2023-2024学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。
A．B．C．D．
2．（2分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2B．x+y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝1
3．（2分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（2分）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员工，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．70°C．80°D．75°
7．（2分）如图1，在边长为4的等边△ABC中，点D在BC边上，设BD的长度为自变量x，以下哪个量作为因变量y，使得x，y符合如图2所示的函数关系（ ）
A．△ABD的面积B．△ABD的周长
C．△ACD的面积D．△ACD的周长
8．（2分）如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＜0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集．其中所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②④
第二部分填空题(共16分，每题2分)
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值等于 ．
11．（2分）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为 ．
12．（2分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
13．（2分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是点 ．
14．（2分）已知a，b为直角三角形ABC的直角边，c是斜边，那么关于x的方程（a+c）x2−2bx+（c−a）＝0的根的情况是 ．
15．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则
（1）点P5的坐标为 ；
（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是 ．（n是8的整数倍）
第三部分解答题(本题共68分，第18-22，25题每题5分，第17,23，24，26题每题6分，第27-28题每题7分)
17．（6分）选择适当方法解下列方程：
（1）x2−5x+1＝0；
（2）x（2x+1）＝2x+1．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），将△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）△ABC经旋转后点A的对应点为A1，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点A1，P1，P2的坐标．
19．（5分）已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，求代数式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
20．（5分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD＝∠B．求证：△ABC是等腰三角形．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．
23．（6分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，求a的值；
（3）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标．
24．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ ；
（2）根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察图象，写出该函数的两条性质：
① ；
② ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 ；
②关于x的方程|x﹣1|＝a有两个不相等实数根，则a的取值范围是 ．
25．（6分）A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂．运费标准（单位：元/吨）如表：
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
（1）建立函数模型
设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元．分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据函数的图象与性质，解决问题：当y1＞y2时，求x的取值范围．
26．（6分）某研究所甲、乙试验田各有水稻穗4万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：
表1：甲试验田穗长频数分布表
c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4．
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为 ，n的值为 ；
（2）表2中w的值为 ；
（3）根据考查的结果，将稻穗按穗长从长到短进行排序后，穗长为5.9cm的稻穗的穗长排名更靠前的试验田是 ，穗长较稳定的试验田是 ；
（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为 个．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．
（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，
①求证：AE＝AF；
②直接写出∠CAG＝ °．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．
28．（6分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为5＝22+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“平和数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于5的“平和数” ；判断29是否为“平和数” （填“是”或“否”）；
（2）若二次三项式x2﹣6x+13（x是整数）是“平和数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝ ；
（3）已知“平和数”x2+y2﹣4x+6y+13（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 ；
（4）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“平和数”，请写出符合条件的k的值 ；
（5）已知实数x，y满足﹣x2+9x+y﹣25＝0，求x+y的最小值．
2023-2024学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
第一部分单选题(共16分，每题2分)
1．（2分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2B．x+y2＝0
C．ax2+bx+c＝0D．2x﹣x2＝1
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、x+y2＝0含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、ax2+bx+c＝0未指明a、b、c为常数且a≠0，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、2x﹣x2＝1是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
3．（2分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：一次函数y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
