2022-2023学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明，选做题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（2分）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.08×104B．3.08×106C．308×104D．0.308×107
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，则该几何体是（ ）
A．五棱柱B．长方体C．五棱锥D．六棱柱
（多选）4．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．|b|＜|a|C．ab＜0D．a+b＜﹣3
5．（2分）下列计算中正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．6x2﹣（﹣x2）＝5x2
C．4mn﹣3mn＝1D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2
6．（2分）已知一个角比它的补角小30°，则这个角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．75°D．105°
7．（2分）若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
8．（2分）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A．57枚B．52枚C．50枚D．47枚
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为 ．
10．（2分）计算：31°15′×4＝ °．
11．（2分）若|x+1|+（y﹣8）2＝0，则x﹣y的值为 ．
12．（2分）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
13．（2分）如图，C是线段AB的中点，点D在线段CB上，E是线段DB的中点．若AB＝14，EB＝2，则CD的长为 ．
14．（2分）若x＝6是关于x的方程3x+2m＝8的解，则m的值为 ．
15．（2分）某商品原价是每件a元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元，则第二次降价后的售价为每件 元．（用含a的式子表示）
16．（2分）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23．若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 ；请按上述要求，将剩余的数填入图中（填出一种即可）．
三、解答题（共68分，第17题18分，第18-19题，每题6分，第20题11分，第21题6分，第22-24题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（18分）计算：
（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）；
（2）（﹣）×÷（﹣9）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣2）2．
18．（6分）如图，已知三点A，B，C，作直线AB．
（1）用语句表述图中点C与直线AB的关系： ；
（2）用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：
连接CA，在线段CA的延长线上作线段AD，使AD＝AB；
（3）连接BC，比较线段DC与线段BC的长短，并将下面的推理补充完整：
∵DC＝AD+AC，AD＝AB，
∴DC＝AB+AC，
∵AB+AC BC，（ ）（填推理的依据）
∴DC BC．
19．（6分）求3（x﹣2y2）﹣（3y2+7x）+10y2的值，其中x＝﹣，y＝5．
20．（11分）解下列方程：
（1）7x﹣20＝2（3﹣3x）；
（2）＝+1．
21．（6分）如图，∠AOB＝∠COD，∠AOC＝90°．过点O在∠AOC的内部画射线OE．
探究发现：
（1）当∠EOD＝90°时，OA平分∠EOB．
①依题意补全图形；
②将下面的推理补充完整．
证明：∵∠EOD＝90°，
∴∠EOC+∠ ＝90°．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOC+∠ ＝90°．
∵∠AOC＝90°，
∴∠EOC+∠AOE＝90°．
∴∠ ＝∠ ．（ ）（填推理的依据）
∴OA平分∠EOB．
（2）当∠EOB＝90°时，射线 平分∠ ．
22．（7分）用A，B两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台B型机器比A型机器一天多生产2件产品，3台A型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台B型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台A型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？
下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种．方法完成分析和解答．
23．（7分）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC．
（1）如图1，射线OD在∠AOC的内部．
①求∠BOC的度数；
②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）．
24．（7分）对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是﹣2，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“倍分点”．
在数轴上，已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点C在线段AB上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是 ；
