2025-2026学年北京市海淀区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区九年级上学期期末考试数学试卷（学生版），共8页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1.选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ）
A.B.C.D.
3.如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ）
A.B.C.D.
4.将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ）
A.B.
C.D.
5.用长的绳子围成一个面积为的矩形．设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
6.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（ ）
A.B.
C.D.
7.已知的半径为，内接于，，则的长为（ ）
A.B.5C.D.10
8.在平面直角坐标系中，已知的圆心在直线上，给出下列三个结论：
①同时与轴和轴相切的有2个；
②若经过原点，则的面积的最小值为；
③若经过点，则点一定在外．
其中正确结论的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.二次函数的最小值为___________．
10.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为____．
11.如图，点C，D在以为直径的上，若，则的大小为____．
12.小明遇到下面的问题：在一个平面上一组间距为的平行线，将一根长度为的针随机投掷在这个平面上，试估计针与直线相交的概率．小明结合信息课中人工智能的相关知识，利用某智能体模型做了模拟试验，试验结果如下表：
根据表中数据，估计针与直线相交的概率为____（精确到0.01）．
13.如图，过外一点P作的两条切线，，若的半径为25，，则的长为____．
14.如图、某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥．如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为____°．
15.在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____．
16.某农业科技公司培育了15个农作物新品种，按其评估价值由低到高标注为1号至15号，并交由三个苗圃基地试种这些农作物新品种，每个苗圃基地种植5个．将每个苗圃基地种植的农作物新品种的最大标号与最小标号之和称为“综合培育价值指数”．
（1）若其中一个苗圃基地种植农作物新品种的“综合培育价值指数”为7，则该苗圃基地可选择的不同种植方案有____种；
（2）这三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和的最大值是____．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17 解方程：x2+4x﹣1=0．
18.已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值．
19.数学课上，李老师提出了如下问题：
已知：如图，是上的一条劣弧．
求作：的中点．
同学们通过交流讨论得到了很多不同的方法，其中小亮给出了一个作法：
①作射线交于点；
②以为圆心，线段的长为半径作圆弧交射线于点；
③连接交于点．
则点为所求．
（1）根据小亮设计的尺规作图过程，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）补全下面的证明．
证明：连接，，，
∵为的直径，∴① ，∴，
∵② ，∴，
又∵，所对的弧为，∴（③ ）（填推理的依据），
同理，
∴，∴，
∴点为的中点．
20.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．
（1）画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长；
（2）直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积．
21.在劳动课上、同学们设计制作了一种圆柱形零件、为检测它的底面直径是否符合标准，需要用到一种测量槽，槽的左右两壁均与槽的底面垂直且等高，槽的宽度为，深度为．把圆柱形零件水平放入槽内时，截面如图1所示，若零件同时与A、B、C三点接触，则其底面直径符合标准．如图2，圆柱的截面经过点A，B，且与相切于点C，求该圆柱形零件的底面直径．
22.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和．
（1）求抛物线表达式；
（2）当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围．
23.某学校为丰富学生的体育活动，安装了智慧体育器材．该校九年级共有480名学生，学校统计了九年级学生使用智慧体育器材的情况，数据整理如下：
（1）若从九年级随机抽取一名学生，该生是“中频使用者”的概率为，则______，______；
（2）九年级的甲、乙同学都是“高频使用者”，丙同学是“中频使用者”，丁同学是“低频使用者”．现从这4名学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高频使用者”的概率．
24.如图，是直径，点C在上，P为延长线上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2）过点C作于H，延长交于点D，若，，求的面积．
25.随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低．
下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息．
信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系．
信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系．
（1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）：
（2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______；
（3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为．
①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______；
②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）．
26.在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点
（1）当时、比较m，n的大小，并说明理由；
（2）当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围．
27.在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标中，对于点和，给出如下定义：若存在与的各边都有两个公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为，则称点是的“相关点”．
（1）如图，是以为中心，边长为3的等边三角形，点在轴上，在点，，中，点______是的“相关点”，其中的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）；
（2）已知点，，若点是的“相关点”，则的半径的取值范围是______；
（3）已知中，点，，，，边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，．是菱形上一点，且存在使得点是的“相关点”，，直接写出的取值范围．
试验次数n
50
100
200
300
500
1000
2000
4000
相交频数m
26
45
93
144
242
481
955
1916
相交频率
0.520
0.450
0.465
0.480
0.484
0.481
0.478
0.479
高频使用者（每周不少于4次）
中频使用者（每周2至3次）
低频使用者（每周不多于1次）
人数
160
m
n
汽车仪表盘显示的电量e（%）
0
20
30
50
60
70
80
90
100
累计充电时间t（）
0
5
8
17
22
29
38
50
94