4．（2分）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
5．（2分）5G是新一代信息技术的发展方向和数字经济的重要基础，预计我国5G商用将直接创造更多的就业岗位．小明准备到一家公司应聘普通员工，他了解到该公司全体员工的月收入如下：
对这家公司全体员工的月收入，能为小明提供更为有用的信息的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然小明想了解到该公司全体员工的月收入，那么应该是看多数员工的工资情况，故值得关注的是众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故小明应最关心这组数据中的众数．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．70°C．80°D．75°
【分析】由旋转的性质可得∠DAB＝40°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，
∴∠DAB＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∴∠ADE＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．（2分）如图1，在边长为4的等边△ABC中，点D在BC边上，设BD的长度为自变量x，以下哪个量作为因变量y，使得x，y符合如图2所示的函数关系（ ）
A．△ABD的面积B．△ABD的周长
C．△ACD的面积D．△ACD的周长
【分析】由y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】解：由图2知，y随x的增大而减小．
△ABD的面积和周长都随x的增大而增大，
故A、B不符合题意；
△ACD的面积和周长都随x的增大而减小，但△ACD的周长不会等于0，
故C符合题意，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查常量与变量，等边三角形的性质，关键是明白y随x的增大而减小．
8．（2分）如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＜0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集．其中所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②④
【分析】根据一次函数的性质直接对①②③进行判断；利用x＞1时，直线y＝x+c在直线y＝ax+b的上方可对④进行判断．
【解答】解：∵直线y＝ax+b经过第二、四象限，
∴a＜0，所以①正确；
∵直线y＝x+c与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，所以②正确；
∵对于一次函数y＝x+c，y随x的增大而增大，
∴xA＜xB，yA＜yB，所以③错误；
∵x＞1，ax+b＜x+c，
∴x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
第二部分填空题(共16分，每题2分)
9．（2分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
10．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值等于 ±2 ．
【分析】根据一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，可以得到关于a的方程，然后求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0有一个根为0，
∴02+0+a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．
11．（2分）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为 8.1 ．
【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可．
【解答】解：该企业的总成绩为：8×+9×+7×＝8.1（分），
故答案为：8.1．
【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
12．（2分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】看在x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：由图象可以看出，x轴下方的函数图象所对应自变量的取值为x＜﹣2，
则不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】考查一次函数与一元一次不等式解集的关系；理解函数值小于0的解集是x轴下方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
13．（2分）在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是点 B ．
【分析】连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】解：旋转中心是点B，
理由：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是点B．
故答案为：B．
【点评】本题考查了旋转变换的性质，根据对应点连线的平分线的交点即为旋转中心解答，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2分）已知a，b为直角三角形ABC的直角边，c是斜边，那么关于x的方程（a+c）x2−2bx+（c−a）＝0的根的情况是 有两个相等的实数根 ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得：c2＝a2+b2，之后将该方程中的系数代入△，判断Δ与0的关系，大于0有两个根，小于0无根，等于0有两个相等的实根．
【解答】解：在Rt△ABC中，
由勾股定理得：c2＝a2+b2，
Δ＝（﹣2b）2﹣4×（a+c）（c﹣a）＝4（a2+b2﹣c2）＝0，得方程有两个相等实数根，
故答案为：有两个相等的实数根．
【点评】本题综合考查了勾股定理与根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
15．（2分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式Δ＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
16．（2分）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则
（1）点P5的坐标为 ﹣16，﹣16 ；
（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是 2n，0 ．（n是8的整数倍）
【分析】（1）根据题意得出OP1＝2，OP2＝4，OP3＝8，从而得到OP5＝32，易得P5在第三象限的角平分线上，进而判断P5的坐标即可；
（2）根据探究点P的坐标每8个点循环一圈，根据n是8的倍数可知点Pn位于x轴的正半轴上，然后根据OPn的长度即可求得点Pn的坐标．
【解答】解：（1）由图可得P5在第三象限的角平分线上，
∵OP1＝21，OP2＝22，
∴OP5＝25＝32，
作P5A⊥x轴，P5B⊥y轴，
∴AO＝OB＝16，
∴点P5的坐标为（﹣16，﹣16）；
故答案为（﹣16，﹣16）；
（2）∵每8个点循环一圈，且n是8的倍数，
∴点Pn在x轴的正半轴上．
∴点Pn坐标是（2n，0）．
故答案为：（2n，0）．
【点评】此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及OPn的长度的规律是解决本题的关键．
第三部分解答题(本题共68分，第18-22，25题每题5分，第17,23，24，26题每题6分，第27-28题每题7分)
17．（6分）选择适当方法解下列方程：
（1）x2−5x+1＝0；
（2）x（2x+1）＝2x+1．
【分析】（1）利用公式法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2−5x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝25﹣4＝21＞0，
∴x＝＝
∴x1＝，x2＝．
（2）x（2x+1）＝2x+1，
x（2x+1）﹣（2x+1）＝0，
（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x+1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法等方法求解一元二次方程是解答此题的关键．
