2025-2026学年北京市顺义区九年级上学期期末数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市顺义区九年级上学期期末数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1.如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A.B.C.D.
2.将抛物线向右平移1个单位后得到新抛物线的表达式为（ ）
A.B.
C.D.
3.如图，在中，，，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
4.物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长是（ ）
A.B.2C.D.4
6.如图，是的直径，，是上的点，，则的大小为（ ）
A.B.C.D.
7.在平面直角坐标系中，二次函数部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，过点作轴的垂线，分别交的图象于点，过点作轴的垂线，分别交的图象于点（点在点上方，点在点上方），过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为，两条垂线交于点．给出下面四个结论：

①当时，四边形是菱形；
②四边形可能是正方形；
③；
④如果四边形为菱形，那么．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是___________．
10.抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为_____．
11.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为___________．
12.如图，直线，直线，分别与这三条直线交于点，，和点，，．若，则的值为___________．
13.数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________．
14.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是___________．（写出一个即可）
15.《周髀算经》中记载“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现．图1是一枚中国古代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”．图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形的中心都是点，正方形的边长是圆上的动点，若的最小值为，则的面积为___________
16.某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下：
已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）．
（1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天；
（2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验．
三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17.计算：．
18 解不等式组：
19.已知，求代数式的值．
20.如图，在中，，，是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21.已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点．
（1）求的值；
（2）若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积．
22.下面是小智设计“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程．
已知：锐角．
求作：射线，使得平分．
作法：如图，
①在内部任取一点；
②以点为圆心，长为半径画圆，分别交射线于点；
③连接，分别以点为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点（点在两侧）；
④作射线，交于点，作射线．
所以射线就是所求作的射线．
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
，
点在的垂直平分线上．
，即．
___________（___________）（填推理的依据）．
___________．
是的角平分线．
23.古代农民用脚踏碓舂捣谷物，如图1所示，脚踏碓由碓头、碓杆、碓架、碓尾和碓臼构成，用脚不断踩踏碓尾，就可以舂捣谷物．图2是踩踏到最低点时，脚踏碓侧面结构示意图，已知碓杆长为与地面的夹角，碓头长为，求碓头下端到地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：）
24.洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．
（1）在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下：
①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值；
②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离；
（2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围．
25.如图，是的直径，是的一条弦，，交于点，且，连接，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接．若，求的长．
26.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若对于，都有，求的取值范围．
27.如图，在中，，，是上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于点，延长，交于点．
（1）求证：；
（2）在上截取（点在点右侧），连接交于点，依题意补全图形．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系中，点，对于点和图形给出如下定义：若在图形上存在点（与点不重合），满足，则称点为图形的“关联点”．
（1）如图，点，．在点，，中，线段的“关联点”是___________；
（2）的半径为2．
①已知点，若线段上的所有点都是的“关联点”，则的取值范围是___________
②直线与坐标轴交于两点，若对于线段上任意一点，满足任意长度不大于的线段上的所有点都是的“关联点”，直接写出的取值范围．
小组
实验人数
实验时长
水平距离
0
1
2
3
4
5
竖直高度