2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）已知点P在半径为r的⊙O内，且OP＝3，则r的值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y＝﹣x2
4．（2分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）如图，点A，B在⊙O上，点C是劣弧的中点，∠AOC＝80°，则∠CDB的大小为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．80°
6．（2分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．3.5x2＝6.8B．3.5（1+x）＝6.8
C．3.5（1+x）2＝6.8D．3.5（1﹣x）2＝6.8
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（2，2）D．（3，3）
8．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的部分图象如图所示，给出下面三个结论：①a•b＞0；②二次函数y＝ax2+bx（a≠0）有最大值4；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个实数根x1＝﹣4，x2＝0，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系xOy中，与点P（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2分）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 ．
11．（2分）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 ．
12．（2分）已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1，3），则这个二次函数解析式可以是 ．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，若∠AOB＝90°，PA＝3，则⊙O的半径为 ．
14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 ．
15．（2分）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．为估计a的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：
根据以上数据，估计a的值约为 ．
16．（2分）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 ；
（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
18．（5分）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值．
19．（5分）2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组．
（1）小东被分配到A组是 事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；小东被分配到A组的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．
20．（6分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．
（1）若BC＝6，BD＝9，求线段AE的长．
（2）连接AD，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠BDA的度数．
21．（5分）阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为（x+ ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+ ）2＝39+ ，则方程的正数解是x＝ ．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 （填序号）．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根．
23．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3的值，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若c＜m＜n，求t的取值范围．
27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．
（1）依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；
（2）连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点P给出如下定义：连接CP交⊙C于点Q，作点P关于点Q的对称点P′，若点P′在线段CQ上，则称点P是⊙C的“关联点”．例如，图中P为⊙C的一个“关联点”．
（1）⊙O的半径为1．
①如图1，在点，B（2，2），D（0，3）中，⊙O的“关联点”是 ；
②已知点M在直线y＝x﹣2上，且点M是⊙O的“关联点”，求点M的横坐标m的取值范围．
（2）直线y＝﹣（x﹣1）与x轴，y轴分别交于点E，点F，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若线段EF上所有点都是⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）已知点P在半径为r的⊙O内，且OP＝3，则r的值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据点与圆的位置关系定理对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，当r＝1时，则OP＞r，因此点P在⊙O外，故不合题意；
对于选项B，当r＝2时，则OP＞r，因此点P在⊙O外，故不合题意；
对于选项C，当r＝3时，则OP＝r，因此点P在⊙O上，故不合题意；
对于选项D，当r＝4时，则OP＜r，因此点P在⊙O内，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．
3．（2分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y＝﹣x2
【分析】根据一次函数以及二次函数的增减性，即可进行解答．
【解答】解：A、y＝x，正比例函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故此选项不符合题意；
B、y＝x+1，一次函数，k＞0，故y随着x增大而增大，故此选项不符合题意；
C、y＝x2，二次函数，对称轴为y轴，开口向上，当x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；
D、y＝﹣x2，二次函数，对称轴为y轴，开口向下，当x＞0时，y随着x增大而减小，故本选正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握各个函数的增减性，会根据解析式判断其增减性．
4．（2分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在白砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在白砖上的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
5．（2分）如图，点A，B在⊙O上，点C是劣弧的中点，∠AOC＝80°，则∠CDB的大小为（ ）
A．40°B．45°C．60°D．80°