18．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），将△ABC绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，将△A1B1C1向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）△ABC经旋转后点A的对应点为A1，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点A1，P1，P2的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质、平移的性质作图即可．
（2）由图可直接得出点A1的坐标．根据旋转和平移的性质可得点点P1，P2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．
（2）由图可得，点A1的坐标为（﹣4，﹣3）．
由旋转可得，点P1的坐标为（﹣b，a）．
由平移可得，点P2的坐标为（﹣b+6，a+2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19．（5分）已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，求代数式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，根据一元二次方程根的概念得到m2+2m＝4，代入计算即可．
【解答】解：原式＝m2+4m+4+m2﹣9
＝2m2+4m﹣5，
∵m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，
∴m2+2m﹣4＝0，
∴m2+2m＝4，
则原式＝2（m2+2m）﹣5
＝2×4﹣5
＝3．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
20．（5分）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD＝∠B．求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由旋转的性质可知∠D＝∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB＝∠A，所以△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：由旋转知∠D＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠D，AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，
又∵∠A＝∠E，
∴∠ACB＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的判定，对于旋转的性质用到最多的是：旋转前、后的图形全等．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（5分）某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm，宽8dm的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为120dm2，求空白区域的宽度．
【分析】设空白区域的宽度为x dm，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．
【解答】解：设空白区域的宽度为x dm，根据题意可得：
25×8﹣5x×8﹣2x×（25﹣5x）＝120，
解得x1＝8（舍去）或x2＝1，
即空白区域的宽度应是1dm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出一元二次方程．
23．（6分）设一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点．
（1）求该函数表达式；
（2）若点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，求a的值；
（3）设点P在x轴上，若S△ABP＝12，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣5，﹣3）两点，可以求得该函数的表达式；
（2）将点C坐标代入（1）中的解析式可以求得a的值；
（3）由题意可求直线y＝x+2与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点P坐标．
【解答】解：（1）根据题意得：
解得：
∴函数表达式为y＝x+2
（2）∵点C（a+2，2a﹣1）在该函数图象上，
∴2a﹣1＝a+2+2
∴a＝5
（3）设点P（m，0）
∵直线y＝x+2与x轴相交
∴交点坐标为（﹣2，0）
∵S△ABP＝|m+2|×|3|+|m+2|×|﹣3|＝12
∴|m+2|＝4
∴m＝2或﹣6
∴点P坐标（2，0）或（﹣6，0）
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
24．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ 3 ；
（2）根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察图象，写出该函数的两条性质：
① 函数值y≥0 ；
② 当x＞1时，y随x的增大而增大； ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 x＝1 ；
②关于x的方程|x﹣1|＝a有两个不相等实数根，则a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】（1）求出x＝﹣2时的函数值即可；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）结合图象写出两个性质即可；
（4）分别求出方程的解即可解决问题；
【解答】解：（1）x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3，
故答案为：3．
（2）函数图象如图所示：
（3）①函数值y≥0，②当x＞1时，y随x的增大而增大；
故答案为：函数值y≥0；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①方程|x﹣1|＝0的解是x＝1，
②关于x的方程|x﹣1|＝a有两个实数根，则a的取值范围是a＞0，
故答案为：x＝1，a＞0．
【点评】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（6分）A，B两地分别有垃圾20吨，30吨，现要把这些垃圾全部运到C，D两个垃圾处理厂，其中24吨运到C厂．运费标准（单位：元/吨）如表：
当从A地运送多少吨垃圾到C厂时，从A，B两地运到C厂的总运费大于运到D厂的总运费？
（1）建立函数模型
设从A地运到C厂x吨垃圾．从A，B两地运到C厂的总运费为y1元，运到D厂的总运费为y2元．分别求出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）根据函数的图象与性质，解决问题：当y1＞y2时，求x的取值范围．
【分析】（1）由从A地运到C厂x吨垃圾，可知从A地运到D厂（20﹣x）吨垃圾，从B地运到C厂（24﹣x）吨垃圾，从B地运到D厂30﹣（24﹣x）＝（x+6）吨垃圾，即可得y1＝11x+360，y2＝﹣5x+620；
（2）求出y1＝y2时，x＝16.25，由一次函数性质可得x的取值范围是16.25＜x≤20．
【解答】解：（1）∵从A地运到C厂x吨垃圾，
∴从A地运到D厂（20﹣x）吨垃圾，从B地运到C厂（24﹣x）吨垃圾，从B地运到D厂30﹣（24﹣x）＝（x+6）吨垃圾，
∴y1＝26x+15（24﹣x）＝11x+360，y2＝25（20﹣x）+20（x+6）＝﹣5x+620；
∴y1＝11x+360，y2＝﹣5x+620；
（2）当y1＝y2时，11x+360＝﹣5x+620，
∴x＝16.25，
∵y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，
∴x＞16.25时，y1＞y2，
∴x的取值范围是x＞16.25．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
26．（6分）某研究所甲、乙试验田各有水稻穗4万个，为了考查水稻穗长的情况，研究员于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长的频数分布统计表如表1所示（不完整）：
