2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
2．（2分）中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝45°，∠APD＝80°，则∠B的大小是（ ）
A．35°B．45°C．60°D．70°
5．（2分）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
6．（2分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15C．x（x﹣1）＝15D．
7．（2分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．75°
8．（2分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 ．
10．（2分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在⊙O （填“内”“上”或“外”）．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
12．（2分）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 ．
13．（2分）点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，则m的值是 ，点M关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（2分）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式： ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 ．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 ．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x+2＝0．
18．（5分）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当﹣1＜x＜2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
20．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
21．（5分）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，其中红球的个数是 ；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．
23．（5分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．
（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 ，点P的坐标是 ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．
（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；
（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 ；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
2022-2023学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）二次函数y＝（x﹣2）2+3的最小值是（ ）
A．2B．3C．﹣2D．﹣3
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3，
当x＝2时，最小值是3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2分）中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分．在中国传统社会中，扇面形状的设计与日常生活中的图案息息相关．下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．（2分）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
B、经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，符合题意；
C、平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝45°，∠APD＝80°，则∠B的大小是（ ）
A．35°B．45°C．60°D．70°
【分析】根据圆周角定理以及三角形的内角和定理可求出答案．
【解答】解：∵∠A＝∠D＝45°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D
＝80°﹣45°
＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，理解“同弧所对的圆周角相等”以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
5．（2分）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
6．（2分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛．如果设邀请x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2x＝15B．x（x+1）＝15C．x（x﹣1）＝15D．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
7．（2分）如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．75°
【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得∠ABC与∠ACB的度数，再由旋转性质得∠DCE与∠CED的度数，并得CB＝CE，根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得∠CEB的度数，便可求得∠BED．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
由旋转性质知，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC＝60°，CB＝CE，
∴∠CEB＝∠CBE＝75°，
∴∠BED＝∠CEB﹣∠CED＝75°﹣30°＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转性质，关键会是综合应用这些知识解题．
8．（2分）如表记录了二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x1＜x2＜1，
根据表中信息，当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次函数的图象的对称性求得抛物线的对称轴，利用待定系数法求得a，b的值，再利用二次函数与直线的交点的特性解答即可．
【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣5，m）和（3，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a．
根据表中信息，抛物线经过点（1，0），
∴a+b+2＝0，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2．
∵y＝﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，），抛物线的开口方向向下，抛物线经过（0，2），（﹣2，2）．
∵当时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，
∴2≤k＜．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质和利用数形结合的方法解答是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 x1＝﹣4，x2＝4 ．
【分析】方程变形后，开方即可求出解．
【解答】解：方程变形得：x2＝16，
开方得：x＝±4，
