2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在⊙O（ ）
A．内B．上C．外D．无法确定
3．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝2（x﹣3）2﹣4
C．y＝2（x+3）2+4D．y＝2（x+3）2﹣4
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
5．（2分）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
6．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）
B．它的图象的对称轴是直线x＝3
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＝0时，y有最大值为0
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为（ ）
A．18B．27C．36D．45
8．（2分）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，b＞0D．a＜0，b＜0
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是 （结果保留π）．
10．（2分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝ ．
11．（2分）某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为 米．
12．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为8米，轮子的半径AO为5米，则轮子的吃水深度CD为 米．
13．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在 Ω．
14．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA＝40°，则∠CAD的度数为 ．
15．（2分）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF面积为1，则阴影部分的面积之和为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m，n）叫做点P的“角坐标”．
（1）点（2，2）的“角坐标”为 ；
（2）若点P到x轴的距离为2，则m+n的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）2sin260°﹣tan45°+4cs60°．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，求AC的长和csB的值．
19．（5分）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，CD＝2，AC＝2，求AB的长．
21．（5分）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离．
22．（5分）下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交劣弧于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB （填推理的依据）．
∴BD∥AC．
23．（6分）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．
（1）求证：点D为AB的中点；
（2）求证：AD＝DE．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．
（1）求m和k的值；
（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．
25．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+5，则y1 y2；（用“＜“，“＝“，或“＞”填空）
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，求m的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，取AD的中点F，连结CD、CF，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连结AE、BE．
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断BE、CF的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：过⊙O外一点P作直线与⊙O交于点M、N，若M为线段PN的中点，则称线段PN是⊙O的“外倍线”．
（1）如图1，点P1，P2，P3，N1，N2，N3的横、纵坐标都是整数．在线段P1N1，P2N2，P3N3中，⊙O的“外倍线”是 ；
（2）⊙O的“外倍线”PN与直线x＝2交于点P，求点P纵坐标yp的取值范围；
（3）如图2，若⊙O的“外倍线”PN，N的坐标为（﹣1，0），直线y＝x+b与线段PN有公共点，直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴sinA＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
2．（2分）已知⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在⊙O（ ）
A．内B．上C．外D．无法确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为4，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝2（x﹣3）2﹣4
C．y＝2（x+3）2+4D．y＝2（x+3）2﹣4
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为y＝2（x+3）2﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，△OAB是等边三角形，则∠ACB的大小为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】利用等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2分）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
【分析】由于∠BAC＝∠PED＝90°，而＝，则当＝时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE＝4，所以EP＝6，则易得点P落在P3处．
【解答】解：∵∠BAC＝∠PED，
而＝，
∴＝时，△ABC∽△EPD，
∵DE＝4，
∴EP＝6，
∴点P落在P3处．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
6．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（﹣1，﹣3）
B．它的图象的对称轴是直线x＝3
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＝0时，y有最大值为0
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝﹣1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2，
∴当x＝﹣1时，y＝3，故选项A不符合题意；
它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE的面积为9，则△AQB的面积为（ ）
A．18B．27C．36D．45
【分析】根据平行四边形性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出AB＝2DE，△DQE∽△BQA，求出＝（）2＝，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∵E为DC边的中点，
∴AB＝CD＝2DE，
∵AB∥CD，
∴△DQE∽△BQA，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△DQE的面积为9，
∴△AQB的面积SHI 36，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
8．（2分）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＞0，b＞0D．a＜0，b＜0
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b的正负，由x＞0时的函数图象判断a的正负．
【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠b，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴b＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是 π （结果保留π）．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为60°，半径为2，
∴扇形的弧长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】此题考查弧长公式：l＝，关键是记住弧长公式，属于中考基础题．
10．（2分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝ ．