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：
表1：甲试验田穗长频数分布表
c．乙试验田穗长在6≤x＜6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4．
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为 14 ，n的值为 10 ；
（2）表2中w的值为 6.15 ；
（3）根据考查的结果，将稻穗按穗长从长到短进行排序后，穗长为5.9cm的稻穗的穗长排名更靠前的试验田是 甲 ，穗长较稳定的试验田是 甲 ；
（4）若穗长在5.5≤x＜7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为 2.8万 个．
【分析】（1）根据频数，频率，总数之间的关系求得m，n的值；
（2）根据中位数的意义进行计算；
（3）根据中位数和方差的意义分别进行判断即可；
（4）根据样本估计总体即可求解．
【解答】解：（1）∵6.5≤x＜7这一组对应的频率为0.20，
∴n＝50×0.20＝10，
∵7≤x＜7.5这一组的频数为2，
∴频率为2÷50＝0.04，
5.5≤x＜6这一组的频率为：1﹣（0.08+0.18+0.22+0.20+0.04）＝0.28，
∴m＝50×0.28＝14，
故答案为：14；10；
（2）由乙的频数分布直方图和中位数定义可知，中位数为6≤x＜6.5这组数的第1个与第2个的平均数，
故中位数为：，
故答案为：6.15；
（3）由题意可知，穗长为5.9cm的稻穗在甲试验田在中位数之前，在乙试验田中在中位数之后，所以穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是甲，
因为甲实验田的方差小，所以稻穗生长（长度）较稳定的试验田是甲．
故答案为：甲，甲；
（4）甲试验田中穗长在5.5≤x＜7范围内频率为0.28+0.22+0.20＝0.7，
故甲试验田所有“良好”的水稻约为4×0.7＝2.8（万个），
答：估计甲试验田所有“良好”的水稻约为2.8万个．
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，根据方差判断稳定性，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．
（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，
①求证：AE＝AF；
②直接写出∠CAG＝ 45 °．
（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠B＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，再由三角形的外角性质得∠AFE＝∠AEF，即可得出结论；
②过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，再证△MCF≌△ACG（SAS），即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，证△ACM是等腰直角三角形，得∠M＝45°，CA＝CM，AM＝AC，再证△MCF≌△ACG（SAS），得MF＝AG，即可解决问题．
【解答】（1）①证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠B＝∠CAD，
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠AFE＝∠CAD+∠ACE，∠AEF＝∠B+∠BCE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF．
②解：如图1，过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，
则∠ACM＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴CA＝CM，∠M＝45°，
∵∠ACM＝90°，
∴∠ACF+∠MCF＝90°，
由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，
∴∠ACF+∠ACG＝90°．
∴∠MCF＝∠ACG，
∴△MCF≌△ACG（SAS），
∴∠CAG＝∠M＝45°，
故答案为：45；
（2）解：依题意补全图2，AC＝AF+AG，证明如下：
过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，
则∠ACM＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴∠M＝45°，CA＝CM，AM＝AC，
∵∠ACM＝90°，
∴∠ACF+∠MCF＝90°，
由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，
∴∠ACF+∠ACG＝90°．
∴∠MCF＝∠ACG，
∴△MCF≌△ACG（SAS），
∴MF＝AG，
∵AM＝AF+MF，
∴AM＝AF+AG，
∴AC＝AF+AG．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．（6分）定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为5＝22+12．再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“平和数”．
解决问题：
（1）请你再写一个小于5的“平和数” 4 ；判断29是否为“平和数” 是 （填“是”或“否”）；
（2）若二次三项式x2﹣6x+13（x是整数）是“平和数”，可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝ 12 ；
（3）已知“平和数”x2+y2﹣4x+6y+13（x，y是整数）的值为0，则x+y的值为 ﹣1 ；
（4）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“平和数”，请写出符合条件的k的值 k＝10 ；
（5）已知实数x，y满足﹣x2+9x+y﹣25＝0，求x+y的最小值．
【分析】（1）根据“平和数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“平和数”的定义证明结论；
（5）根据题中结论求解．
【解答】解：（1）4是“平和数”，
理由：因为＝22+02；
29是“平和数”，
理由：因为29＝52+22．
故答案为：4（答案不唯一），是；
（2）∵x2﹣6x+13＝x2﹣6x+9+4＝（x﹣3）2+4
∴m＝3，n＝4，
∴mn＝12，
故答案为：12；
（3）∵x2+y2﹣4x+6y+13
＝（x﹣2）2+（y+3）2＝0
∴x＝2，y＝﹣3，
∴x+y＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（4）S＝x2+9y2+6x﹣6y+k
＝（x+3）2+（3y﹣1）2+k﹣10
由题意得：k﹣10＝0，
∴k＝10；
（5）﹣x2+9x+y﹣25＝0，
∴x+y
＝x2﹣8x+25
＝（x﹣4）2+9≥9；
∴当x＝4时，x+y的最小值为9．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
1
2
3
4
…
始发地/目的地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
分组/cm
频数
频率
4.5≤x＜5
4
0.08
5≤x＜5.5
9
0.18
5.5≤x＜6
m
6≤x＜6.5
11
0.22
6.5≤x＜7
n
0.20
7≤x＜7.5
2
合计
50
1.00
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608
月收入/元
45000
19000
10000
5000
4500
3000
2000
人数
1
2
3
6
1
11
1
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
1
2
3
4
…
始发地/目的地
C厂
D厂
A地
26
25
B地
15
20
分组/cm
频数
频率
4.5≤x＜5
4
0.08
5≤x＜5.5
9
0.18
5.5≤x＜6
m
6≤x＜6.5
11
0.22
6.5≤x＜7
n
0.20
7≤x＜7.5
2
合计
50
1.00
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
5.8
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608