初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）本单元综合与测试测试题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）本单元综合与测试测试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．1∶2∶1∶2 D．1∶1∶2∶2
2．下列说法正确的是( )
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
3．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( )
A．64° B．66° C．68° D．70°
(第3题) (第4题) (第5题)
4．如图，在正方形ABCD内作等边三角形AED，连接BE，CE，则∠EBC的度数为( )
A．15° B．20° C．22.5° D．30°
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为( )
A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O，添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法中正确的有( )
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形；
②添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形；
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(第6题) (第7题)
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？( )
A．AC B．BC C．CD D．AD
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点(不与点A，B重合)，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝8，BD＝6，则EF的最小值为( )
A．3 B．2
C.eq \f(12,5) D.eq \f(5,2)
(第8题)

二、填空题(每小题3分，共30分)
9. 如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度BC为________cm.
(第9题) (第10题)
10．如图，在▱ABCD中，AD＝10，AB＝6，BE平分∠ABC交AD边于点E，则DE的长为________.
11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E.若BE＝CE，则∠BAE的度数为________°.
(第11题) (第12题) (第13题)
12．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AB，CD上的点，且BE＝DF，已知矩形ABCD的面积是64，那么图中阴影部分的面积为________.
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交边AD，BC于点E，F.若AB＝4，AD＝8，则BF的长为________.
14．如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，则∠AEC的度数为________.
(第14题)
(第15题) (第16题)
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC＝45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕为EF.若AD＝2，BC＝8，则BE的长为________.
16．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF，若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为________.
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为____________.
(第17题) (第18题)
18．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F，则EM＋AF的最小值为________.
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠BFA＝∠DEC.求证：
(1)△ABF≌△CDE；
(2)四边形AECF是平行四边形.
20．(8分)【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
21.(8分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD，BC分别交于点E，F(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，连接BE，DF，求证：四边形BFDE为菱形.
22．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝8 cm，BC＝12 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，同时，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向点C运动，设运动时间为t s.
(1)当t取何值时，四边形EFCD为矩形？
(2)M是BC上一点，且BM＝5 cm，当t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
23．(10分) 将两张完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为两者重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
24．(12分) 正方形OABC的边长为2，点D是线段AB上的一个动点，以OD为边在OD的右侧作正方形ODEF，连接CD，FA.
(1)如图①，建立平面直角坐标系，O为原点，若BD的长度为eq \f(1,2)，求点E的坐标；
(2)如图②，探究CD与FA的数量、位置关系；
(3)如图②，连接CF，直接写出CD＋CF的最小值．
25．(12分) 我们在解决问题的时候，常通过全等变换将分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.
(1)【发现问题】如图①，点E，F分别是正方形ABCD的边AD，AB上的点，连接CE，CF，EF，若∠ECF＝45°，则线段BF，DE，EF之间的数量关系是________________；
(2)【类比探究】如图②，P为正方形ABCD内一点，若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数；
(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD.试探究AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由．
答案
一、1.C 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C
8．C 解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×8＝4，
OB＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×6＝3.
在Rt△AOB中，AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(42＋32)＝5.
连接OP.
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴易得四边形OEPF是矩形．∴EF＝OP.
当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小．
此时S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝eq \f(1,2)AB·OP，
∴OP＝eq \f(OA·OB,AB)＝eq \f(4×3,5)＝eq \f(12,5).
∴EF的最小值为eq \f(12,5)，故选C.
二、9.70 10.4 11.30 12.16 13.3 14.45° 15.5
16.eq \r(2) 解析：如图，过F作FM⊥BC于点M，FN⊥CD于点N，
则∠CMF＝∠CNF＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCM＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝2.
∴四边形CMFN是矩形．
∵CF平分∠BCD，∴FM＝FN.
∴四边形CMFN是正方形．∴CN＝NF＝MF.
由折叠的性质可知，BF＝AB＝2，∠FBE＝∠ABE＝30°，
∴∠MBF＝30°.∴MF＝1.∴CN＝NF＝1.
∴DN＝CD－CN＝1.
∴在Rt△DNF中，由勾股定理得DF＝eq \r(NF2＋DN2)＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2).
17.eq \r(13) 解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°.∴BD＝2OH.
∵OH＝2，∴BD＝4.∴OB＝2.
∵菱形ABCD的面积为eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)AC×4＝12，
∴AC＝6.∴OA＝3.
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).
18.eq \r(10) 解析：∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°.
∵M是BC的中点，∴BM＝eq \f(1,2)BC＝1.
∴AM＝eq \r(AB2＋BM2)＝eq \r(5).
如图，过点F作FG⊥AB于点G，则易得FG＝BC＝AB，∠FGE＝90°＝∠ABM.
∵EF⊥AM，
∴∠BAM＋∠AEN＝∠AEN＋∠GFE＝90°.
∴∠BAM＝∠GFE.
∴△ABM≌△FGE.∴EF＝AM＝eq \r(5).
将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则易得四边形EFHM是平行四边形，∠AMH＝90°，
∴EM＝FH，MH＝EF＝eq \r(5).
∴EM＋AF＝FH＋AF.
∴当A，F，H三点共线时，EM＋AF的值最小，此时最小值为AH的长．
在Rt△AMH中，AH＝eq \r(AM2＋MH2)＝eq \r(5＋5)＝eq \r(10)，
∴EM＋AF的最小值为eq \r(10).
三、19.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABF和△CDE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BFA＝∠DEC，,∠B＝∠D，,AB＝CD，))
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
(2)∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.
∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
20．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)．
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
21．(1)解：如图，直线EF即为所求．
(2)证明：如图，∵直线EF是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD.
∵AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△ODE≌△OBF(AAS)，∴DE＝BF，
∴BE＝DE＝BF＝DF，∴四边形BFDE为菱形．
22．解：(1)∵AD∥BC，BC⊥CD，
∴易得当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形．
由题意得AE＝t cm，BF＝2t cm，
则ED＝(8－t)cm，FC＝(12－2t)cm.
当8－t＝12－2t时，解得t＝4.
∴当t＝4时，四边形EFCD为矩形．
(2)①当点F在线段BM上，且AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
∵BM＝5 cm，∴FM＝BM－BF＝(5－2t)cm.
∴t＝5－2t，解得t＝eq \f(5,3)；
②当点F在线段CM上，且AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
∵BM＝5 cm，∴FM＝BF－BM＝(2t－5)cm.
∴t＝2t－5，解得t＝5.
综上所述，当t＝eq \f(5,3)或t＝5时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
23．解：(1)四边形DHBG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD，四边形FBED是完全相同的矩形，
∴∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB.
∴△DAB≌△DEB(SAS)．∴∠ABD＝∠EBD.
易知AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD.
∴∠HDB＝∠HBD.∴DH＝BH.
∴四边形DHBG是菱形．
(2)设DH＝BH＝x，则AH＝8－x，
在Rt△ADH中，由勾股定理，得AD2＋AH2＝DH2，
∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即BH＝5，
∴四边形DHBG的面积为HB·AD＝5×4＝20.
24．解：(1)过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，如图①，则∠EHD＝90°.
∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴∠DAO＝90°，AO＝AB＝2.∴∠DOA＋∠ODA＝90°.
∵BD的长度为eq \f(1,2)，∴DA＝eq \f(3,2).
∵四边形ODEF为正方形，
∴∠ODE＝90°，OD＝DE.
∴∠EDH＋∠ODA＝90°.∴∠DOA＝∠EDH.
又∵∠DAO＝∠EHD＝90°，
∴△DAO≌△EHD(AAS)．
∴EH＝DA＝eq \f(3,2)，DH＝OA＝2.
∴AH＝eq \f(1,2)，EH＋OA＝eq \f(7,2).∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(7,2))).