解得：x1＝﹣4，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝4
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
10．（2分）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在⊙O 外 （填“内”“上”或“外”）．
【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，8＞5，
∴点P在⊙O外，
故答案为：外．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
【分析】由判别式Δ＝0求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】本题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．
12．（2分）圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 6π ．
【分析】根据扇形的面积公式S＝计算，即可得出结果．
【解答】解：该扇形的面积S＝＝6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题．熟记公式是解题的关键．
13．（2分）点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，则m的值是 6 ，点M关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣6） ．
【分析】将A（3，m）代入y＝x2﹣x即可求得m的值，进一步求得点M关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：∵点M（3，m）是抛物线y＝x2﹣x上一点，
∴m＝32﹣3＝6，
∴M（3，6），
∴点M关于原点对称的点的坐标是 （﹣3，﹣6）．
故答案为：6，（﹣3，﹣6）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
14．（2分）已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当x＞1时，y随x的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的解析式： 答案不唯一，如：y＝x2﹣2x ．
【分析】根据该函数的增减性确定其比例系数的取值，然后代入已知点后即可求得其解析式．
【解答】解：∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线方程中的二次项系数a＞0，对称轴是直线x＝1．
∵图象过原点，
∴抛物线方程中的常数项c＝0符合题意．
∴答案不唯一，如：y＝x2﹣2x．
故答案为：答案不唯一，如：y＝x2﹣2x．
【点评】本题考查了函数的性质，用到的知识点：函数图象经过点，则点的坐标满足函数解析式；一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小．本题是开放性试题，答案不唯一，也可以举反比例函数或二次函数的例子．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 45°或135° ．
【分析】分两种情况，一是点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′，由切线的性质得∠A′BO＝90°，由旋转的性质得OA′＝OA＝，A′B＝1，根据勾股定理求得OB＝1，则∠BOA′＝∠BA′O＝45°，此时α＝45°；二是点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′，则∠COA′＝∠CA′O＝45°，此时α＝135°．
【解答】解：如图1，点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′，
∵OB⊥A′B，
∴∠A′BO＝90°，
∵⊙A的半径为1，A（，0），
∴OA＝，
由旋转得OA′＝OA＝，
∵⊙A的半径为1，
∴A′B＝1，
∴OB＝＝＝1，
∴A′B＝OB，
∴∠BOA′＝∠BA′O＝45°，
∴α＝∠AOA′＝90°﹣45°＝45°；
如图2，点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′，
∵OC⊥A′C，
∴∠A′CO＝90°，
∵OA′＝OA＝，AC＝1，
∴OC＝＝＝1，
∴A′C＝OC，
∴∠COA′＝∠CA′O＝45°，
∴α＝∠AOA′＝90°+45°＝135°，
故答案为：45°或135°．
【点评】此题重点考查图形与坐标、直线与圆的位置关系、切线的性质定理、勾股定理、旋转的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是 ．
【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．
【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，
因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，
由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′＝OA＝1＝O′M，
在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，
∴O′C＝＝，
∴CM＝CO′+O′M＝+1，
故答案为：+1．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，理解“圆外一点到圆上任意一点的最大距离”的计算方法是解决问题的关键．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．
【解答】解：x2﹣4x+2＝0
x2﹣4x＝﹣2
x2﹣4x+4＝﹣2+4
（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键．
18．（5分）已知：点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°．
求作：直线l，使其过点C，并与⊙O相切．
作法：①连接OC；
②分别以点B，点C为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于⊙O外一点D；
③作直线CD．
直线CD就是所求作直线l．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OB，BD，
∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝ 90 °（ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）证明四边形OBDC是正方形，即可得∠OCD＝90°，从而证明直线CD为⊙O的切线．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）证明：连接OB，BD，如图：
∵OB＝OC＝BD＝CD，
∴四边形OBDC是菱形．
∵点A，B，C在⊙O上，且∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∴四边形OBDC是正方形．
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
∵OC为⊙O半径，
∴直线CD为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：90，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及正方形的判定，圆的切线的判定等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）当﹣1＜x＜2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
【分析】（1）根据配方法，可以将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可写出顶点坐标；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，与x轴的两个点，及其它的两个点，然后即可画出相应的函数图象；
（3）根据（2）中的函数图象，可以写出当﹣1＜x＜2时，函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴该函数的顶点坐标为（1，﹣4），与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），经过点（0，﹣3）和点（2，﹣3），