【分析】由点C是劣弧AB的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵点C是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠CDB＝AOC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠CDB＝40°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．（2分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．3.5x2＝6.8B．3.5（1+x）＝6.8
C．3.5（1+x）2＝6.8D．3.5（1﹣x）2＝6.8
【分析】利用第三周的票房＝第一周的票房×（1+每周票房的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2＝6.8．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标为（ ）
A．（3，2）B．（2，3）C．（2，2）D．（3，3）
【分析】作AB和AC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可．
【解答】解：如图所示，△ABC外接圆圆心的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（2分）平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的部分图象如图所示，给出下面三个结论：①a•b＞0；②二次函数y＝ax2+bx（a≠0）有最大值4；③关于x的方程ax2+bx＝0有两个实数根x1＝﹣4，x2＝0，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据二次函数的性质以及函数的图象即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴a，b同号，
∴a•b＞0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，4），
∴二次函数y＝ax2+bx（a≠0）有最大值4，故②正确；
∵抛物线与x轴交于（﹣4，0），c＝0，
∴关于x的方程ax2+bx＝0有两个实数根x1＝﹣4，x2＝0，故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象性质是解题关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）平面直角坐标系xOy中，与点P（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是 （4，﹣1） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣4，1）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣1）．
故答案为：（4，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（2分）一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是 x1＝3，x2＝1 ．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
11．（2分）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 y＝（x+1）2 ．
【分析】根据函数图象的平移规则“左加右减”进行求解即可．
【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为y＝（x+1）2．
故答案为：y＝（x+1）2．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．
12．（2分）已知某二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1，3），则这个二次函数解析式可以是 y＝（x﹣1）2+3（答案不唯一） ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x+h）2+k，由条件可以得出a＞0，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，且该抛物线的图象开口向上，
∴a＞0，
∴y＝（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝（x﹣1）2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，解答时运用抛物线的性质确定a值是解题的关键．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，若∠AOB＝90°，PA＝3，则⊙O的半径为 3 ．
【分析】根据切线的性质和正方形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠PAO＝∠PBO＝∠AOB＝90°，
∴四边形AOBP是矩形，
∴OB＝AP＝3，
∴⊙O的半径为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若OE＝3，CD＝8，则AD的长为 4 ．
【分析】连接OD，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴DE＝CD＝4，
∴OD＝＝＝5，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
15．（2分）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．为估计a的值，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：
根据以上数据，估计a的值约为 24 ．
【分析】利用频率估计概率的知识，得到摸到红球的概率约为0.6，再根据球的总数×摸到红球的概率＝红球个数求出白球的个数计算即可．
【解答】解：根据频率估计概率的知识可得，摸球一次摸到红球的概率P＝0.6，
∴a＝40×0.6＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
16．（2分）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．
（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为 w＝﹣2x2+240x﹣5400 ；
（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 1600 元．
【分析】（1）依据题意，由该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝单个利润×销量，进而列式可以得解；
（2）依据题意，由（1）得解析式，配方成顶点式后，结合自变量的取值范围进行判断可以得解．
【解答】解：（1）该网店每周销售该礼盒所获利润为w＝（x﹣30）（﹣2x+180），
∴w＝﹣2x2+240x﹣5400．
故答案为：w＝﹣2x2+240x﹣5400．
（2）由题意，∵w＝﹣2x2+240x﹣5400＝﹣2（x2﹣120x+3600）+1800＝﹣2（x﹣60）2+1800，
又30≤x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝60，
∴当x＝50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大＝﹣2 （50﹣60）2+1800＝1600（元）．
