2022-2023学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）O为一根轻质杠杆的支点，OA＝acm，OB＝bcm，A处挂着重4N的物体，若在B端施加一个竖直向上大小为3N的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则a和b需要满足的关系是4a＝3b，那么下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）关于四个函数y＝﹣2x2，y＝x2，y＝3x2，y＝﹣x2的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点
C．对称轴是y轴D．y随x增大而增大．
4．（3分）为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷洒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度y（mg/m3）和时间t（min）满足关系y＝（h≠0），已知测得当t＝10min时，药物浓度y＝5mg/m3，则k的值为（ ）
A．50B．﹣50C．5D．15
5．（3分）如图，AB是⊙O直径，AB＝10，点C，D是圆上点，AC＝6，＝，点E是劣弧BD上的一点（不与B，D重合），则AE的长可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（3分）怎样平移抛物线y＝2x2就可以得到抛物线y＝2（x+1）2﹣1（ ）
A．左移1个单位长度、上移1个单位长度
B．左移1个单位长度、下移1个单位长度
C．右移1个单位长度、上移1个单位长度
D．右移1个单位长度、下移1个单位长度
7．（3分）为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
8．（3分）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
A．12B．C．D．
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）写出一个开口向上，过（0，2）的抛物线的函数表达式 ．
10．（3分）在半径为1cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是 cm．
11．（3分）如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝ °．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 ．
13．（3分）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为 寸”．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，则AC的长为 ．
15．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，AC＝4，∠C＝60°，则PA＝ ．
16．（3分）某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案 （写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案 （写出小区编号）．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，
17．（5分）计算：tan30°+2cs45°﹣sin260°．
18．（5分）如图，矩形ABCD中，点P在边AD．上，PD＝2AP，连接CP并延长，交BA的延长线于点E，连接BD交CP于点Q．
（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1） ；
（2）求的值．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．
20．（5分）我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可．
情形（1）
证明：如图（1），当圆心O在∠ACB的边上时，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠B．
∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，
∴∠AOB＝∠C+∠B．
∴∠AOB＝2∠C．
即∠C＝∠AOB．
请你选择情形（2）或情形（3），并证明．
21．（6分）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．
22．（6分）小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）若小昊在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（3a，y2），C（2，y3）（点B，C不重合）在抛物线y＝x2﹣2x（a≠0）上．
（1）当a＝1时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若y2＝y3，则a的值为 ；
②已知二次函数的对称轴为t，当y1＞y3＞y2时，求t的取值范围．
24．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝AC，连接CD，点E是CB上一点，CE＝DB，过点E作CD的垂线分别交CD，AB于F，G．
（1）依题意补全图形；
（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明．
25．（7分）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 ；
②若直线y＝kx+（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．
2022-2023学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，在一块直角三角板ABC中，∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴sinA＝，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（3分）O为一根轻质杠杆的支点，OA＝acm，OB＝bcm，A处挂着重4N的物体，若在B端施加一个竖直向上大小为3N的力，使杠杆在水平位置上保持静止，则a和b需要满足的关系是4a＝3b，那么下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质即可解答．
【解答】解：A．由得出4b＝3a，故A不符合题意；
B．由得出4b＝3a，故B不符合题意；
C．由得出4b＝3a，故C不符合题意；
D．由得出4a＝3b，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，将比例式正确变形是解题的关键．
