2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（ ）
A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×108
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3bD．a8÷a2＝a4
4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形
6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）2＝a2+2ab+b2
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．14
8．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（ ）
A．20°B．32°C．38°D．42°
10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝ ．
14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件： （写出一个即可），使△ABC≌△DEF．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 ．
16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 ．
18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有 个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数（1除外）．
三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知：∠AOB＝90°．
求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．
作法：
①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；
②作∠COM的平分线OD．
射线OC、OD为所求作射线．
证明：∵ ，
∴△MOC为等边三角形．
∴∠ ＝60°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°．
∵OD平分∠COM，
∴∠COD＝∠DOB＝30°．
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；
（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）
21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．
22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
23．（5分）解分式方程：．
24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．
25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．
26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；
（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；
（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．
27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC于点M．
（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝ （用含α的式子表示）；
（2）当α＝60°时，如图2，
①求证：EM＝FM；
②直接写出BM与AD的数量关系： ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．
（1）如图1，
①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为 ；
②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；
（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围．
2023-2024学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，
故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
2．（3分）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（ ）
A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×108
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a＝2a4B．（a3）3＝a9C．（ab）3＝a3bD．a8÷a2＝a4
【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可．
【解答】解：a3•a＝a4，则A不符合题意；
（a3）3＝a9，则B符合题意；
（ab）3＝a3b3，则C不符合题意；
a8÷a2＝a6，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和与外角和可得：（n﹣2）•180°＝360°×2，进行计算即可解答．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
n﹣2＝4，
n＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
6．（3分）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据长方形和正方形的面积公式，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
图1的面积＝（a+b）（a﹣b），
图2的面积＝a2﹣b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的判定得出AD＝DC＝4cm，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2AD＝8cm，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°＝∠C，
∴AD＝DC，
∵AD＝4cm，
∴DC＝4cm，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝8cm，
∴BC＝BD+DC＝8+4＝12（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠B和∠DAC的度数是解此题的关键．
8．（3分）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，若∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为（ ）
A．20°B．32°C．38°D．42°
【分析】先利用角的和差关系可得∠DAE＝52°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝32°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝52°，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝32°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝52°﹣32°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．
10．（3分）如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】有两个角相等的三角形叫做等腰三角形，根据此条件可找出符合条件的点P，根据角的不同应该能够找到三个点构成等腰三角形．
【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，根据此判定定理可找符合条件的P点．
二、填空题：（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
12．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠﹣1；
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13．（2分）分解因式：x2y﹣4xy2+4y3＝ y（x﹣2y）2 ．
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4xy+4y2）＝y（x﹣2y）2，
故答案为：y（x﹣2y）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠B＝∠DEF，AB＝DE，请补充条件： ∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF） （写出一个即可），使△ABC≌△DEF．