（2）若点D在数轴上，AD＝10，且点D是点B关于点A的“k倍分点”，求k的值；
（3）点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：
（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”
（1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 ，异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
（2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，
①用“乘减法”计算：[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]＝ ；
②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⊗b＝b⊗a．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）不成立．
26．已知点A，B，C，D在数轴上，它们表示的数分别是a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，AB＝1，BC＝m+3，CD＝m+4（其中m＞0）．
（1）若m＝5，a为任意的整数．
①用含a的式子表示c；
②试说明a+b+c+d一定能被4整除；
（2）若abcd＞0，且a，b，c，d中有两个数的和与a+b+c+d相等．
①有如下四个结论：
（A）原点O可能与点B重合；
（B）原点O不可能在点D的右侧；
（C）原点O可能是线段AD的中点；
（D）原点O可能是线段BC的中点．其中所有正确的结论是 ．（填选项字母即可）
②用含m的式子表示a，并直接写出结果．
2022-2023学年北京市西城区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8−题均有四个选项，符合−题意的选项只有一个．
1．（2分）﹣的相反数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，求出答案即可．
【解答】解：因为+（﹣）＝0，
所以﹣的相反数是，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义和性质，互为相反数的两个数的和为0．
2．（2分）红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.08×104B．3.08×106C．308×104D．0.308×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3080000＝3.08×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图是某个几何体的展开图，则该几何体是（ ）
A．五棱柱B．长方体C．五棱锥D．六棱柱
【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【解答】解：从展开图可知，该几何体有七个面，两个五边形的底面，五个长方形的侧面，因此该几何体是五棱柱，
故选：A．
【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
（多选）4．（2分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．|b|＜|a|C．ab＜0D．a+b＜﹣3
【分析】利用数轴知识和绝对值的定义判断．
【解答】解：由数轴图可知，a＜0，b＞0，|a|＞b，
∴a＜b，A选项错误；
|b|＜|a|，B选项正确；
ab＜0，C选项正确；
a+b＞﹣3，D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
5．（2分）下列计算中正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．6x2﹣（﹣x2）＝5x2
C．4mn﹣3mn＝1D．﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2
【分析】运用合并同类项的方法对各选项进行逐一计算、辨别．
【解答】解：∵2x与3y不是同类项不能合并，
∴选项A不符合题意；
∵6x2﹣（﹣x2）＝7x2，
∴选项B不符合题意；
∵4mn﹣3mn＝mn，
∴选项C不符合题意；
∵﹣7ab2+4ab2＝﹣3ab2，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2分）已知一个角比它的补角小30°，则这个角的大小为（ ）
A．30°B．60°C．75°D．105°
【分析】设这个角的大小为x，则它的补角为180°﹣x，由题意：一个角比它的补角小30°，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设这个角的大小为x，则它的补角为180°﹣x，
根据题意得：x＝180°﹣x﹣30°，
解得：x＝75°，
即这个角的度数为75°，
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用以及补角的概念，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2分）若x﹣3y＝﹣4，则（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10的值为（ ）
A．14B．2C．﹣18D．﹣2
【分析】直接将原式变形，进而代入已知得出答案．
【解答】解：∵x﹣3y＝﹣4，
∴（x﹣3y）2+2x﹣6y﹣10
＝（﹣4）2+2（x﹣3y）﹣10
＝16+2×（﹣4）﹣10
＝16﹣8﹣10
＝﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
8．（2分）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A．57枚B．52枚C．50枚D．47枚