3．（3分）关于四个函数y＝﹣2x2，y＝x2，y＝3x2，y＝﹣x2的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点
C．对称轴是y轴D．y随x增大而增大．
【分析】根据二次函数的性质，可以写出它们的开口方向，最高点或最低点，对称轴，y随x的如何变化，然后即可写出它们的共同点．
【解答】解：函数y＝﹣2x2的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
函数y＝x2的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
函数y＝3x2的开口向上，有最低点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；
函数y＝﹣x2的开口向下，有最高点，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）为做好校园防疫工作，每日会对教室进行药物喷洒消毒，药物喷洒完成后，消毒药物在教室内空气中的浓度y（mg/m3）和时间t（min）满足关系y＝（h≠0），已知测得当t＝10min时，药物浓度y＝5mg/m3，则k的值为（ ）
A．50B．﹣50C．5D．15
【分析】用待定系数法直接可得k的值．
【解答】解：把t＝10，y＝5代入y＝得：
5＝，
解得k＝50，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征．
5．（3分）如图，AB是⊙O直径，AB＝10，点C，D是圆上点，AC＝6，＝，点E是劣弧BD上的一点（不与B，D重合），则AE的长可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】连接BC，AD，AE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BC的长，进而求出AD的长，然后根据已知可得AD＜AE＜AB，即可解答．
【解答】解：连接BC，AD，AE，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝＝8，
∵＝，
∴AD＝BC＝8，
∵点E是劣弧BD上的一点，
∴AD＜AE＜AB，
∴8＜AE＜10，
∴AE的长可能为9，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（3分）怎样平移抛物线y＝2x2就可以得到抛物线y＝2（x+1）2﹣1（ ）
A．左移1个单位长度、上移1个单位长度
B．左移1个单位长度、下移1个单位长度
C．右移1个单位长度、上移1个单位长度
D．右移1个单位长度、下移1个单位长度
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到抛物线y＝2（x+1）2﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
7．（3分）为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
【分析】利用所给角的正切函数即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故选：A．
【点评】本题考查仰角、俯角的概念，以及三角函数的应用．
8．（3分）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
A．12B．C．D．
【分析】根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AB＝AF＝6，∠AOB＝＝60°，
∴OA⊥BF，
∴BG＝FG，
在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6，
∴BG＝OB＝3，
∴BF＝2BG＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及圆内接正六边形的性质是正确解答的前提．
二、填空题（本题共8道小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）写出一个开口向上，过（0，2）的抛物线的函数表达式 y＝x2+2（本题答案不唯一） ．
【分析】根据开口向上，可知二次项系数大于0，再根据过点（0，2），即可写出一个符合要求的函数表达式．
【解答】解：一个开口向上，过（0，2）的抛物线的函数表达式为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（本题答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
10．（3分）在半径为1cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是 π cm．
【分析】直接根据弧长公式计算就可以求出弧长．
【解答】解：弧长为：＝π（cm）．
故答案为：π．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
11．（3分）如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝ 50 °．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAC＝2∠BAD＝50°，再根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠EDC＝∠BAE，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAD＝25°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝50°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BAE+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAE＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 0 ．
【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
【解答】解：方法一、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴联立方程组得：，
解得：，，
∴y1+y2＝0，
方法二、∵直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，
∴点A，点B关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
13．（3分）我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为 26 寸”．
【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由勾股定理，垂径定理，可得关于r的方程，求出r即可得到CD的长．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝5（寸），