【分析】在已知条件中有一对角相等和一组边相等，根据全等三角形的判定方法可以补充∠B和∠DEF的另一边相等，也可补充另一组角相等．
【解答】解：∵∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴可再补充∠A＝∠D，利用ASA可以判定△ABC≌△DEF，
也可以补充∠ACB＝∠DFE，利用AAS；
也可补充BC＝EF，利用SAS；
也可补充BE＝CF，从而可得到BC＝EF，利用SAS，
故答案为：∠A＝∠D（或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF或BE＝CF）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝39°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是 24° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠BAD＝39°，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得∠ADC＝78°，∠ADB＝102°，根据翻折的性质求得∠ADE＝102°，进而求得∠CDE的度数．
【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，
∴DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B＝39°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝78°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝102°，
将△ABD沿着AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝102°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝102°﹣78°＝24°．
故答案为：24°．
【点评】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
16．（2分）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 2024 ．
【分析】将方括号内的代数式进行化简即可解决问题．
【解答】解：由题知，
[x15y2z3]＝1523，[x2y2z•x3y]＝[x5y3z]＝531，
所以等号右边的数字依次为等号左边方括号内最简代数式中x，y，z的指数；
又因为（x5）6y4z5÷x10y2z＝x20y2z4，
所以[（x5）6y4z5÷x10y2z]＝2024．
故答案为：2024．
【点评】本题考查数字变化的规律，能通过化简代数式发现等号左边的数字与左边括号内代数式指数之间的关系是解题的关键．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 2.4 ．
【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键．
18．（2分）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有 90 个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 11 的倍数（1除外）．
【分析】（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；
（2）设四位数的回文数为，由1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），可知四位数的回文数是11的倍数．
【解答】解：（1）当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数…，
∴三位数的回文数共有90个；
故答案为：90；
（2）证明：设四位数的回文数为，
∵1000a+100b+10b+a＝1001a+110b＝11（91a+10b），
∴1000a+100b+10b+a是11的倍数，即四位数的回文数是11的倍数，
故答案为：11．
【点评】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是理解回文数的概念．
三、解答题（本题共54分，19题4分，20-25题每题5分，26题6分，27-28题每题7分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．（4分）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分90°角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知：∠AOB＝90°．
求作：射线OC、OD，使得∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．
作法：
①在射线OB上取一点M，分别以点O、点M为圆心，OM长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C，连接CM，画射线OC；
②作∠COM的平分线OD．
射线OC、OD为所求作射线．
证明：∵ OM＝OC＝CM ，
∴△MOC为等边三角形．
∴∠ COB ＝60°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°．
∵OD平分∠COM，
∴∠COD＝∠DOB＝30°．
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△COM是等边三角形，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵OM＝OC＝CM，
∴△MOC为等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°．
∵OD平分∠COM，
∴∠COD＝∠DOB＝30°．
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°．
故答案为：OM＝OC＝CM，∠COB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点A坐标为（﹣3，3），顶点B坐标为（﹣5，1），顶点C坐标为（﹣2，1）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'（其中A，B，C的对称点分别是A'，B'，C'）并写出点B'的坐标；
（2）画出两个与△ABC全等且有公共顶点C的三角形．（要求：三角形顶点的横、纵坐标都是整数）
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据全等三角形的判定画图即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
点B'的坐标为（5，1）．
（2）如图，△DBC和△DEC即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
21．（5分）如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝AE，BD＝EC，求证：∠B＝∠C．
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），再由全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵AD＝AE，BD＝EC，
∴AD+BD＝AE+EC，
即AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
23．（5分）解分式方程：．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：x＝2x﹣1+3，
移项，合并同类项得：﹣x＝2，
系数化为1得：x＝﹣2，
检验：将x＝﹣2代入（2x﹣1）得﹣4﹣1＝﹣5≠0，
故原方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
24．（5分）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式（x﹣3）（x+5）+（x+1）2的值．
【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（x﹣3）（x+5）+（x+1）2
＝x2+5x﹣3x﹣15+x2+2x+1
＝2x2+4x﹣14，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴当x2+2x＝2时，原式＝2（x2+2x）﹣14＝2×2﹣14＝4﹣14＝﹣10．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（5分）2023年5月15日，辽宁男篮取得第三次CBA总冠军，辽篮运动员的拼搏精神感染了众多球迷．某校篮球社团人数迅增，急需购进A，B两种品牌篮球，已知A品牌篮球单价比B品牌篮球单价的2倍少48元，采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元．求A，B两种品牌篮球的单价分别是多少．
【分析】设B品牌篮球单价为x元，由题意可得A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，根据“采购相同数量的A，B两种品牌篮球分别需要花费9600元和7200元”，列出相应的方程，解答即可．