【分析】由题意可知：第1个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×1＝7枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚，第2个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×2＝12枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚，第3个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×3＝17枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚，依次可推出第n个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多n枚，即可求得答案．
【解答】解：∵第1个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×1＝7枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚，
第2个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×2＝12枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚，
第3个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×3＝17枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚，
…
∴第4个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5×4＝22枚，所用正方形卡片比等边三角形卡片多4枚，
第n个图形中有正方形和等边三角形卡片2+5n个，所用正方形卡片比等边三角形卡片多n枚，
∵第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，
∴n＝10，
当n＝10时，2+5n＝2+5×10＝52，
∴第n个图形所用两种卡片的总数为52．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律解决问题．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为 4.07 ．
【分析】把千分位上的数字9进行四舍五入即可．
【解答】解：用四舍五入法把4.0692精确到0.01，所得到的近似数为4.07．
故答案为：4.07．
【点评】本题考查了近似数，掌握精确度是近似数的常用表现形式是关键．
10．（2分）计算：31°15′×4＝ 125 °．
【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答．
【解答】解：31°15′×4＝124°60′＝125°．
故答案为：125．
【点评】本题考查了度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
11．（2分）若|x+1|+（y﹣8）2＝0，则x﹣y的值为 ﹣9 ．
【分析】利用非负数的性质得出x、y的值，代入计算得出答案．
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣8）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣8＝0，
解得：x＝﹣1，y＝8，
故x﹣y＝﹣1﹣8＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的前提．
12．（2分）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ﹣8xyz3（答案不唯一） ．
【分析】根据单项式的系数，次数的定义即可解答．
【解答】解：一个单项式满足下列两个条件：①系数是负数；②次数是5，这个单项式可以是：﹣8xyz3（答案不唯一）．
故答案为：﹣8xyz3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数，次数的定义是解题的关键．
13．（2分）如图，C是线段AB的中点，点D在线段CB上，E是线段DB的中点．若AB＝14，EB＝2，则CD的长为 3 ．
【分析】根据中点的定义求出BC，BD，再由CD＝BC﹣BD，可得出答案．
【解答】解：∵AB＝14，C是AB的中点，
∴BC＝AB＝7，
又∵E为BD的中点，EB＝2，
∴BD＝2EB＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3．
【点评】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是掌握线段中点的定义，注意数形结合思想的运用．
14．（2分）若x＝6是关于x的方程3x+2m＝8的解，则m的值为 ﹣5 ．
【分析】将x＝6代入方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝6代入方程得：18+2m＝8，
解得：m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（2分）某商品原价是每件a元，第一次降价打“九折”，第二次降价每件又减50元，则第二次降价后的售价为每件 （0.9a﹣50） 元．（用含a的式子表示）
【分析】根据某种商品原价每件b元，第一次降价打八折，可知第一次降价后的价格为0.9b元，第二次降价每件又减50元，可以得到第二次降价后的售价．
【解答】解：∵某种商品原价每件a元，第一次降价打九折，
∴第一次降价后的售价为：0.9a元．
∵第二次降价每件又减50元，
∴第二次降价后的售价是（0.9a﹣50）元．
故答案为：（0.9a﹣50）．
【点评】本题考查了列代数式，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键．
16．（2分）在如图所示的图案中，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得对于图中的四个“单元”，每个“单元”中的四个数之和都是23．若2，4，5，a已填入图中，位置如图所示，则a表示的数是 3 ；请按上述要求，将剩余的数填入图中（填出一种即可）．