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴CD＝2r＝26（寸），
故答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OA，构造直角三角形．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，则AC的长为 2 ．
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，AB＝3，sinB＝，
∵AD＝AB•sinB＝3×＝2，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴AC＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为⊙O的直径，AC＝4，∠C＝60°，则PA＝ 2 ．
【分析】连接OB，根据正弦的定义求出AB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，PA＝PB，根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝AC•sinC＝4×＝2，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠P＝360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠OBP＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴PA＝AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．（3分）某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案 ABC或ABE或ACE或ADE； （写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案 ABE （写出小区编号）．
【分析】（1）根据条件通过计算进行选择；通过计算，再比较大小求解．
【解答】解：（1）如果是ABC三个小区，需送：15+10+8＝33＞30，需取：6+5+5＝16＞15，符合要求；
如果是ABE三个小区，需送：15+8+13＝38＞30，需取：6+5+4＝15，符合要求；
如果是ACE三个小区，需送：15+8+13＝36＞30，需取：6+5+4＝15，符合要求；
如果是ADE三个小区，需送：15+4+13＝32＞30，需取：6+7+4＝17＞15，符合要求；
故答案为：ABC或ABE或ACE或ADE；
（2）若选ABC，收益为：33+16×2＝65（元）；
若选ABE，收益为：38+15×2＝68元）；
若选ACE，收益为：36+15×2＝66元）；
若选ADE，收益为：32+17×2＝66（元）；
∵68＞66＞65，
故答案为：ABE．
【点评】本题考查了列代数式，掌握有理数的运算是解题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，
17．（5分）计算：tan30°+2cs45°﹣sin260°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．
【解答】解：原式＝×+2×﹣（）2
＝1+﹣
＝+．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．
18．（5分）如图，矩形ABCD中，点P在边AD．上，PD＝2AP，连接CP并延长，交BA的延长线于点E，连接BD交CP于点Q．
（1）写出图中两对相似的三角形（相似比不为1） △EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ ；
（2）求的值．
【分析】（1）根据矩形的两组对边平行即可得到相似三角形；
（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例和已知条件可以求出的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ；
故答案为：△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ（答案不唯一）；
（2）∵△EAP∽△EBC，
∴＝，
∵PD＝2AP，AD＝BC，
∴＝＝，
∵AB＝CD，
∴＝＝，
∴＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，同时也利用了矩形的性质，有一定的综合性．
19．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（3）结合图象直接写出自变量0≤x≤3时，函数的最大值和最小值．
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象；
（3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4），与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），与y轴交于点（0，﹣3），过点（2，﹣3），
函数图象如右图所示；
（3）由图象可得，
当自变量0≤x≤3时，函数的最大值是0，最小值值是﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（5分）我们在课上证明圆周角定理时，需要讨论圆心与圆周角的三种不同位置分别证明，下面给出了情形（1）的证明过程，请你在情形（2）和情形（3）中选择其一证明即可．
情形（1）
证明：如图（1），当圆心O在∠ACB的边上时，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠B．
∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，
∴∠AOB＝∠C+∠B．
∴∠AOB＝2∠C．
即∠C＝∠AOB．
请你选择情形（2）或情形（3），并证明．
【分析】如图（2）：连接CO并延长交⊙O于点D，利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，再利用三角形的外角性质可得∠AOD＝2∠ACO，同理可得∠BOD＝2∠OCB，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；如图（3）：连接CO并延长交⊙O于点E，利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO，再利用三角形的外角性质可得∠AOE＝2∠ACO，同理可得∠BOE＝2∠OCB，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】证明：如图（2）：连接CO并延长交⊙O于点D，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠BOD＝∠B+∠OCB，
∴∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD
＝2∠ACO+2∠OCB
＝2∠ACB；
∴∠ACB＝∠AOB，
如图（3）：连接CO并延长交⊙O于点E，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOE＝∠A+∠ACO，
∴∠AOE＝2∠ACO，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠BOE＝∠B+∠OCB，
∴∠BOE＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠BOE﹣AOE
＝2∠OCB﹣2∠ACO
＝2∠ACB；
∴∠ACB＝∠AOB．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（6分）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥CD，过O作OH⊥BC于H，推出四边形OECH是矩形，得到BH＝FH，求得OH＝CE，CH＝OE，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，
∴AF是⊙O的直径；
∵∠A＝∠BOF，∠G+∠BOF＝90°．
∴∠A+∠G＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴FG是⊙O的切线；
（2解：连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
过O作OH⊥BC于H，
则四边形OECH是矩形，BH＝FH，
∴OH＝CE，CH＝OE，
∵AO＝OF，
∴OH＝AB＝1，
设OB＝OE＝CH＝r，
∴BH＝2﹣r，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝（2﹣r）2+12，
∴r＝，
∴AF＝，BF＝，
∵∠ABF＝∠FBG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝∠AFB+∠BFG＝90°，
∴∠BAF＝∠BFG，
∴△ABF∽△FBG，
∴＝，
∴BG＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
22．（6分）小张在学校进行定点M处投篮练习，篮球运行的路径是抛物线，篮球在小张头正上方出手，篮球架上篮圈中心的高度是3.05米，当球运行的水平距离为x米时，球心距离地面的高度为y米，现测量第一次投篮数据如下：
请你解决以下问题：
（1）根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
（2）若小昊在小张正前方1米处，沿正上方跳起想要阻止小张投篮（手的最大高度不小于球心高度算为成功阻止），他跳起时能摸到的最大高度为2.4米，请问小昊能否阻止此次投篮？并说明理由；
（3）第二次在定点M处投篮，篮球出手后运行的轨迹也是抛物线，并且与第一次抛物线的形状相同，篮球出手时和达到最高点时，球的位置恰好都在第一次的正上方，当篮球运行的水平距离是6.5米时恰好进球（恰好进球时篮圈中心与球心重合），问小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高多少米？
【分析】（1）根据表中数据，描点，连线，作出函数图象；
（2）根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，然后由待定系数法求出函数解析式，当x＝1时求出y的值与2.4比较即可；
（3）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把（6.5，3.05）代入解析式求出m即可．
【解答】解：（1）描点，连线，作出函数图象，
（2）小昊不能能阻止此次投篮，理由：
由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为（4，3.4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，
把（2，3）代入解析式得：3＝a（2﹣4）2+3.4，
解得a＝﹣0.1，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，
当x＝1时，y＝﹣0.9+3.4＝2.5＞2.4，
∴小昊不能能阻止此次投篮；
（3）根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，
则第二次篮球运行的抛物线解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4+m，
∵第二次篮球运行的抛物线经过（6.5，3.05），
∴3.05＝﹣0.1（6.5﹣4）2+3.4+m，
解得m＝0.275，
答：小张第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高0.275米．
【点评】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（3a，y2），C（2，y3）（点B，C不重合）在抛物线y＝x2﹣2x（a≠0）上．
（1）当a＝1时，求二次函数的顶点坐标；
（2）①若y2＝y3，则a的值为 ﹣2 ；
②已知二次函数的对称轴为t，当y1＞y3＞y2时，求t的取值范围．
【分析】（1）把a＝1代入解析式，然后化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①先求出抛物线对称轴为x＝a，再根据y2＝y3得出B，C关于对称轴对称，从而得出＝a，解方程即可；
②由题意t＝a，分3a＜﹣1，﹣1＜3a＜0，0＜3a＜2，3a＞2四种情况，再根据y1＞y3＞y2时求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵y2＝y3，
∴B，C关于对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a，
∴＝a，
∴a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
②由题意t＝a，
当3a＜﹣1，即a＜﹣时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
解得a＜﹣2；
当﹣1＜3a＜0，即﹣＜a＜0时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
解得a＜﹣2，
∴此情况无解；
当0＜3a＜2，即0时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
∵y3＞y2，
∴a＜，
解得a＞﹣2，
∴＜a＜；
当3a＞2，即a＞时，
∵y1＞y3，
∴a＞，
∵y3＞y2，
∴a＞，
解得a＜﹣2，
∴此情况无解．
综上所述，a＜﹣2或＜a＜，即t＜﹣2或＜t＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是对二次函数性质的应用．
24．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，AD＝AC，连接CD，点E是CB上一点，CE＝DB，过点E作CD的垂线分别交CD，AB于F，G．