【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．
【解答】解：tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．
11．（2分）某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡AB上植树，要求相邻两树间的水平距离AC为米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为 4 米．
【分析】先根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵斜坡的坡度i＝1：，
∴BC：AC＝1：，
∵AC＝2米，
∴BC＝2米，
∴AB＝＝＝4（米），
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．（2分）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为8米，轮子的半径AO为5米，则轮子的吃水深度CD为 2 米．
【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD即可．
【解答】解：由题意OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝×8＝4（米），
∴OD＝＝＝3（米），
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（米）．
故答案为：2．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的应用．
13．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在 R≥1 Ω．
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，结合图象求出结论．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤6时，则≤6，
R≥1，
故答案为：R≥1．
【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
14．（2分）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA＝40°，则∠CAD的度数为 50° ．
【分析】连接OC，OD，利用切线的性质定理和切线长定理求得∠OCP＝∠ODP＝90°，∠CPD＝80°，利用四边形的内角和定理和圆周角定理解得即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，如图，
∵PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，
∴OC⊥PC，OD⊥PD，∠CPO＝∠DPO＝40°，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，∠CPD＝80°．
∵四边形PCOD的内角和为360°，
∴∠CPD+∠COD＝180°，
∴∠COD＝100°．
∴∠CAD＝∠COD＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理和切线长定理，圆周角定理，四边形的内角和，连接OC，OD是解题的关键．
15．（2分）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF面积为1，则阴影部分的面积之和为 6 ．
【分析】根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S3＝S2+S3＝4，因为S3＝1，所以S1＝S2＝3，由此解决问题．
【解答】解：∵A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S1+S3＝S2+S3＝4，
∵四边形OCEF面积为1，即S3＝1，
∴S1＝S2＝3，
∴S1+S2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m，n）叫做点P的“角坐标”．
（1）点（2，2）的“角坐标”为 （45°，45°） ；
（2）若点P到x轴的距离为2，则m+n的最小值为 90° ．
【分析】（1）根据题中对“角坐标”的定义即可解决问题．
（2）将m+n的最小值，转化为第三个角的最大值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，过点P（2，2）作x轴的垂线，垂足为M，连接OP，AP，
则OM＝MA＝PM＝2，
所以∠POA＝45°，∠PAO＝45°．
即点（2，2）的“角坐标”为（45°，45°）．
故答案为：（45°，45°）．
（2）由题知，
当m+n取得最小值时，∠OPA的度数最大．
以OA为直径作圆，与直线y＝2相切，
当切点为点P时，∠OPA的度数取得最大值．
因为OA是直径，
所以∠OPA＝90°，
则此时m+n＝90°，
即m+n的最小值为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查坐标与图形性质，理解题中“角坐标”的定义是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）2sin260°﹣tan45°+4cs60°．
【分析】直接把各角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝2×（）2﹣1+4×
＝﹣1+2
＝．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，，求AC的长和csB的值．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA＝，再把BC＝6，tanA＝代入即可算出AC的值，根据勾股定理求出AB，再根据csB＝求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝，
∵BC＝6，tanA＝，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝10，
∴csB＝＝＝．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
19．（5分）已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）写出此二次函数图象的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
【分析】（1）根据表格中的数据，结合抛物线的对称性即可解决问题．
（2）用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）由表格可知，
当x＝﹣1时，y＝0；x＝3时，y＝0，
则点（﹣1，0）和（3，0）关于抛物线的对称轴对称，
所以抛物线的对称轴为直线x＝．
（2）由表格可知，
当x＝1时，y＝﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，
将（﹣1，0）代入得，
a×（﹣1﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
所以二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，CD＝2，AC＝2，求AB的长．
【分析】根据正切的概念求出∠CAD，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算求出∠B，根据直角三角形的性质求出AB．
【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠C＝90°，CD＝2，AC＝2，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°；
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4．
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义式．
21．（5分）无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A处，测得小山两端B，C的俯角分别是45°和30°，此时无人机距直线BC的垂直距离是200米，求小山两端B，C之间的距离．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰直角三角形的性质求出BD，再根据正切的定义求出CD，进而求出BC．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝200米，
则BD＝AD＝200米，
在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝200米，
∵tanC＝，
∴CD＝＝＝200（米），
∴BC＝BD+CD＝（200+200）米，
答：小山两端B，C之间的距离为（200+200）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（5分）下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：直线BD，使得BD∥AC．
作法：如图2，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线l1，l2，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交劣弧于点D；
④作直线BD．
所以直线BD就是所求作的直线．
根据设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝ ．
∴∠DBA＝∠CAB 在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等 （填推理的依据）．