【分析】根据每个“单元”中的四个数之和都是23，在如图位置设出x、y，可得x+y＝16，再由4+x+y+a＝23，即可求a的值．
【解答】解：∵x+y+5+2＝23，
∴x+y＝16，
∵4+x+y+a＝23，
∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算，根据四个数的和是23推断出a的值是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题18分，第18-19题，每题6分，第20题11分，第21题6分，第22-24题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（18分）计算：
（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）；
（2）（﹣）×÷（﹣9）；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣2）2．
【分析】（1）先去括号，再计算加减法；
（2）将除法变为乘法，再约分计算即可求解；
（3）根据乘法分配律计算；
（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）﹣12+（﹣6）﹣（﹣28）
＝﹣12﹣6+28
＝10；
（2）（﹣）×÷（﹣9）
＝××
＝；
（3）（﹣﹣+）×（﹣48）
＝﹣×（﹣48）﹣×（﹣48）+×（﹣48）
＝9+14﹣40
＝﹣17；
（4）﹣32+（﹣1）×（﹣2）2
＝﹣9﹣×4
＝﹣9﹣
＝﹣9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
18．（6分）如图，已知三点A，B，C，作直线AB．
（1）用语句表述图中点C与直线AB的关系： 点C不在直线AB上 ；
（2）用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：
连接CA，在线段CA的延长线上作线段AD，使AD＝AB；
（3）连接BC，比较线段DC与线段BC的长短，并将下面的推理补充完整：
∵DC＝AD+AC，AD＝AB，
∴DC＝AB+AC，
∵AB+AC ＞ BC，（ 两点之间线段最短 ）（填推理的依据）
∴DC ＞ BC．
【分析】（1）根据直线与点的位置关系进行求解；
（2）根据几何语言画出几何图形；
（3）利用两点之间线段最短得到AB+AC＞BC，从而可判断CD＞BC．
【解答】解：（1）点C与直线AB的关系为点C在直线AB外；
故答案为：点C在直线AB外；
（2）如图，AD为所作；
（3）∵DC＝AD+AC，AD＝AB，
∴DC＝AB+AC，
∵AB+AC＞BC，（两点之间线段最短）
∴DC＞BC．
故答案为：＞，两点之间线段最短，＞．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点之间的距离．
19．（6分）求3（x﹣2y2）﹣（3y2+7x）+10y2的值，其中x＝﹣，y＝5．
【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再将x，y的值代入即可求解．
【解答】解：3（x﹣2y2）﹣（3y2+7x）+10y2
＝3x﹣6y2﹣3y2﹣7x+10y2
＝（3﹣7）x+（﹣6﹣3+10）y2
＝﹣4x+y2，
∵x＝﹣，y＝5，
∴原式＝﹣4×+52＝1+25＝26．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
20．（11分）解下列方程：
（1）7x﹣20＝2（3﹣3x）；
（2）＝+1．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）7x﹣20＝2（3﹣3x），
7x﹣20＝6﹣6x，
7x+6x＝6+20，
13x＝26，
x＝2；
（2）＝+1，
2（2x﹣3）＝5（3x﹣1）+10，
4x﹣6＝15x﹣5+10，
4x﹣15x＝﹣5+10+6，
﹣11x＝11，
x＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
21．（6分）如图，∠AOB＝∠COD，∠AOC＝90°．过点O在∠AOC的内部画射线OE．
探究发现：
（1）当∠EOD＝90°时，OA平分∠EOB．
①依题意补全图形；
②将下面的推理补充完整．
证明：∵∠EOD＝90°，
∴∠EOC+∠ COD ＝90°．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOC+∠ AOB ＝90°．
∵∠AOC＝90°，
∴∠EOC+∠AOE＝90°．
∴∠ AOB ＝∠ AOE ．（ 同角的余角相等 ）（填推理的依据）
∴OA平分∠EOB．
（2）当∠EOB＝90°时，射线 OC 平分∠ EOD ．
【分析】（1）①按要求画图即可；②根据垂直的概念，同角的余角相等填空即可；
（2）画出图形，类比（1）可得答案．
【解答】解：（1）①如图：
②证明：∵∠EOD＝90°，
∴∠EOC+∠COD＝90°．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠EOC+∠AOB＝90°．
∵∠AOC＝90°，
∴∠EOC+∠AOE＝90°．
∴∠AOB＝∠AOE．（同角的余角相等）（填推理的依据），
∴OA平分∠EOB．
故答案为：COD，AOB，AOB，AOE，同角的余角相等；
（3）如图：
由∠BOE＝90°，同理可得∠EOC＝∠AOB＝∠COD，
∴射线OC平分∠EOD，
故答案为：OC，EOD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及角平分线，垂直等概念，解题的关键是掌握角平分线，垂直等概念．
22．（7分）用A，B两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台B型机器比A型机器一天多生产2件产品，3台A型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台B型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台A型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？
