2023-2024学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．a•a3＝a3
C．（ab2）3＝ab6D．a2+a﹣2＝1
3．（3分）2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔、昆、亏．容表示的数值为1027，柔表示的数值为10﹣27，昆表示的数值为1030，亏表示的数值为10﹣30．一个电子的质量约为9.1×10﹣28克，可以表示为（ ）
A．91柔克B．0.91柔克C．91亏克D．0.091亏克
4．（3分）在多项式a2﹣4a+4，1+4a2，4b2+4b﹣1，a2+ab+b2中，完全平方式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
6．（3分）如图，点P在∠AOB的内部，点C，D分别在OA，OB上，且OC＝OD，只添加一个条件即可证明△OPC和△OPD全等，这个条件不可以是（ ）
A．PC＝PDB．OP平分∠AOB
C．PO平分∠CPDD．∠OCP＝∠ODP＝90°
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，﹣6）经过某些运动得到点A′（﹣5，﹣1），对于点A的运动描述正确的是（ ）
A．向下平移7个单位长度
B．向右平移5个单位长度
C．先向上平移7个单位长度，再关于x轴作轴对称
D．先关于x轴作轴对称，再向下平移5个单位长度
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1B．2a，2b，2c
C．a2，b2，c2D．|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）分解因式：ab3﹣ab＝ ．
10．（3分）当x＝ 时，分式的值为0．
11．（3分）如图，图中x的值为 ．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝6，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
14．（3分）若分式的值为整数，则x的整数值为 ．
15．（3分）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为720°的凸多边形纸片，则n的值为 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，有下列四个推断：
①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线；
②若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高；
③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线；
④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线．
上述推断中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）
17．（5分）计算：a2•a3+（﹣a4）3÷a7．
18．（5分）计算：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x﹣2y）﹣2y2．
19．（5分）解分式方程：﹣＝1
20．（5分）化简，并选择一个适当的t的值代入求值．
21．（5分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，∠ABD＝∠ACE，AE∥BC．求证：△ADE是等边三角形．
22．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．
（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；
（2）证明满足此作图的点P即为所求．
23．（5分）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词．
24．（4分）下面是一些方程和它们的解．
的解为x1＝2，；
的解为x1＝3，；
的解为x1＝4，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
（1）的解为 ；
（2）关于x的方程的解为 ；
（3）关于x的方程的解为 ．
25．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上一点（不与点B，C重合），将DA沿直线BC翻折得到DE，将BD平移得到EF（点B与点E为对应点），连接DF．
（1）求证：△ADB≌△DEF；
（2）连接CF，若在点D的运动过程中，始终有AD＝CF，写出△ABC需要满足的条件，并证明．
26．（7分）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．
某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：
实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗．称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同．每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留a（a＞0）斤污水．现用m（m＞0）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
2023-2024学年北京市朝阳区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每题3分）下面1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个．
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、B、C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．a•a3＝a3
C．（ab2）3＝ab6D．a2+a﹣2＝1
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A符合题意；
B、a•a3＝a4，故B不符合题意；
C、（ab2）3＝a3b6，故C不符合题意；
D、a2与a﹣2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔、昆、亏．容表示的数值为1027，柔表示的数值为10﹣27，昆表示的数值为1030，亏表示的数值为10﹣30．一个电子的质量约为9.1×10﹣28克，可以表示为（ ）
A．91柔克B．0.91柔克C．91亏克D．0.091亏克
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：9.1×10﹣28克＝0.91柔克＝910亏克，
故选：B．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）在多项式a2﹣4a+4，1+4a2，4b2+4b﹣1，a2+ab+b2中，完全平方式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，而1+4a2，4b2+4b﹣1，a2+ab+b2都不是完全平方式，
则完全平方式有1个．
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．
6．（3分）如图，点P在∠AOB的内部，点C，D分别在OA，OB上，且OC＝OD，只添加一个条件即可证明△OPC和△OPD全等，这个条件不可以是（ ）
A．PC＝PDB．OP平分∠AOB
C．PO平分∠CPDD．∠OCP＝∠ODP＝90°
【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：当添加PC＝PD时，根据“SSS”可判断△OPC≌△OPD，所以A选项不符合题意；
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴当添加OP平分∠AOB时，根据“SAS”可判断△OPC≌△OPD，所以B选项不符合题意；
当添加PO平分∠CPD时，不能判断△OPC≌△OPD，所以C选项符合题意；
当添加∠OCP＝∠ODP＝90°时，根据“HL”可判断Rt△OPC≌Rt△OPD，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，﹣6）经过某些运动得到点A′（﹣5，﹣1），对于点A的运动描述正确的是（ ）
A．向下平移7个单位长度
B．向右平移5个单位长度
C．先向上平移7个单位长度，再关于x轴作轴对称
D．先关于x轴作轴对称，再向下平移5个单位长度
【分析】分别根据平移法则和关于x轴、y轴对称的点的坐标特点判断即可．
【解答】解：A、点A（﹣5，﹣6）向下平移7个单位长度得到点A′（﹣5，﹣13），故不符合题意；
B、点A（﹣5，﹣6）向右平移5个单位长度得到点A′（0，﹣6），故不符合题意；