函数图象如右图所示；
（3）当﹣1＜x＜2时，由图象可知，y的取值范围是﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．
【分析】设⊙O的半径是r，由勾股定理，垂径定理求出圆的半径，由三角形的面积公式即可计算．
【解答】解：设⊙O的半径是r，
∵点C是AB的中点，OC过圆心O，
∴OC⊥AB，
∵AB＝4，CD＝1，
∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，
∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（r﹣1）2+22，
∴r＝，
∴OD＝，
∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．
【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是应用勾股定理求出圆的半径长．
21．（5分）在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别．每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回．在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验．如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．
（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 0.75 ，其中红球的个数是 3 ；
（2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
【分析】（1）通过图中的数据，随着次数的增多，摸到红球的频率越稳定在0.75左右，得出红球的概率，再用红球的概率乘以总球数，即可得出红球的个数；
（2）画树状图，得出所有等可能的情况是，找出符合条件的情况是，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是0.75，
4×0.75＝3（个），
答：红球的个数是3个．
故答案为：0.75，3；
（2）由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球．
列表如下：
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6种，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红1），（白，红2），（白，红3），
所以摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率是＝．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，连接AE，BE，CE．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若△ACD是等边三角形，且∠ABC＝30°，AB＝3，BD＝5，求BE的长．
【分析】（1）由旋转的性质可得CB＝CE，∠BCE＝60°，从而可得△BCE是等边三角形，然后利用等边三角形的判定即可解答；
（2）利用等边三角形的性质可得AC＝DC，∠ACD＝60°，再利用等式的性质可得∠ACE＝∠DCB，从而利用SAS证明△ACE≌△DCB，进而可得AE＝BD＝5，然后利用角的和差关系可得∠ABE＝90°，从而在Rt△ABE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵将点B绕点C逆时针旋转60°得到点E，
∴CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠CBE的度数为60°；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD＝5，
∵∠CBE＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝∠CBE+∠ABC＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BE的长为4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（5分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，且x1＞x2，若2x1＝x2+5，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝36＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解方程可得出方程的根x＝m±3，结合x1＞x2，根据2x1＝x2+5，即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣9）
＝4m2﹣4m2+36
＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：解方程，得，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+3，x2＝m﹣3，
∵2x1＝x2+5，
∴2（m+3）＝m﹣3+5，
∴m＝﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点O是AC上一点，以O为圆心，OA长为半径作圆，使⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E．过点B作BF∥AC，交ED的延长线于点F．
（1）若AB＝4，求⊙O的半径；
（2）连接BO，求证：四边形BFEO是平行四边形．
【分析】（1）连接OD，根据等腰直角三角形的判定和性质以及切线的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AOB＝∠DOB，根据圆周角定理得到∠OED＝AOD，根据平行线的判定定理得到OB∥EF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）解：连接OD，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴OC＝OD，
∴OA+OC＝OD+OD＝AC＝4，
∴OD＝4﹣4，
故⊙O的半径为4﹣4；
（2）证明：在Rt△AOB与Rt△DOB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△DOB（HL），
∴∠AOB＝∠DOB，
∴∠AOB＝，
∵∠OED＝AOD，
∴∠AOB＝∠OED，
∴OB∥EF，
∵BF∥AC，
∴四边形BFEO是平行四边形．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（6分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点A的坐标是 （0，70） ，点P的坐标是 （40，30） ；
（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【分析】（1）根据题意可知直接求出A，P坐标；
（2）把A，P坐标代入y＝﹣+bx+c，用待定系数法求函数解析式即可；
（3）作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，先求出BC的关系式，再分别表示出M、N的纵坐标，计算纵坐标的差可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），
故答案为：（0，70），（40，30）；
（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；
（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，
∵OC＝60m，
∴C（0，60），
设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，
解得：，
所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，
设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），
则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，
∵﹣＜0，
∴当a＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，
