9.3 公式法（第1课时 用平方差公式因式分解）（教学课件）-2025-2026学年八年级数学下册（苏科版2024）

第九章 因式分解 9.3 公式法第1课时 用平方差公式因式分解学 习 目 标12能正确识别适合运用平方差公式因式分解的多项式，会运用平方差公式因式分解（指数是正整数）．掌握运用平方差公式因式分解的方法和步骤，并能进行相关变形、计算或求值．因式分解与整式乘法有什么关系？知识回顾a(b＋c＋d)ab＋ac＋ad整式乘法和积因式分解是过程相反的变形．我们学习了哪些乘法公式？知识回顾平方差公式：完全平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2如果把上述公式反过来，(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2是因式分解吗？和积概念引入 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法．a2－b2＝(a＋b)(a－b)公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2尝试交流1. 填空：a2－16＝a2－( )2＝ (a＋____) (a－____)；64－b2＝ ( )2－b2＝ (____＋b) (____－b)； 4m2－9n2＝( )2－( )2＝ (____＋____) (____－____)．4448882m3n2m3n2m3n观察这些式子在结构上有哪些共同特征？左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反．右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．□2－△2(□－△) (□＋△)尝试交流2. 判断下列多项式是否能用平方差公式分解因式．(1) a2－16； (2) －x2－1；(3) 64－b； (4) －25a2＋49b2．两项符号相反两项都能用完全平方表示＝49b2－25a2＝(7b)2－(5a)2典例分析例1 把下列各式分解因式：(1) 36－25x2 ； (2) 16a2－9b2 ； 解：(1) 36－25x2 ＝62－(5x)2 ＝(6＋5x)(6－5x)；(2) 16a2－9b2 ＝(4a)2－(3b)2 ＝(4a＋3b)(4a－3b)；用平方差公式因式分解的一般步骤：1. 变形：化成(□)2－(△)2的形式；2. 分解：分解成(□－△) (□＋△)的形式.典例分析(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ． 例1 把下列各式分解因式：解：(3) 9(a＋b)2－4(a－b)2 ＝[3(a＋b)]2－[2(a－b)]2 ＝[3(a＋b)＋2(a－b)][3(a＋b)－2(a－b)] ＝(3a＋3b＋2a－2b)(3a＋3b－2a＋2b) ＝(5a＋b)(a＋5b)．[ ]内看成一个整体．用平方差公式因式分解的一般步骤：3. 化简：分解后，结果要化为最简形式．新知巩固1．把下列各式分解因式：(1) x2－25； (2) x2－16y2； 解：原式＝(x＋5)(x－5)；原式＝(x＋4y)(x－4y)；  原式＝(xy＋z)(xy－z)；原式＝(x＋5)(x－1)；原式＝(x＋a＋y－b)(x＋a－y＋b)． (5) (x＋2)2－9； (6) (x＋a)2－(y－b)2．新知巩固2．计算：(1) 7582－2582； (2) 4292－1712． 解：(1) 7582－2582 ＝[758＋258][758－258] ＝1 016×500 ＝508 000；(2) 4292－1712＝[429＋171][429－171]＝600×258＝154 800．典例分析例2 如图，有一个圆环形的观景台，已知R＝12.5m，r＝7.5m, 求观景台（阴影部分）的面积S（结果精确到1m2）．解：S＝πR2－πr2＝π(R＋r)(R－r)当R＝12.5 m，r＝7.5 m时，S ＝ π(12.5＋7.5)×(12.5－7.5) ＝ π×20×5＝100π≈314 (m3)．典例分析例3 已知k是正整数，求证: (k＋2)2－k2 是4的倍数．证明：∵(k＋2)2－k2＝(k＋2＋k)(k＋2－k)＝2(2k＋2)＝4(k＋1)， ∵k是正整数， ∴4(k＋1)也是正整数，且是4的倍数， ∴(k＋2)2－k2是4的倍数．典例分析变式 证明：两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．证明：设这两个奇数分别为x，x＋2，则这两个奇数的平方差为(x＋2)2－x2，这两个奇数和为2x＋2．∵ (x＋2)2－x2＝(x＋2＋x)(x＋2－x)＝2(2x＋2)，∴ 两个连续奇数的平方差是这两个奇数和的2倍．新知巩固1. 如图，在Rt△ABC中，若斜边c＝25，直角边a＝24，求直角边b．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， a2＋b2＝c2， ∴ b2＝c2－a2 ＝252－242 ＝(25＋24)(25－24) ＝49，∴ b＝7．新知巩固2. 已知a＞b＞0，求证：a2＞b2．证法1：∵ a＞b＞0，∴ a＋b＞0，a－b＞0，∴ a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，∴ a2＞b2．证法2：∵ a＞b＞0，∴ a2＞ab，ab＞b2，根据不等式的传递性，可得∴ a2＞b2.思维提升1. 已知：4m＋n＝90，2m－3n＝10，求(m＋2n)2 － (3m－n)2的值．解： (m＋2n)2 － (3m－n)2　　 ＝[(m＋2n)＋(3m－n)][(m＋2n)－(3m－n)] ＝(4m＋n)(－2m＋3n) ∵ 4m＋n＝90，2m－3n＝10， ∴ 原式＝90×(－10)＝－900．思维提升解：16x2－4＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)2. 判断下列做法是否正确，如有错误，请改正．分解因式 16x2－4．解：不正确．分解的结果中还有公因式没有提出．原式＝(4x)2－22＝(4x＋2)(4x－2)＝2(2x＋1)·2(2x－1)＝4(2x＋1)(2x－1)．要分解到每个因式不能再分解为止．课堂小结用平方差公式因式分解形式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)特征：左边：只有两项，两项都能用完全平方表示且符号相反． 右边：两项底数的和乘以这两项底数的差的形式．一般步骤：1. 变形；2. 分解；3. 化简．感谢聆听！ 第九章 因式分解