C、点A（﹣5，﹣6）先向上平移7个单位长度，再关于x轴作轴对称得到点A′（﹣5，﹣1），故符合题意；
D、点A（﹣5，﹣6）先关于x轴作轴对称，再向下平移5个单位长度得到点A′（﹣5，1），故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平移法则和关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知点的坐标变换规律是解答的关键．
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1B．2a，2b，2c
C．a2，b2，c2D．|a﹣b|+1，|b﹣c|+1，|c﹣a|+1
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，
∴a+b＞c，
∴a+1+b+1＞c+1，
∵a＜b＜c，
∴a+1＜b+1＜c+1，
∴以a+1、b+1、c+1为边长能组成三角形，
故A不符合题意；
∵a+b＞c，
∴2a+2b＞2c，
∵a＜b＜c，
∴2a＜2b＜2c，
∴以2a、2b、2c为边长能组成三角形，
故B不符合题意；
∵a＜b＜c，
∴a2＜b2＜c2，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，2ab的值不确定，
∴a2+b2与c2的大小关系不确定，
∴以a2+b2与c2为边长不一定能组成三角形，
故C符合题意；
∵a＜b＜c，
∴|a﹣b|+1＝b﹣a+1，|b﹣c|+1＝c﹣b+1，|c﹣a|+1＝c﹣a+1，
∴|a﹣b|+1+|b﹣c|+1＝c﹣a+2，
∴|a﹣b|+1+|b﹣c|+1＞|c﹣a|+1，
∵|a﹣b|+1＜|c﹣a|+1，|b﹣c|+1＜|c﹣a|+1，
∴以|a﹣b|+1，|b﹣c|+1、|c﹣a|+1为边长能组成三角形，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）分解因式：ab3﹣ab＝ ab（b+1）（b﹣1） ．
【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ab3﹣ab，
＝ab（b2﹣1），
＝ab（b+1）（b﹣1）．
故答案为：ab（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）当x＝ ﹣1 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x+1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
11．（3分）如图，图中x的值为 60° ．
【分析】利用三角形的内角和定理的推论列出等式解答即可．
【解答】解：由题意得：
x+70＝x+x+10，
解得：x＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的推论，利用三角形的内角和定理的推论列出等式是解题的关键．
12．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝6，若AC平分∠BAD，则四边形ABCD的面积为 20 ．
【分析】过C点作CE⊥AD于E点，如图，先根据角平分线的性质得到CE＝CB＝4，然后根据三角形面积公式，利用四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ADC进行计算即可．
【解答】解：过C点作CE⊥AD于E点，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ADC＝×6×4+×4×4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 （4，0） ．
【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半来加以解答．
【解答】解：
如图：过A点作AD于垂直于x轴，
∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠OAD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△OAD中，
OA＝2OD＝2×1＝2，
在Rt△OAB中，
OB＝2OA＝2×2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键根据直角三角形中直角边与斜边的数量关系来解答．
14．（3分）若分式的值为整数，则x的整数值为 0或﹣1 ．
【分析】根据分式的值为整数得到2x+1＝±1，2x+1＝±2，2x+1＝±4，再求出整数x即可．
【解答】解：∵分式的值为整数，
∴2x+1＝±1，2x+1＝±2，2x+1＝±4，
解得x＝0，x＝﹣1，x＝，x＝﹣，x＝，x＝﹣，
又∵x为整数，
∴x＝0，x＝﹣1，
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查分式的值，根据分式的值是整数得到2x+1＝±1，2x+1＝±2，2x+1＝±4是求出正确答案的关键．
15．（3分）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为720°的凸多边形纸片，则n的值为 5或6或7 ．
【分析】根据一个多边形剪去一个角后得到的新多边形的边数可能增加1、不变或减少1，即可解答．
【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数为n，
则（n﹣2）x180°＝720°，
解得n＝6，
当n边形剪去一个角后得到的新多边形的边数增加1时，
原多边形的边数为5，
当n边形剪去一个角后得到的新多边形的边数不变时，
原多边形的边数为6，
当n边形剪去一个角后得到的新多边形的边数减少1时，
原多边形的边数为7，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
【点评】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．
16．（3分）在△ABC中，AB＜AC，D，E是BC边上的两点，且BD＜BE，有下列四个推断：
①若AD是△ABC的高，则AE可能是△ABC的中线；
②若AD是△ABC的中线，则AE不可能是△ABC的高；
③若AD是△ABC的角平分线，则AE可能是△ABC的中线；
④若AD是△ABC的高，则AE不可能是△ABC的角平分线．
上述推断中，所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据三角形的高，中线和角平分线的定义对结论逐一进行证明即可．
【解答】解：①∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵BD＜BE．
当AD＝AE时，AE可能是△ABC的中线，
故①符合题意；
②∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵∠B≠∠C时，
∴AE不可能是△ABC的高，
故②符合题意；
③∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
当AB＝AC时，AE可能是△ABC的中线，
故③正符合题意；
④∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
当∠BAD＝∠CAD时，AE可能是△ABC的角平分线，
故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（共52分，第17-23题，每题5分，第24题4分，第25题6分，第26题7分）
17．（5分）计算：a2•a3+（﹣a4）3÷a7．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝a5+（﹣a12）÷a7
＝a5+（﹣a5）
＝0．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（5分）计算：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x﹣2y）﹣2y2．
【分析】根据完全平方公式及多项式乘多项式的法则进行计算即可．
【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x﹣2y）﹣2y2
＝x2+4y2﹣4xy﹣（x2﹣2xy﹣xy+2y2）﹣2y2
＝x2+4y2﹣4xy﹣x2+3xy﹣2y2﹣2y2
＝﹣xy．
【点评】本题考查的是完全平方公式及多项式乘多项式，熟知运算法则是解题的关键．
19．（5分）解分式方程：﹣＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+x﹣2x+1＝x2﹣1，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．（5分）化简，并选择一个适当的t的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的t的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝
＝，
∵t+1≠0，t﹣1≠0，t+2≠0，
∴t≠±1，t≠﹣2，
选取t＝0，当t＝0时，原式＝＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21．（5分）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，∠ABD＝∠ACE，AE∥BC．求证：△ADE是等边三角形．
【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质求出AB＝AC，∠ACB＝60°＝∠BAD，利用ASA证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得出AD＝AE，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得解．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝∠ACB＝60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠ACB＝60°＝∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE，
又∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（5分）如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．
（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；
（2）证明满足此作图的点P即为所求．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AD于点P，连接CP，点P即为所求；
（2）利用三角形的外角的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）理由：∵点P在AC的垂直平分线上，
∴PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠PAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝2∠DAC，
∴∠CPD＝∠ADC，
∴∠APC＝∠ADB，
∴点P即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
23．（5分）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词．
【分析】设测试者使用键盘输入输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入3x个单词，根据该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设测试者使用键盘输入输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入3x个单词，
由题意得：﹣＝2.5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×80＝240，
答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（4分）下面是一些方程和它们的解．
的解为x1＝2，；
的解为x1＝3，；
的解为x1＝4，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
（1）的解为 x1＝5，x2＝ ；
（2）关于x的方程的解为 x1＝n，x2＝ ；
（3）关于x的方程的解为 x1＝a，x2＝ ．
【分析】（1）根据题干中的方程及它的解即可求得答案；
（2）根据题干中的方程及它的解总结规律即可；
（3）将原方程变形后根据规律即可求得答案．
【解答】解：（1）x+＝5+的解为x1＝5，x2＝，
故答案为：x1＝5，x2＝；
（2）关于x的方程x+＝n+的解为x1＝n，x2＝，
故答案为：x1＝n，x2＝；
（3）已知方程为＝a+，
将其变形得：﹣1＝a﹣1+，
整理得：＝a﹣1+，
即x﹣1+＝a﹣1+，
则x﹣1＝a﹣1或x﹣1＝，
那么x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝．
【点评】本题考查分式方程及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，D是BC上一点（不与点B，C重合），将DA沿直线BC翻折得到DE，将BD平移得到EF（点B与点E为对应点），连接DF．
（1）求证：△ADB≌△DEF；
（2）连接CF，若在点D的运动过程中，始终有AD＝CF，写出△ABC需要满足的条件，并证明．
【分析】（1）利用SAS可证明出结论；
（2）画出图形，证明出四边形ADFC是平行四边形即可得到DF＝AC，结合（1）的结论△ADB≌△DEF，得到DF＝AB，从而得出AB＝AC．
【解答】（1）证明：∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADB＝∠EDB，AD＝DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD＝EF，BD∥EF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ADB与△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（SAS）；
（2）AB＝AC，
证明：如图，
∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADC＝∠EDC，AD＝DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD∥EF，
∵AD＝CF，
∴ED＝FC，
∴四边形CDEF是等腰梯形，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴∠FDC＝∠ADC，
∴AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴DF＝AC，
由（1）知：△ADB≌△DEF，
∴DF＝AB，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查全等三角形的判断和性质，等腰梯形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
26．（7分）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．
某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：
实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗．称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同．每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案 三 的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留a（a＞0）斤污水．现用m（m＞0）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
【分析】数据计算：分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答；
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明：先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题．
【解答】解：数据计算：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的＝；
方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的＝；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的＝，
故答案为：，，；
实验结论：
∵＞＞，
∴方案三的漂洗效果最好．
故答案为：三；
推广证明：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的；
方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的＝；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的＝，
∵＝＝＞0，
∴方案三比方案一漂洗效果好；
∵﹣＝＝，
当x≠m时，﹣＞0，
∴方案三比方案二漂洗效果好，
综上所述，方案三的漂洗效果最好．
【点评】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．