9.3 公式法（第3课时 因式分解方法的综合运用）（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（苏科版2024）

第九章 因式分解 9.3 公式法第3课时 因式分解方法的综合运用学 习 目 标12能综合运用提公因式法和公式法分解因式，能根据多项式的特点选择较合理的分解因式方法．利用因式分解的方法解决数学问题．知识回顾因式分解有哪些方法？提公因式法：ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d)定系数(先定符号)→定字母→定次数公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2变形→分解→化简公式中的字母可以是具体的数，也可以是任意的单项式或多项式．典例分析例6 把下列各式分解因式：(1) 18a2－50； (2) 2x2y－8xy＋8y； 解：(1)原式＝2(9a2－25) ＝2(3a＋5)(3a－5)；(2)原式＝2y(x2－4x＋4) ＝2y(x－2)2；(3) a2(x－y)－b2(x－y)． (3) 原式＝(x－y) (a2－b2) ＝(x－y)(a＋b) (a－b)．1. 提：有公因式的先提出公因式；2. 套：提出公因式后，如果能套用公式的(两项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式)，要继续分解因式；3. 查：检查乘积中的每一个多项式因式是否分解彻底．因式分解的一般步骤：典例分析(1) a4－16； 例7 把下列各式分解因式：解：(1)原式＝(a2)2－(42)2 ＝(a2＋4) (a2－4) ＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；—平方差公式—检查分解是否彻底—平方差公式—写成平方差公式形式典例分析(2) 81x4－72x2y2＋16y4．例7 把下列各式分解因式：解：(2)原式＝(9x2)2－2∙9x2 ∙4y2＋(4y2)2 ＝(9x2－4y2)2 ＝[(3x＋2y)(3x－2y)]2 ＝(3x＋2y)2(3x－2y)2．—写成完全平方公式形式—完全平方公式—平方差公式—积的乘方—检查分解是否彻底新知巩固1．把下列各式分解因式：(1) 2x2＋4x＋2； (2) －2xy－x2－y2；(3) 2ax2－2ay4； (4) (a＋b)－ a2(a＋b)； (5) 3ax2＋6axy＋3ay2； (6) 12x2－60xy＋75y2．解：原式＝2(x＋1)2；原式＝－(x＋y)2；原式＝2a(x＋y2)(x－y2)；原式＝(a＋b)(1－a)(1＋a)；原式＝3a(x＋y)2；原式＝3(2x－5y)2．新知巩固1．把下列各式分解因式：(1) x4－81； (2) (x2－2y)2－(1－2y)2；(3) x4－2x＋1； (4) x4－8x2y2＋16y4； (5) (t2＋4t＋4)－9u2； (6) 25u2－(9v2－6v＋1)．解：原式＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)；原式＝(x2－4y＋1)(x＋1)(x－1)；原式＝(x＋1)2(x－1)2；原式＝(x＋2y)2(x－2y)2；原式＝(t＋2＋3u)(t＋2－3u)；原式＝(5u＋3v－1)(5u－3v＋1)．探究思考思考：x2＋8x－9＝(x＋4)2－52成立吗？你能将x2＋8x－9分解因式吗？成立． x2＋8x－9 ＝x2＋2·x·4＋42－42－9 ＝(x＋4)2－52 ＝(x＋4＋5)(x＋4－5) ＝(x＋9)(x－1)．解：新知巩固运用分解因式4x2－4x＋1的结果，对4x2－4x－15进行因式分解．解：4x2－4x－15 ＝(2x)2－2·2x·1＋12－12－15 ＝(2x－1)2－42 ＝[(2x－1)＋4][(2x－1)－4] ＝(2x＋3)(2x－5)．典例分析  典例分析  新知巩固  新知巩固先分解因式，然后计算求值：(2) 已知a＋b＝7，ab＝12，求2a2b＋2ab2的值．解： (2) 2a2b＋2ab2 ＝2ab(a＋b)． ∵ a＋b＝7，ab＝12， ∴ 原式＝2×12×7＝168．思维提升例1 已知m＞0，且m是奇数．求证：m2－1能被8整除．解：∵m＞0，且m是奇数，∴可设m＝2n＋1，n≥0，n为整数，∴ m2－1＝(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝2n(2n＋2)＝4n(n＋1)，∵n≥0，∴n＋1≥1，当n为奇数时，n＋1为偶数，n(n＋1)为偶数，当n为偶数时，n＋1为奇数，n(n＋1)为偶数，∴n(n＋1)能被2整除，∴4n(n＋1)能被8整除，即m2－1能被8整除．思维提升例2 准备若干块如图(1)～(3)所示的矩形硬纸片．(1) 分别用多少块如图(1)～(3)所示的纸片才能拼成一个边长为a＋2b，a＋b的矩形？(2) 利用上述拼图的结果，分解因式a2＋3ab＋2b2．解：(1)∵拼成的边长为a＋2b，a＋b的矩形的面积为(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2，∴用3块图(1)，1块图(2)，2块图(3)才能拼成一个边长为a＋2b，a＋b的矩形；(2) a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b)(a＋b)．课堂小结因式分解方法的综合运用一般步骤：一提→二套→三检查应用计算求值恒等变形感谢聆听！ 第九章 因式分解