（1）依题意补全图形；
（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AG，AC，BC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）求出∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，再由等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，然后由三角形内角和定理即可得出结论；
（3）延长CA、EG交于点H，过B作BM⊥BC交CD的延长线于点M，证∠AGH＝∠H，得AH＝AG，再证∠M＝∠BDM，得BD＝BM，然后证△CEH≌△BMC（AAS），得CH＝BC，即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意补全图形如下：
（2）∵∠ACB＝90°，∠BCD＝α，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，
∴∠CAB＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
（3）AG+AC＝BC，证明如下：
如图，延长CA、EG交于点H，过B作BM⊥BC交CD的延长线于点M，
则∠CBM＝90°，
∵EG⊥CD，
∴∠EFC＝∠DFG＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵∠ADC＝90°﹣α，
∴∠AGH＝∠DGF＝α，
由（2）可知，∠CAB＝2α，
∴∠H＝∠CAB﹣∠AGH＝α，
∴∠AGH＝∠H，
∴AH＝AG，
∵∠CBM＝90°，
∴∠M＝90°﹣∠BCD＝90°﹣α，
∵∠BDM＝∠ADC＝90°﹣α，
∴∠M＝∠BDM，
∴BD＝BM，
∵CE＝BD，
∴CE＝BM，
在△CEH和△BMC中，
，
∴△CEH≌△BMC（AAS），
∴CH＝BC，
∵AH+AC＝CH，AH＝AG，
∴AG+AC＝BC．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
25．（7分）已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．
（1）若C（﹣2，0）．
①点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；
②若直线y＝kx+（k≠0）．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；
（2）点C在线段AB上，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①连接OP，根据垂径定理可知∠CPO＝90°，则可得P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，设圆心D（﹣1，0），由题意可知直线y＝kx+（k≠0）与圆D相切，过点D作DF垂直直线y＝kx+交于点F，先证明△EGO∽△EFD，得到＝，求出k＝；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，由题意可得直线y＝x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y＝x+b交于点F，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D（﹣2，0），由勾股定理可得（﹣2+b）2＝8，求出解得b＝2+2或b＝2+2（舍）；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D（2，0），由勾股定理可得（﹣b﹣2）2＝8，解得b＝2﹣2（舍）或b＝﹣2﹣2；即可求得﹣2﹣2≤b≤2+2时，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”．
【解答】解：（1）①连接OP，
∵P点是弦MN的中点，
∴OP⊥MN，
∴∠CPO＝90°，
∴P点在以CO为直径的圆上，
∵C（﹣2，0），
∴P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
∵点P1（0，0），P2（﹣1，1）在该圆上，
∴点P1（0，0），P2（﹣1，1）是关于MN的“折弦点”，
故答案为：P1，P2；
②由①可知，P点在以（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上，
设圆心D（﹣1，0），
∵直线y＝kx+（k≠0）上只存在一个关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝kx+（k≠0）与圆D相切，
过点D作DF垂直直线y＝kx+交于点F，
∵直线y＝kx+与x轴交于点E（﹣，0），与y轴交于点G（0，），
∴DE＝﹣1+，OF＝，OG＝，
∵∠DFE＝∠EOG＝90°，
∴△EGO∽△EFD，
∴＝，
∴＝，
解得k＝；
（2）由（1）可知，P点在以OC为直径的圆上，
∵直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”，
∴直线y＝x+b与圆D相交或相切，
过D点作DF垂直直线y＝x+b交于点F，
∵直线y＝x+b与x轴交于点（﹣b，0），与y轴交于点（0，b），
当C点与A点重合时，b有最大值，此时D（﹣2，0），
∴（﹣2+b）2＝8，
解得b＝2+2或b＝2+2（舍）；
当C点与B点重合时，b有最小值，此时D（2，0），
∴（﹣b﹣2）2＝8，
解得b＝2﹣2（舍）或b＝﹣2﹣2；
∴﹣2﹣2≤b≤2+2时，直线y＝x+b上存在关于MN的“折弦点”．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点P的轨迹是解题的关键．小区
需送快递数量
需取快递数量
A
15
6
B
10
5
C
8
5
D
4
7
E
13
4
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB＝∠AOB．
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0
2
4
6
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3
3.4
3
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需送快递数量
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E
13
4
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB．
求证：∠ACB＝∠AOB．
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3
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