下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种．方法完成分析和解答．
【分析】根据题意用含未知数的代数式表示相关的量，再列方程求解即可．
【解答】解：方法一
设每台A型机器一天生产x件产品，
＝，
解得x＝40，
∴＝＝24，
答：每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品；
方法二
设每箱装x件产品，
＝﹣2，
解得x＝24，
∴＝＝40，
答：每台A型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品；
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
23．（7分）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC．
（1）如图1，射线OD在∠AOC的内部．
①求∠BOC的度数；
②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）．
【分析】（1）①根据已知条件∠AOC＝4∠BOC．可知5∠BOC＝∠AOB，计算出∠BOC；
②∠DOB＝2∠EOC，根据互余列等式求出∠EOC；
（2）∠BOE＝∠EOC+∠COB，再把∠EOC用含n的代数式表示．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝4∠BOC，
∴5∠BOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝∠AOB＝×75＝15°；
②∵OE平分∠DOC，
∠EOC＝∠DOE，
∴∠DOB＝2∠EOC+∠COB，
∵∠EOC与∠DOB互余，
∴∠DOB+∠EOC＝90°，
∴2∠EOC+∠COB+∠EOC＝90°，
∴3∠EOC+∠COB＝90°，
∵由①得∠COB＝15°，
∴3∠EOC+15°＝90°，
∴∠EOC＝25°；
（2）当射线OD在∠AOC的内部，
∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC＝15°，
∴∠DOC＝∠AOB﹣∠AOD﹣∠BOC＝75﹣n﹣15＝（60﹣n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴∠EOC＝∠DOC＝（60﹣n）＝（30﹣n）°，
∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝30﹣n+15＝（45﹣n）°；
当射线OD在∠AOC的外部，
∵∠AOB＝75°，∠AOD＝n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC＝15°，
∴∠DOC＝∠AOB+∠AOD﹣∠BOC＝75+n﹣15＝（60+n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴∠EOC＝∠DOC＝（60+n）°＝（30+n）°，
∴∠BOE＝∠EOC+∠COB＝（30+n）°+15°＝（45+n）°；
综上所述，∠BOE的度数为（45﹣n）°或（45+n）°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线，余角的定义，解题的关键是掌握角的计算，角平分线的定义，余角的定义．
24．（7分）对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足PM＝kPN，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是﹣2，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“倍分点”．
在数轴上，已知点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2．
（1）若点C在线段AB上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是 1 ；
（2）若点D在数轴上，AD＝10，且点D是点B关于点A的“k倍分点”，求k的值；
（3）点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出t的值．
【分析】（1）根据“k倍分点”的定义即可求解；
（2）分两种情况：①当点D在点A左边时；②当点D在点A右边时；根据“k倍分点”的定义，即可求出k值；
（3）根据题意可得，BE＝3t，AE＝3t+6，分四种情况：①当时；②当时；③当时；④时；根据“倍分点”的定义，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）∵点C是点A关于点B的“5倍分点”，
∴AC＝5BC，
∵AB＝|﹣4﹣2|＝6，
即AC+BC＝6，
∴5BC+BC＝6，
∴BC＝1，
∴点C表示的数1；
故答案为：1；
（2）①当点D在点A左边时，
∵点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，AD＝10，
∴点D表示的数为﹣14，
∴BD＝16，AD＝10，
∴；
②当点D在点A右边时，
∵点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，AD＝10，
∴点D表示的数为6，
∴BD＝4，AD＝10，
∴；
综上，k的值为或；
（3）∵点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，
∴BE＝3t，AE＝3t+6，
①当时，
即，
解得：t＝1；
②当时，
即，
解得：t＝2；
③当时，
即，
解得：t＝4；
④当时，
即，
解得：t＝2；
综上，t的值为1或2或4．
【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，理解“k倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解题关键．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：