【解答】解：设B品牌篮球单价为x元，则A品牌篮球单价为（2x﹣48）元，
由题意，可得：，
解得：x＝72，
经检验，x＝72是所原方程的解，
所以A品牌篮球的单价为：2×72﹣48＝96（元）．
答：A品牌篮球单价为96元，B品牌篮球单价为72元．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；
（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；
（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．
【分析】（1）（2）（3）仿照题例，找到满足条件的a、b、c、d，分解即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣27
＝（x+9）（x﹣3）；
（2）6x2﹣7x﹣3
＝（3x+1）（2x﹣3）；
（3）20（x+y）2+7（x+y）﹣6
＝[4（x+y）+3][5（x+y）﹣2]
＝（4x+4y+3）（5x+5y﹣2）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，看懂题例掌握“十字相乘法”是解决本题的关键．
27．（7分）如图1，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝α，点D在AC上，连接BD，在BD的上方作∠BDE＝α，且BD＝ED，连接BE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交BC于点M．
（1）补全图形，连接CF并写出∠BCF＝ 90°﹣ （用含α的式子表示）；
（2）当α＝60°时，如图2，
①求证：EM＝FM；
②直接写出BM与AD的数量关系： AD＝2BM ．
【分析】（1）根据题意补全图形，由AB＝BC，∠ABC＝α，可得∠ACB＝∠BAC＝90°﹣，而A，F关于BC对称，故∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；
（2）①连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，由α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，知△ABC和△BDE是等边三角形，即可证明△AEB≌△CDB（SAS），得∠EAB＝∠DCB＝60°，从而∠EAC+∠ACB＝180°，AE∥BC，由A，F关于BC对称，有AF⊥BC，AM＝FM，即可得∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，知EM＝AM＝FM；
②在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，证明△BME≌△NMF（SAS），可得BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，即得BD＝BE＝NF，而∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，有∠EBA＝∠NFC，∠DBC＝∠NFC，可证△NCF≌△DCB（ASA），得CN＝CD，有BN＝AD，从而得AD＝2BM．
【解答】（1）解：补全图形如下：
∵AB＝BC，∠ABC＝α，
∴∠ACB＝∠BAC＝（180°﹣α）÷2＝90°﹣，
∵A，F关于BC对称，
∴∠BCF＝∠ACB＝90°﹣；
故答案为：90°﹣；
（2）①证明：连接AE，AM，AF，设AF交BC于H，如图：
∵α＝60°，AB＝BC，BD＝ED，
∴△ABC和△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠EBD﹣∠ABD，即∠DBC＝∠EBA，
在△AEB和△CDB中，
，
∴△AEB≌△CDB（SAS），
∴∠EAB＝∠DCB＝60°，
∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝120°，
∴∠EAC+∠ACB＝180°，
∴AE∥BC，
∵A，F关于BC对称，
∴AF⊥BC，AM＝FM，
∴AF⊥AE，∠MAF＝∠MFA，
∴∠AEM＝90°﹣∠MFA＝90°﹣∠MAF＝∠EAM，
∴EM＝AM，
∴EM＝FM；
②解：AD＝2BM，理由如下：
在MC上取点N，使MN＝BM，连接FN，如图：
由①知，EM＝FM，∠EBA＝∠DBC，
∵∠BME＝∠NMF，
∴△BME≌△NMF（SAS），
∴BE＝NF，∠EBM＝∠FNM，
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE＝NF，
∵∠EBM＝∠EBA+∠ABC＝∠EBA+60°，∠FNM＝∠NFC+∠BCF＝∠NFC+60°，
∴∠EBA＝∠NFC，
∴∠DBC＝∠NFC，
∵A，F关于BC对称，
∴CF＝AC＝BC，∠NCF＝∠DCB，
∴△NCF≌△DCB（ASA），
∴CN＝CD，
∵BC＝AC，
∴BC﹣CN＝AC﹣CD，即BN＝AD，
∵MN＝BM，
∴BN＝2BM，
∴AD＝2BM．
【点评】本题考查几何变换综合应用，设计全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和点A，若存在点Q，使得∠PAQ＝90°，且AQ＝AP，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”．
（1）如图1，
①若点A的坐标为（2，1），则点A关于点O的“链垂点”坐标为 （1，﹣2）或（﹣1，2） ；
②若点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，试求点C的坐标；
（2）如图2，图形G是端点为（1，0）和（2，1）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行且边长为6的正方形，点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用“链垂点”的定义，画出图形，再利用直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；
（2）设点C的坐标为（x，y），利用“链垂点”的定义和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质列出关于x，y的方程组解答即可；
（3）利用待定系数法求得端点为（1，0）和（2，1）的线段所在直线的解析式，设得到点D的坐标为（m，m﹣1），则1≤m≤2，利用（2）中的方法求得t与m的关系式，进而得到关于t的不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意：点E，F为点A关于点O的“链垂点”，如图，
∵点A的坐标为（2，1），
∴OG＝2，AG＝1．
∵点E，F为点A关于点O的“链垂点”，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°，OE＝OF＝OA，
∴将OA顺时针转90°得到OE，将OA逆时针转90°得到OF，
∴△AOG≌△EOK≌△FOH，
∴OG＝OK＝OH＝2，AG＝EK＝FH＝1，
∴E（1，﹣2），F（﹣1，2）．
故答案为：（1，﹣2）或（﹣1，2）；
（2）点B（5，3）为点O关于点C的“链垂点”，且点C位于x轴上方，如图，
画出过点C且与x轴平行的直线，交y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，BQ⊥OM于点Q，
∵点B（5，3），
∴MN＝5，OQ＝3．
设点C（x，y），则CM＝x，OM＝y．
∴BN＝MQ．
则CO＝CB，∠OCB＝90°，
∴∠MCO+∠NCB＝90°，
∵∠NCB+∠B＝90°，
∴∠MCO＝∠B．
在△CMO和△BNC中，
，
∴△CMO和△BNC（AAS），
∴CM＝BN＝x，OM＝CN＝y，
∴MQ＝BN＝y．
∴MC+CN＝5，OM﹣MQ＝3．
∴，
解得：，
∴点C的坐标为（1，4）；
（3）点D为图形G上的动点，对于点E（0，t）（t＜0），存在点D，使得点D关于点E的“链垂点”恰好在图形H上，如图，
过点D作DK⊥y轴于点K，过点E作EM⊥DE，交图形H的边于点M（M在第三象限），则EN＝3，
设端点为（1，0）和（2，1）的线段的直线的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴端点为（1，0）和（2，1）的线段的直线的解析式为y＝x﹣1，
∵点D为图形G上，
∴D（m，m﹣1），且1≤m≤2．
∴OK＝m﹣1．
∵E（0，t）（t＜0），
∴OE＝﹣t，
∴KE＝﹣t+m﹣1．
由题意得：DE＝EM，∠DEM＝90°，
∴∠DEK+∠MEK＝90°，
∵∠MEN+∠MEK＝90°，
∴∠MEN＝∠KED．
在△MNE和△DKE中，
，
∴△MNE≌△DKE（AAS），
∴EN＝KE，
∴3＝﹣t+m﹣1，
∴m＝t+4．
∴1≤4+t≤2，
∴﹣3≤t≤﹣2；
过点D作DK⊥y轴于点K，过点E作EM⊥DE，交图形H的边于点M（M在第四象限），则ON＝3，如图，
则KG＝m，OK＝m﹣1，OE＝﹣t，ON＝3，
∴NE＝3﹣（﹣t）＝3+t．
同理可证：△DKE≌△ENM，
∴DK＝EN，
∴m＝3+t，
∴1≤3+t≤2，
∴﹣2≤t≤﹣1．
综上，t的取值范围为﹣3≤t≤﹣1．
【点评】本题主要考查了点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，网格的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．