∴BD∥AC．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．
【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC，
∴＝．
∴∠DBA＝∠CAB（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴BD∥AC．
故答案为：．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．（6分）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E．
（1）求证：点D为AB的中点；
（2）求证：AD＝DE．
【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质可得到AD＝BD；
（2）利用圆内接四边形的性质得到∠B+∠DEC＝180°，则可判断∠AED＝∠B，再利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，所以∠A＝∠AED，从而得到结论．
【解答】证明：（1）连接CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AD＝BD，即点D为AB的中点；
（2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠DEC＝180°，
而∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．
（1）求m和k的值；
（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到＝＝3，推出BF＝1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得＝＝3，推出BF＝1，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）把点A（m，3）的再把代入y＝得到m＝2，
再把A（2，3）的再把代入y＝kx+2，3＝2k+2，解得k＝，
所以m＝2，k＝．
（2）①当点P在第三象限时，如图1，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∵AE∥PF，
∴＝＝3，
∴＝3，
∴PF＝1，
∴P（﹣6，﹣1）．
②当点P在第一象限时，如图2，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∵AE∥PF，
∴＝＝3，
∴＝3，
∴PF＝1，
∴P（6，1），
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（6分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，过点D作DF∥AB交CO的延长线于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，，求DF的长．
【分析】（1）连接OD，角平分线的定义和圆周角定理得到∠AOD＝∠BOD＝90°，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得圆的直径，在Rt△ODF中利用直角三角形的边角关系定理和特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝180°＝90°，
∴DO⊥AB．
∵DF∥AB，
∴OD⊥DF．
∵DF为⊙O的半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BOC＝60°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，
∵cs∠BAC＝，
∴AB＝＝8，
∴OD＝AB＝4，
在Rt△ODF中，
∵tanF＝，
∴DF＝＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，圆的切线的判定定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若x1＝m﹣2，x2＝m+5，则y1 ＜ y2；（用“＜“，“＝“，或“＞”填空）
（3）若对于﹣1≤x1＜4，x2＝4，都有y1≤y2，求m的取值范围．
【分析】（1）将二次函数解析式改为顶点式即可．
（2）结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
（3）求出点（4，y2）关于抛物线的对称轴的对称轴点即可解决问题．
【解答】解：（1）因为y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）．
（2）因为抛物线开口向上，
所以抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小．
又因为m﹣（m﹣2）＝2，m+5﹣m＝5，且2＜5，
所以y1＜y2．
故答案为：＜．
（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝m，
所以点（4，y2）关于对称轴的对称点坐标为（2m﹣4，y2）．
又因为y1≤y2，且抛物线开口向上，
所以2m﹣4≤x1≤4．
又因为﹣1≤x1＜4，
所以2m﹣4≤﹣1，
解得m≤1.5．
故m的取值范围是：m≤1.5．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
27．（7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB的延长线上，取AD的中点F，连结CD、CF，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连结AE、BE．
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断BE、CF的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）取AC中点M，连结FM，根据旋转的性质推出，进而推出△FMC∽△ECB，即可推出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图所示；
（2）BE＝2CF，BE⊥CF，
证明：如图，取AC中点M，连结FM，F为AD中点，
∴FM∥CD，，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，
∴，AC＝BC，
∴，
∴，
∵FM∥CD，
∴∠FMC+∠DCA＝180°，
∴∠FMC＝180°﹣∠DCA＝90°﹣∠ECA，
∵∠BCE＝90°﹣∠ECA，
∴∠FMC＝∠BCE，
∴△FMC∽△ECB，
∴BE＝2CF，∠BEC＝∠CFM，
∵DC⊥CE，
∴FM⊥CE，
∴∠FCE+∠CFM＝90°，
∴∠FCE+∠BEC＝90°，
∴BE⊥CF．
【点评】本题考查了旋转变换的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解（2）的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：过⊙O外一点P作直线与⊙O交于点M、N，若M为线段PN的中点，则称线段PN是⊙O的“外倍线”．
（1）如图1，点P1，P2，P3，N1，N2，N3的横、纵坐标都是整数．在线段P1N1，P2N2，P3N3中，⊙O的“外倍线”是 P1N1，P2N2 ；
（2）⊙O的“外倍线”PN与直线x＝2交于点P，求点P纵坐标yp的取值范围；
（3）如图2，若⊙O的“外倍线”PN，N的坐标为（﹣1，0），直线y＝x+b与线段PN有公共点，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）由“外倍线”的定义判断线段P1N1，P2N2，P3N3的中点是否在⊙O上，从而判断⊙O的“外倍线”；
（2）通过“外倍线”的定义得到点P所在的位置，从而求出yP的取值范围；
（3）连接AM，过点P作PB∥AM，交x轴于点B，求出点P所在的位置，得到若直线y＝x+b与线段PN有公共点，则直线y＝x+b与⊙A有交点，从而求出b的取值范围．
【解答】解：（1）由图可知P1（0，3），N1（0，﹣1），
此时P1N1与⊙O的交点M1（0，1）正好是线段P1N1的中点，则P1N1是⊙O的“外倍线”；
由图可知P2（﹣2，﹣1），N2（0，1），
此时P2N2与⊙O的交点M2（﹣1，0）正好是线段P2N2的中点，则P2N2是⊙O的“外倍线”；
由图可知P3（2，3），N3（﹣1，0），
此时P3N3与⊙O的交点为M3（0，1），而线段P3N3的中点为，则P3N3不是⊙O的“外倍线”；
故答案为：P1N1，P2N2；
（2）根据“外倍线”的定义，⊙O的“外倍线”PN与直线x＝2的交点在图中线段P1P2上，即PN的距离小于等于4，
由ON＝1，得OP≤3，
设点P的坐标为（2，m），
得，解得，
得点P纵坐标yP得取值范围是；
（3）连接AM，过点P作PB∥AM，交x轴于点B，
∵PB∥AM，点M是PN的中点，∠AMN＝90°，
∴点A是BN中点，∠BPN＝90°，
∵AN＝2，
∴BN＝4，
∵∠BPN＝90°，
∴点P在以A为圆心，2为半径的圆上，
若直线y＝x+b与线段PN有公共点，则直线y＝x+b与⊙A有交点，
作直线l1与⊙A只有唯一一个交点P，交x轴于点C，
∴l1是⊙A的切线，
∵∠PCA＝45°，
∴△PCA是等腰直角三角形，
∵PA＝2，
∴AC＝，
∴点C的坐标为（，0），
把C（，0）代入y＝x+b，得b＝，
得直线l1的解析式为，
同理可得l2的解析式为，
若直线y＝x+b与⊙A有交点，则b的取值范围是．
【点评】本题考查了新定义的概念，根据题意画出图象解题，等腰直角三角形的性质，相似三角形的和性质等知识点，本题的关键在于理解新定义的概念，从而画出图象解题．x
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