（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．
小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”
（1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：
绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 正 ，异号得 负 ，并 把绝对值相减 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
（2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，
①用“乘减法”计算：[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]＝ +8 ；
②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⊗b＝b⊗a．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）不成立．
【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论；
（2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；
②设a＝2，b＝﹣3，c＝4代入式子进行计算，看结果是否相同即可．
【解答】解：（1）∵（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．
∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．
故答案为：正，负，把绝对值相减；
（2）①[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]
＝（﹣1）⊗9
＝﹣8．
故答案为：﹣8；
②设a＝2，b＝﹣3，c＝4，
左边＝（a⊗b）⊗c＝[2⊗（﹣3）]⊗4＝（﹣1）⊗4＝﹣3，
右边＝a⊗（b⊗c）＝2⊗[（﹣3）⊗4]＝2⊗（﹣1）＝﹣1，
左边≠右边，
∴结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键．
26．已知点A，B，C，D在数轴上，它们表示的数分别是a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，AB＝1，BC＝m+3，CD＝m+4（其中m＞0）．
（1）若m＝5，a为任意的整数．
①用含a的式子表示c；
②试说明a+b+c+d一定能被4整除；
（2）若abcd＞0，且a，b，c，d中有两个数的和与a+b+c+d相等．
①有如下四个结论：
（A）原点O可能与点B重合；
（B）原点O不可能在点D的右侧；
（C）原点O可能是线段AD的中点；
（D）原点O可能是线段BC的中点．其中所有正确的结论是 （B）（C）（D） ．（填选项字母即可）
②用含m的式子表示a，并直接写出结果．
【分析】（1）①根据数轴上点的表示方法即可求解；
②将b、c、d分别用含a的式子表示出来，再算（a+b+c+d）÷4，由a为任意的整数即可得到结论；
（2）①根据已知条件乘积大于0，相等关系可得到四种情况下两数互为相反数，再判断选项的正误；
②根据①的四种互为相反数的情况，写出关于a、m的式子．
【解答】解：（1）①∵a＜b＜c＜d，AB＝1，BC＝m+3，m＝5，
∴BC＝8，AC＝9，
∴c＝a+9；
②当m＝5时，
BC＝8，CD＝9，
∵AB＝1，
∴b＝a+1，c＝a+9，d＝a+18，
∴a+b+c+d
＝a+a+1+a+9+a+18
＝4a+28
＝4（a+7），
∵a为任意的整数，
∴a+b+c+d一定能被4整除；
（2）①∵abcd＞0，a，b，c，d中有两个数的和与a+b+c+d相等
∴a，b，c，d四数不可能同时为正数或负数，
只能是两正，两负，
∴只能是a＜0，b＜0，c＞0，d＞0，
∴有四种情况，
a+c＝a+b+c+d，即b+d＝0，b、d互为相反数，
a+d＝a+b+c+d，即b+c＝0，b、c互为相反数，
b+c＝a+b+c+d，即a+d＝0，a、d互为相反数，
b+d＝a+b+c+d，即a+c＝0，a、c互为相反数，
∴原点O不可能与点B重合，（A）错误；
原点O不可能在点D的右侧，（B）正确；
原点O不可能是线段AD的中点，否则C点在原点，abcd＝0，与已知条件abcd＞0矛盾，（C）错误；
原点O可能是线段BC的中点，（D）正确．
故答案为：（B）（D）；
②∵点A，B，C，D在数轴上，它们表示的数分别是a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，AB＝1，BC＝m+3，CD＝m+4，
∴b＝a+1，
c＝a+1+m+3＝a+m+4，
d＝a+m+4+m+4＝a+2m+8，
∵由①可知b+d＝0，b+c＝0，a+c＝0，
∴b+d＝0时，得到a+1+a+2m+8＝0，即a＝﹣m﹣，
b+c＝0时，得到a+1+a+m+4＝0，即a＝﹣m﹣，
a+c＝0时，得到a+a+m+4＝0，即a＝﹣m﹣2，
综上所述，用含m的式子表示a为：a＝﹣m﹣，a＝﹣m﹣，a＝﹣m﹣2．
【点评】本题考查了列代数式，数轴解题的关键是熟练掌握数轴知识，读懂题意列出正确代数式．
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分析：设每台A型机器一天生产x件产品，则每台B型机器一天生产（x+2）件产品，3台A型机器一天共生产件产品，4台B型机器一天共生产件产品，再根据题意列方程．
解：设每台A型机器一天生产x件产品
答：
方法二
分析：设每箱装x件产品，则3台A型机器一天共生产件产品，4台B型机器一天共生产件产品，再根据题意列方程．
解：设每箱装x件产品．
答：
方法一
分析：设每台A型机器一天生产x件产品，则每台B型机器一天生产（x+2）件产品，3台A型机器一天共生产件产品，4台B型机器一天共生产件产品，再根据题意列方程．
解：设每台A型机器一天生产x件产品
答：
方法二
分析：设每箱装x件产品，则3台A型机器一天共生产件产品，4台B型机器一天共生产件产品，再根据题意列方程．
解：设每箱装x件产品．
答：