故答案为：1600．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决问题．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0．
【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，
可得x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程左边化为积的形式，右边化为0，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（5分）已知x2﹣2x﹣5＝0，求代数式3x（x﹣2）+（x﹣1）2的值．
【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣2x＝5代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：3x（x﹣2）+（x﹣1）2
＝3x2﹣6x+x2﹣2x+1
＝4x2﹣8x+1，
∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴当x2﹣2x＝5时，原式＝4（x2﹣2x）+1＝4×5+1＝20+1＝21．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（5分）2023年7月31日，北京遭遇140年以来最大的暴雨，房山地区受灾严重．为了做好防汛救灾工作，某社区特招募志愿工作者，小东和小北积极报名参加，根据社区安排，志愿者被随机分到A组（信息登记），B组（物资发放），C组（垃圾清运）的其中一组．
（1）小东被分配到A组是 随机 事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）；小东被分配到A组的概率是 ．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小东和小北被分配到同一组的概率．
【分析】（1）根据随机事件的定义可得答案；由概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小东和小北被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，小东被分配到A组是随机事件．
小东被分配到A组的概率是．
故答案为：随机；．
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小东和小北被分配到同一组的结果有3种，
∴小东和小北被分配到同一组的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、随机事件的定义、概率公式是解答本题的关键．
20．（6分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB上．
（1）若BC＝6，BD＝9，求线段AE的长．
（2）连接AD，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠BDA的度数．
【分析】（1）由旋转的性质得出BC＝BE＝6，BD＝AB＝9，则可得出答案；
（2）由旋转的性质可得出AB＝BD，∠ABC＝∠DBA＝30°，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴BC＝BE＝6，BD＝AB＝9，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣6＝3；
（2）如图，
∵∠C＝110°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝30°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD，∠ABC＝∠DBA＝30°，
∴∠BDA＝∠BAD＝×（180°﹣30°）＝75°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
21．（5分）阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以x2+10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为（x+ 5 ）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+ 5 ）2＝39+ 25 ，则方程的正数解是x＝ 3 ．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）补全花拉子米的解法步骤②；
（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是 ① （填序号）．
【分析】（1）根据已知算式和图形可得答案．
（2）根据题意可得答案．
【解答】解：（1）一方面大正方形的面积为（x+5）2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2+10x＝39，可得方程（x+5）2＝39+25，则方程的正数解是x＝3．
故答案为：5；5；25；3．
（2）由题意可得，能够得到方程x2﹣6x＝7的正数解的正确构图是①．
故答案为：①．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数可得出m的值，将其代入原方程后解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+（m﹣2）＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＞0，
∴4﹣4m+8＞0，
∴m＜3．
（2）∵m为正整数，且m＜3，
∴m＝2，
∴原方程为x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解出一元二次方程．
23．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0）．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3的值，结合函数图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）由于当直线y＝x+n经过点（3，0）时，n＝﹣3，利用一次函数和二次函数的性质，当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当直线y＝x+n经过点（3，0）时，3+n＝0，解得n＝﹣3，
此时函数y＝x+n的值等于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值，
所以当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的值，
即n的取值范围为n≤﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
24．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得OE⊥BC，可证AC∥OE，可得∠AFD＝∠OED＝∠ODE，可得结论；
（2）通过证明△CEF∽△CAE，可得，可求AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠AFD＝∠OED＝∠ODE，
∴AF＝AD；
（2）解：连接AE，
∵AD是直径，
∴∠ADE＝∠AEF＝90°，
∴∠F+∠FAE＝90°＝∠F+∠FEC，
∴∠FAE＝∠FEC，
又∵∠FCE＝∠ACE＝90°，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
∴，
∴AC＝8，
∴AF＝AD＝10，
∴AO＝OD＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，证明三角形相似是解题的关键．
25．（6分）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录y1，y2与x的几组对应值如下：