答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据抛物线上的点求出二次函数的关系式是解题关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝t，且3a+2b+c＝0．
（1）当c＝0时，求t的值；
（2）点（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）在抛物线上，若a＞c＞0，判断y1，y2与y3的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）将c的值代入抛物线y＝ax2+bx+c和3a+2b+c＝0，然后即可求得t的值；
（2）先求出t的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到y1，y2与y3的大小关系．
【解答】解：（1）∵3a+2b+c＝0，
∴当c＝0时，得3a+2b＝0，
∴b＝﹣，
∵y＝ax2+bx，对称轴为直线x＝t，
∴t＝﹣＝﹣＝；
（2）y2＜y3＜y1，
理由：∵3a+2b+c＝0，
∴b＝﹣，
∴t＝﹣＝﹣＝+，
∵a＞c＞0，
∴0＜＜，
∴，
∵点（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点的坐标是（2t+2，y1），
∴．
∴1＜3＜2t+2．
∵a＞0，
∴当x＞t时，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠APB＝45°，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CQ，连接AQ．
（1）依题意，补全图形，并证明：AQ＝BP；
（2）求∠QAP的度数；
（3）若N为线段AB的中点，连接NP，请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明△QCA≌△PCB（SAS），可得AQ＝BP；
（2）证明∠AQO+∠APQ＝45°，可得结论；
（3）论：PC＝PN．如图，延长PN到T，使得NT＝NP，连接AT．利用全等三角形的性质证明PQ＝PT＝PC，可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠QCP＝∠ACB＝90°，
∴∠QCA＝∠PCB，
在△QCA和△PCQ中，
，
∴△QCA≌△PCB（SAS），
∴AQ＝BP；
（2）解：∵△QCA≌△PCB，
∴∠CQA＝∠CPB，
∵∠APB＝∠CPQ＝45°，
∴∠APQ＝∠CPB，
∴∠AQP+∠APQ＝∠AQP+∠CQA＝∠CQP＝45°，
∴∠QAP＝180°﹣45°＝135°；
（3）解：结论：PC＝PN．
理由：如图，延长PN到T，使得NT＝NP，连接AT．
在△ANT和△BNP中，
，
∴△ANT≌△BNP（SAS），
∴AT＝PB，∵∠T＝∠NPB，
∴AT∥PB，
∴∠TAP+∠APB＝180°，
∵∠APB＝45°，
∴∠TAP＝135°＝∠QAP，
∵AQ＝PB，PB＝AT，
∴AT＝AQ，
在△PAT和△PAQ中，
，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PT＝PQ＝PC，
∴2PN＝PC，
∴PC＝PN．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）给定图形W和点P，Q，若图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点P关于点M的对称点与点Q关于点N的对称点重合，则称点P与点Q关于图形W双对合．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4）．
（1）在点D（﹣4，0），E（2，2），F（6，0）中，与点O关于线段AB双对合的点是 D，F ；
（2）点K是x轴上一动点，⊙K的直径为1，
①若点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，求t的取值范围；
②当点K运动时，若△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，直接写出点K的横坐标k的取值范围．
【分析】（1）分别求出A、B点关于D点、E点、F点的对称点，在求出A点、B点关于O点的对称点，存在重合点的即为所求；
（2）①设K（k，0），分别求出A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），由题意可知点A关于点K的对称点在以G点为圆心，2为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，2为半径的圆上，当圆G与圆H有交点时，点A与点T（0，t）关于⊙K双对合再由GH＝，可得≤4，求出t的值即可；
②分别求出A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），△ABC上的点的对称点在△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，当此区域与圆K有公共交点时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，画出图形，分别求解即可．
【解答】解：（1）当A点是D点的中点时，对应点为（2，﹣4）；当B点是D点的中点时，对应点为（14，﹣4）；
当A点是E点的中点时，对应点为（﹣4，﹣6）；当B点是E点的中点时，对应点为（8，﹣6）；
当A点是F点的中点时，对应点为（﹣8，﹣4）；当B点是F点的中点时，对应点为（4，﹣4）；
当A点是O点的中点时，对应点为（﹣2，﹣4）；当B点是O点的中点时，对应点为（10，﹣4）；
∴D、F与点O关于线段AB双对合，
故答案为：D、F；
（2）①设K（k，0），
∵A（﹣1，﹣2），T（0，t），
∴A点关于K点对称点G为（2k+1，2），T点关于K点对称点H为（2k，﹣t），
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，
∵⊙K的直径为1，
∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，2为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，2为半径的圆上，如图所示，
∵点A与点T（0，t）关于⊙K双对合，
∴当圆G与圆H有交点，
∵GH＝，
∴≤4，
解得﹣2﹣≤t≤﹣2+；
②∵A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），C（﹣1，4），K（k，0），
∴A点关于K点的对称点F（2k+1，2），B点关于K点的对称点E（2k﹣5，2），C点关于K点的对称点G（2k+1，﹣4），
∴△ABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，
∵△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，
∴阴影区域与圆K有公共交点，
∵阴影部分是由△EGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，
如图1时，k﹣（2k+1）＝+1，解得k＝﹣；
如图2时，2k+1﹣k＝+1，解得k＝；
∴﹣≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，
设直线EG的解析式为y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2k﹣3，
∴M（2k﹣3，0），
∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2k﹣3平行，
∴∠KMN＝45°，
∴KM＝KN＝，
如图3时，k﹣（2k﹣3）＝，解得k＝3﹣，
如图4时，2k﹣3﹣k＝，解得k＝3+，
∴≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；
综上所述：≤k≤或≤k≤时，△ABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．
【点评】本题考查圆的综合应用，弄懂定义，根据定义能去确定对称点的轨迹，再结合两圆的位置关系数形结合解题是关键．x
…
﹣5
x1
x2
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
x
…
﹣5
x1
x2
1
3
…
y
…
m
0
2
0
m
…
白
红1
红2
红3
白
白，红1
白，红2
白，红3
红1
红1，红2
红1，红3
红2
红2，红3
红3