据：， ，结果精确到1米）
（1）求直吊臂的长；
（2）为配合路面施工高度调整，立吊臂与钢索的长度保持不变，在同一竖直平面内将提升至如图2的位置，当时，货物M上升了多少米？
23.在平面直角坐标系中，直线与双曲线（，）的交点是．
（1）求和的值；
（2）当时，对于的每个值，函数既大于函数（，）的值．又小于函数的值，直接写出的取值范围．
24.如图，内接于，点D为的中点，连接平分交于点E，过点D作交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
25.某校教学楼前的中心花坛种植着月季、冬青等观赏性绿植、是校园环境的核心景观．由于不同绿植需水量不同，且花坛地形呈阶梯式分布，灌溉小组启用甲、乙两套智能灌溉装置分区浇水，甲装置负责上层月季区，水流均匀稳定；乙装置针对下层冬青带，采用脉冲式浇水模式．为精准控制浇水量、避免积水或干旱，工作人员记录了两套装置工作时间与浇水量的对应数据，当甲、乙两台装置各自独立工作t分钟时，工作人员记录了甲装置的浇水量（单位：）和乙装置的浇水量（单位：），部分数据如表：
（1）补全表格，的值为 （结果保留小数点后一位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上信息，解决问题：
若甲装置比乙装置早启动了分钟，则甲装置启动 分钟时，两台装置的浇水量相同，约为 （结果保留小数点后一位）；
在的条件下，在同一时刻，乙装置最多可以比甲装置多浇水 （结果保留小数点后一位）．
26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1） （用含的式子表示）；
（2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当，时， ；
当点从点运动到点的过程中，的长随着的长的增大而增大，求的取值范围．
27.如图，等边，延长，并将射线绕点B顺时针旋转得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段的延长线上，且，连接，过点A作．
（1）依题意补全图形，猜想线段与之间的数量关系，并证明；
（2）取的中点N，连接，若，请写出与的数量关系并证明．
28.如图，在线段上有一动点（点与，不重合），分别以，，为直径作半圆，、、分别为半圆弧的中点，四边形的对角线交于点，则称点为线段的“红心点”．
（1）如图，点的坐标为，以下各点中是线段的“红心点”的是 ；
，，，
（2）如图，已知，，若点、是线段上的点，且和不重合，
线段的“红心点”组成的图形面积为 ；
若抛物线上存在线段的“红心点”，则的取值范围为 ．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
0
0
…
0
5
10
20
30
40
50
60
…
0
m
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
…
0
21
2.9
4.0
4.8
5.5
6.1
6.6
…