（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c（a≠0）．请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为xA，xB，则xA ＜ xB（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当y＝4时x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意，作图如下．
（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．
又点（0，25），（10，20）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．
对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝ax+c．
又（0，25），（10，15）在函数图象上，
∴．
解得：．
∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．
（3）由题意，当y＝4时，
场景A中，xA＝20，
场景B中，4＝﹣xB+25，
解得：xB＝21，
∴xA＜xB．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若c＜m＜n，求t的取值范围．
【分析】（1）依据题意，若m＝n，从而对称轴是直线x＝＝1＝t，进而可以得解；
（2）把M（﹣1，m），N（3，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，根据c＜m＜n得出t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，若m＝n，
∴对称轴是直线x＝＝1＝t．
即t＝1；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝t，
∴x＝﹣＝t，
∴b＝﹣2at，
∴y＝ax2﹣2atx+c，
∵M（﹣1，m），N（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴，
①﹣②得，m﹣n＝﹣8a+8at，
∵m＜n，
∴m﹣n＜0，
∴﹣8a+8at＜0，
∵a＞0，
∴t＜1，
由①得，m﹣c＝a+2at，
∵c＜m，
∴m﹣c＞0，
∴a+2at＞0，
∵a＞0，
∴t＞﹣，
∴t的取值范围为﹣＜t＜1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，点M为AB边上一点（不与点A，B重合），连接CM，过点A作AD⊥CM于点D，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE．
（1）依题意补全图形，直接写出∠AEB的大小，并证明；
（2）连接ED并延长交BC于点F，用等式表示BF与FC的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意即可补全图形，然后利用旋转的性质得△ADE为等边三角形，证明△DAC≌△EAB（SAS），得∠ADC＝∠AEB，即可解决问题；
（2）过点C作CG∥EB，交EF的延长线于点G，得∠EBF＝∠GCF，∠BEF＝∠G，证明∠G＝∠CDG＝30°，得CD＝CG，然后证明△EBF≌△GCF（ASA），即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，即为补全的图形，∠AEB＝90°，
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转可知：△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠DAC＝60°﹣∠DAB＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，
∵AD⊥CM，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）BF＝FC，理由如下：
如图，过点C作CG∥EB，交EF的延长线于点G，
∴∠EBF＝∠GCF，∠BEF＝∠G，
由（1）知：∠AEB＝90°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BEF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠G＝30°，
∵AD⊥CM，
∴∠ADM＝90°，∠ADE＝60°，
∴∠EDM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CDG＝30°，
∴∠G＝∠CDG＝30°，
∴CD＝CG，
∵△DAC≌△EAB，
∴DC＝EB，
∴EB＝CG，
在△EBF和△GCF中，
，
∴△EBF≌△GCF（ASA），
∴BF＝CF．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点P给出如下定义：连接CP交⊙C于点Q，作点P关于点Q的对称点P′，若点P′在线段CQ上，则称点P是⊙C的“关联点”．例如，图中P为⊙C的一个“关联点”．
（1）⊙O的半径为1．
①如图1，在点，B（2，2），D（0，3）中，⊙O的“关联点”是 点A ；
②已知点M在直线y＝x﹣2上，且点M是⊙O的“关联点”，求点M的横坐标m的取值范围．
（2）直线y＝﹣（x﹣1）与x轴，y轴分别交于点E，点F，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若线段EF上所有点都是⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①通过“关联点”的定义求出A′，B′，D′的坐标，从而判断点A，B，D是否是⊙O的“关联点”；
②通过“关联点”的定义得到OM的取值范围，从而求出点M的横坐标m的取值范围；
（2）求出点E，F的坐标，得到TE，TF的取值范围，列出不等式从而求出t的取值范围．
【解答】解：（1）①通过“关联点”的定义作点A′，B′，D′
设A′（a，b），
∵，Q（﹣1，0），
∴，，
∴，b＝0，
∴点A′的坐标为，
同理得，D′（0，﹣1），
可得点A′在线段OQ上，得点A是⊙O的“关联点”，
故答案为：点A；
②连接OM，作线段OM的中点N，
由“关联点”的定义可知，当ON≤1时，点M′在线段ON上，点M是⊙O的“关联点”，
∵ON≤1，点N是线段OM中点，
∴OM≤2，
由点M在直线上，设点M坐标为，
∵OM≤2，
∴，
解得，
得点M横坐标m的取值范围是；
（2）把y＝0代入，得x＝1，则点E的坐标为（1，0），
把x＝0代入，得y＝，则点F的坐标为（0，），
由（2）得，若线段EF上所有点都是⊙T的“关联点”，则有，
当⊙T在y轴左侧时，
即，
整理得0≤（t﹣1）2≤16，
解得t≥﹣3，
⊙T与直线相切，
由E（1，0），F（0，），得∠GET＝60°，
∵GT＝2，∠TGE＝90°，
∴在Rt△TGE中，
，则，
故，
当⊙T在y轴右侧时，
即⊙T与点E重合，t＝1+2＝3，
，
整理得0≤t2+3≤16，
解得，
故，
综上所述，或．
【点评】本题考查了对称的性质，求函数上点的坐标，解不等式组等．摸球的次数n
20
50
100
200
300
400
500
摸到红球的次数m
13
32
62
117
181
238
301
摸到红球的频率
0.65
0.64
0.62
0.585
0.603
0.595
0.602
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…
摸球的次数n
20
50
100
200
300
400
500
摸到红球的次数m
13
32
62
117
181
238
301
摸到红球的频率
0.65
0.64
0.62
0.585
0.603
0.595
0.602
x（分钟）
0
5
10
15
20
…
y1（克）
25
23.5
20
14.5
7
…
y2（克）
25
20
15
10
5
…