(2)∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，
∴OC＝OA，OD＝OF，∠COA＝∠DOF＝90°，AB∥CO.
∴易得∠DOC＝∠FOA.∴△DOC≌△FOA(SAS)．
∴CD＝AF，∠DCO＝∠FAO.
如图②，延长FA，CD交于点M，
则∠FAO＋∠MAD＝180°－∠DAO＝90°.
∵AB∥CO，∴∠MDA＝∠DCO.
∴∠MDA＝∠FAO.∴∠MDA＋∠MAD＝90°.
∴∠DMA＝90°.∴CD⊥FA.
(3)CD＋CF的最小值为eq \r(40). 解析：如图③，过点F作AO的垂线FG，则易得△DAO≌△OGF，
∴FG＝OA＝2.
过点F作FH⊥CO，交CO的延长线于点H，作点C关于FH的对称点C′，连接AC′，FC′，则CF＝C′F，C′H＝CH.由(2)得FA＝CD，∴CD＋CF＝FA＋CF＝FA＋C′F.∴当A，F，C′三点共线时，CD＋CF有最小值，最小值为线段C′A的长度．易得OH＝FG＝2，∵OC＝2，∴C′H＝CH＝CO＋OH＝4，∴C′O＝OH＋C′H＝6.∴在Rt△AOC′中，由勾股定理，得C′A＝eq \r(OA2＋C′O2)＝eq \r(22＋62)＝eq \r(40).∴CD＋CF的最小值为eq \r(40).
25．解：(1)BF＋DE＝EF 解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝DC，∠BCD＝∠EDC＝∠B＝90°.
如图①，将△BCF绕点C顺时针旋转90°，得到△DCH，则CH＝CF，DH＝BF，∠DCH＝∠BCF，∠CDH＝∠B＝90°，∴∠CDH＋∠EDC＝180°.
∴H，D，E三点在同一条直线上．
∵∠ECF＝45°，∴∠ECH＝∠ECD＋∠DCH＝∠ECD＋∠BCF＝∠BCD－∠ECF＝45°.
∴∠ECH＝∠ECF.
在△ECH和△ECF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CH＝CF，,∠ECH＝∠ECF，,CE＝CE，))
∴△ECH≌△ECF(SAS)．∴EH＝EF.
∵EH＝DH＋DE＝BF＋DE，∴BF＋DE＝EF.

(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，CB＝AB.
如图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△GBA，连接PG.
∴∠PBG＝90°，GB＝PB＝2，GA＝PC＝3.
∴PG2＝GB2＋PB2＝8，∠BPG＝∠BGP＝45°.
∵PA＝1，GA＝3，∴PA2＋PG2＝1＋8＝9，GA2＝32＝9.
∴PA2＋PG2＝GA2.
∴△PAG是直角三角形，且∠APG＝90°.
∴∠APB＝∠BPG＋∠APG＝45°＋90°＝135°.
(3)BD2＝AB2＋BC2.
理由如下：如图③，以AB为一边在AB的右侧作等边三角形ABL，连接AC，LC.
∵∠ADC＝60°，AD＝CD，∴△ADC是等边三角形．
∴AC＝AD.
易知AL＝AB＝LB，∠ABL＝∠BAL＝∠CAD＝60°，
∴易得∠CAL＝∠DAB.
在△DAB和△CAL中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DA＝CA，,∠DAB＝∠CAL，,AB＝AL，))
∴△DAB≌△CAL(SAS)．∴BD＝LC.
∵∠ABC＝30°，∠ABL＝60°，∴∠CBL＝90°.
∴LC2＝LB2＋BC2.∴BD2＝AB2＋BC2.